2021年高三12月考试数学(文)试题 含答案

四川省遂宁市2021届高三第三次诊断性考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z的模是（）A. 1B.C. 2D. 43.已知函数，则f（f（-3））的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=（）A. 1B.C. 2D.5.“x＜1”是“log2x＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知角α在第二象限，若，则tan2α=（）A. B. C. D.7.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈，那么该刍甍的体积为（）A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8.执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点（4，2）的直线l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（）A.B.C.D.9.已知点P的坐标（x，y）满足，则的最大值（）10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，sin C=2sin B，则△ABC的周长为（）A. B. C. D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（）A. B. C. D.12.设函数有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．已知平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为______．14.曲线在点（4，2）处的切线的斜率为______．15.将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．16.已知函数，函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[0，2]，不等式f （x-2k）＜2k恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，且数列{a n}的公差d=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是邻边相等的矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）；（2）证明：PB⊥ED；（3）求三棱锥A-PBE的体积．19.2021年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．如表为202X年至2021年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）年份202X 202X 202X 2021 2021 线下销售额90 170 210 280 340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人．（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关．附：，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C：的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．21.已知函数f（x）=ax lnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求f（x）在x∈[m，n]（0＜m＜n）上的最小值；（2）若存在使关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0成立，求k的取值范围．22.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若，求此时点P的直角坐标．23.已知函数．（1）解不等式f（x）；（2）若正数a，b，c，满足a+2b+4c=f（）+2，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={1}．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（1+i）z=3+i，∴z=，则|z|=．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，f（-3）=lg（32+1）=lg10=1，则f（f（-3））=f（1）=1+-3=0，故选：A．根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3））=f（1），由解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），∴=1，∴a=．故选：D．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．5.【答案】B解：由log2x＜0得0＜x＜1，则“x＜1”是“log2x＜0”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.【答案】C【解析】解：∵角α在第二象限，若，∴cosα=-=-，tanα==-，∴tan2α==-．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6，底边上的高为2，消去的三棱锥的高为2，∴几何体的体积V=6×2×8-2×××6×2×2=40．故选：C．几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1S=1，不满足条件S＞6，执行循环体，k=2，S=2，不满足条件S＞6，执行循环体，k=3，S=6，不满足条件S＞6，执行循环体，k=4，S=15，满足条件S＞6，退出循环，输出k的值为4，由题意，b=4，由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2=4．弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解．本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由点P的坐标（x，y）满足，作出可行域如图，A（0，2）z═的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，∵k DA==2，∴z=的最大值是：2．故选：A．由约束条件作出可行域，由z=的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，求出DO的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵sinC=2sinB，∴由正弦定理可得：c=2b，又∵a=3，，∴由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b•2b，解得：b=，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3++2=3+3．故选：C．由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作AE⊥BC，DF⊥BC与E，F，则BE=CF=1，可得AE=，取BC中点M，连接AM，易得AM=2，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径OA=2，故球O的体积为：=，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），由函数有三个零点，得=ax，有三个根，则必有a＞0，即=ax，则=a2，有三个根，设h（x）==，则当x≥时，h′（x）===，由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜，得≤x＜，此时为增函数，由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞，得x＞，此时为减函数，此时x=取得极大值，极大值为h（）===，当x→+∞，f（x）→0，h（）=0，当0＜x＜时，h（x）=-，则h′（x）=-=-=-（）=，当0＜x＜时，lnx＜-1，则2+3lnx＜2-3=-1＜0，即此时h′（x）＜0，且h（）=0，作出函数h（x）的图象如图：要使=a2，有三个根，即h（x）=，与y=a2，有三个不同的交点，则满足0＜a2＜，即0＜a＜，即实数a的取值范围是（0，）．故选：D．由题意知a＞0，x＞0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．13.【答案】1【解析】解：两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为：==1．故答案为：1．利用平面向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影是求法，考查计算能力．14.【答案】解：曲线的导数为y′=，可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=，故答案为：．运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，可得y=2cos （2x+2t+）的图象，再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+=kπ+，求得t=+，k∈Z，则t的最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出t的最小值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.【答案】（）【解析】解：令，则有y=h（x）在[-m，m上为奇函数．∴h（x）max+h（x）=0．min∴．又∵函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，∴a=1．∴，∴y=f（x）在x∈[0，2]上为增加的．又∵对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立，∴f（2-2k）＜2k，即（2-2k）2＜2k，解得．故答案为：（）．可用奇函数的几何性质，先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）因为…………（1分）所以，由题意有…………（3分）由于x∈（0，1），所以{a n}是以为首项，1为公差的等差数列…………（4分）所以…………（6分）（2）=…………（7分）…①…………（8分）…②…………（9分）则①-②得：，所以…………（12分）【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可．本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查发现问题解决问题的能力．18.【答案】（本小题满分12分）解：（1）直线PA与EB是异面直线…………（2分）（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥BC…………（3分）∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC．∵底面ABCD是邻边相等的矩形，即四边形ABCD为正方形．∴BC⊥DC，又PD⊥BC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC…………（5分）∴BC⊥DE，又DE⊥PC，且PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC∴PB⊥ED…………（7分）（3）因为E为PC中点，所以…………（8分）又PD⊥底面ABCD，而底面ABCD是邻边相等的矩形，即底面ABCD是正方形…………（9分）故…………（12分）【解析】（1）真假判断直线PA与EB是异面直线；（2证明PD⊥DC．PD⊥BC，说明BC⊥DC，又PD⊥BC，推出BC⊥平面PDC，得到BC⊥DE，又DE⊥PC，证明DE⊥平面PBC，即可证明PB⊥ED．（3）通过转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）分别记“202X年、202X年、202X年、2021年、2021年”为“a，b，c，d，e”从以上5年中任选2年，其基本事件为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（e，f）；…………（4分）其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（c，e）（e，f）；…………（5分）故所求的概率为；…………（6分）（2）根据题意，整理数据得如下2×2列联表；年轻市民老年市民合计支持15 10 25很支持25 30 55合计40 40 80计算K2=≈1.455＜2.072，所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关．【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离，∴a2=2，…………（2分）离心率，故c=1，b=1，…………（4分）∴椭圆C的标准方程为；…………（5分）（2）由题意，抛物线D焦点为，故其方程为．…………（7分）联立方程组，解得x=1或x=-2（舍去），∴．……（8分）设抛物线在点处的切线为，联立方程组，整理得，由△=0，解之得，∴所求的切线方程为．即是．…………（10分）令x=0，得；令y=0，得x=-1．…………（11分）故所求三角形的面积为．…………（12分）【解析】（1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求；（2）由抛物线D焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得Q的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解（1）f'（x）=a（ln x+1），根据题意得，计算得出：…………（2分）故f'（x）=ln x+1，当f'（x）＞0，即时，f（x）递增，当f'（x）＜0，即时，f（x）递减，…………（3分）①当时，函数f（x）在[m，n]上单调递减，此时f（x）最小值为f（n）=n lnn；②当时，函数f（x）在上递减，在上递增，此时f（x）最小值为；③当时，函数f（x）在[m，n]上递增，此时f（x）最小值为f（m）=m lnm…………（6分）（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解…………（7分）设，，…………（8分）当h'（x）＞0即时，h（x）递增，当h'（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减…………（9分）又，，∵…………（10分）∴…………（12分）【解析】根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1，b=0；（1）先用导数的符号求出f（x）在{0，+∞）上的单调性，再对n进行讨论可得f（x）在[m，n]上的单调性，根据单调性求得最小值；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解，再构造函数求得最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题．22.【答案】解：（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．……………………（4分）（2）由题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），可设点P的直角坐标为，因为曲线C2是直线，又∴|PQ|即为点P到直线x+y-6=0的距离……………………（6分）易得点P到直线x+y-6=0的距离为，……………………（7分）所以，所以，此时点P的直角坐标为．……………………（10分）【解析】（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）因为，所以f（x）=|x-2|-|x-1|，①当x≤1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由，解得x≤1；②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x，由，即，解得，又1＜x＜2，所以；③当x≥2时，f（x）=-1不满足，此时不等式无解．综上，不等式的解集为．（2）由题意得，所以=．当且仅当时等号成立．所以的最小值为．【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，（2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

高三文科数学月考试题学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A. (0,1]B. [1,+∞)C.(0,2] D.2. [2021·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. [2021·哈三中一模]下列结论中正确的个数是()①“x=”是“”的充分不必要条件;②若a>b,则am2>bm2;③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;④函数f(x )=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 44. [2021·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() A. y=e x+e-x B. y=ln(|x|+1) C.y= D. y=x-5. [2021·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C.D.6. [2021·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对B. 2对C. 1对 D. 0对7. [2021·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. [2021·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误．．的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为[-1,3]9. [2022·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC 的面积为()A. 1+B.C.1+ D.10. [2022·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有()A. φ=θB. φ=π-θC.φ=θ-π D. φ=θ-2π11. [2021·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则( )A. 81B. 99C. 108D. 11712. [2021·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C.D.评卷人得分二、填空题13. [2021·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角,,所对的边长分别为,若,则的值为.14. [2021·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sin A=5sin B，则角C= . 15. [2021·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为.16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为.评卷人得分三、解答题17. [2021·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.18. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知数列{a n}满足a1=,a n+1=3a n-1(n∈N*).(1)若数列{b n}满足b n=a n-,求证:{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.19. [2021·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.20. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.21. [2021·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.22. [2021·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.由于x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,依据指数函数的性质知y=2x>0,所以集合A =,B =,则A∩B =,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x ++2kπ或x ++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y =与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x )=-cos x 在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性学问,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排解,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在争辩函数中的应用,解一元二次不等式、确定值不等式,属于难题.∵f(-x )= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x )=恒为正,即函数f(x)在单调递增,∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.6. 【答案】C【解析】本题考查新概念和函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.设f(x )=(x>0)图象上任一点为A(x,y)(x>0,y>0),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不肯定是奇函数,故的图象不肯定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y =2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y =2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍,可得y =2sin+1的图象,故B正确;令x =π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB =90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC =,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ==- () =-cosθ=cos(θ-π).由于θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算力量.,.故选D. 12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算力量.由正弦定理可得=,又由于==,所以=,即, 所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面对量的线性运算及平面对量数量积.在中，，建立直角坐标系,,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 16. 【答案】【解析】由已知可得a n-a n-1=2(n-1),a n-1-a n-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得a n-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴a n=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.17.(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以f(2x)=1+2sin2x.由于函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x )=2sin+1,即g(x )=2sin+1.由于x ∈,所以2x ∈所以sin ∈,所以g(x)∈[0,3],所以函数g(x)的值域为[0,3].(2) 【答案】由于f(A )=+1,所以sin A =,由于A ∈,所以cos A=.又cos A =,a =2,b=2,所以c=4.所以△ABC面积S△ABC=bc sin A =2.18.(1) 【答案】由题可知a n+1=3(n∈N*),从而有b n+1=3b n,b1=a1-=1,所以{b n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 【答案】由第1问知b n=3n-1,从而a n=3n-1+,有S n=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n =.19.(1) 【答案】由，得，由于数列是正项数列，所以.(2) 【答案】由第1问得,，所以.20.(1) 【答案】由于AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又由于AC⊥BC,AC∩AD=A, 所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2) 【答案】由已知可得CD =,取CD中点为F,连接EF,由于ED=EC=AB =,所以△ECD为等腰三角形,从而EF =,S△ECD =,由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD =,令A到平面CED的距离为d,由V A-ECD=·S△ECD·d=V E-ACD=·S△ACD·1,解得d =.所以点A到平面CED 的距离为21.(1) 【答案】由题意得,,, 解得,所以椭圆的方程为.(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由, 解得,设,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则, 又,所以====.综上所述,为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)22.(1) 【答案】,,,,.(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,,.。

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。

下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。