第6讲 函数的极值与最值(教师版)

第6讲 函数的极值与最值

一．基础知识回顾

1．极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．

2．极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．

3．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.

4．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图，函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．

5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值，(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二．问题探究

探究点一：函数的极值与导数的关系

例1：求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值与极值点．

解：f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－≦，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋≦)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 增 10 减 －22 增

由表可知：当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10，x＝－1是极大值点；当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22，x＝3是极小值点．

跟踪训练1：求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值与极值点．

解：函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋≦)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1，＋≦)

f′(x) － 0 ＋

f(x) 减 3 增

因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.x＝1是极小值点．

探究点二：利用函数极值确定参数的值

例2：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 解：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以 f′－1＝0，f－1＝0，即 3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解之得 a＝1，b＝3或 a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋≦)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.

跟踪训练2：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极

值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

解：(1)≧f(x)＝aln x＋bx2＋x，≨f′(x)＝ax＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，≨a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解方程组得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x. f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－x－1x－23x.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋≦)时，f′(x)＜0；所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．

探究点三：函数极值的综合应用

例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0. 所以f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(－2，2)． (－≦，－2)和(2，＋≦)；当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．

跟踪训练3：若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

解：f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－≦，－1)和(1，＋≦)上为增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k. 要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)即k<－4或k>4. ≨k的取值范围是(－≦，－4)∪(4，＋≦)．

探究点四：含参数的函数的最值问题

例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

解：(1)f′(x)＝3x2－2ax. 因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a. 当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0. 当0<2a3<2，即02.

跟踪训练4：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，列表如下：

由表可知，当x＝0时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，≨f(0)＝3，即b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3

(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，≨f(0)＝－29，即b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，≨f(2)＝－16a－29＝3，≨a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

探究点五：函数最值的应用

例3：已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．

解：f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝xln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a. 令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1. 当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，≨g(x)≤g(1)＝－1. 综上可知，a的取值范围是[)－1，＋≦.

跟踪训练5：设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)

解：≧f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．≨当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0. ≨当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c. 又f(3)＝9＋8c>f(1)，≨x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. ≧对任意的x∈[0,3]，有f(x)9. ≨c的取值范围为(－≦，－1)∪(9，＋≦)．

四．课时小结

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．

2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.

4.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2

f′(x) ＋ 0 －

f(x) －7a＋b 增 b 减 －16a＋b 得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

5．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．

6．.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.

7.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．

(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．

五．作业设计

1. 函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图像如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(A)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2． 下列关于函数的极值的说法正确的是 (D)

A．导数值为0的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

3． 函数y＝x3－3x2－9x(－2

A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11

C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值

4． 已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则 (C)

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0