北京良乡第四中学数学三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
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北京良乡第四中学数学三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：//PFGH.
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使PHKHPK，作PQ平分EPK，求HPQ的度数.
【答案】(1)AB//CD，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ.
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，即可证明；
（2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再结合GH⊥EG，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.
【详解】
(1)//ABCD，
理由如下：如图1，
图1
∵1与2互补，
∴12180，
又∵1AEF，2CFE，
∴180AEFCFE，
∴//ABCD；
(2)如图2，由(1)知，//ABCD，
图2
∴180BEFEFD．
又∵BEF与EFD的角平分线交于点P，
∴1(2)90FEPEFPBEFEFD，
∴90EPF，即EGPF．
∵GHEG，
∴//PFGH；
(3)如图3，
∵PHKHPK，
2PKGHPK.
又∵GHEG，
∴90902KPGPKGHPK．
∴180902EPKKPGHPK．
∵PQ平分EPK，
∴1452QPKEPKHPK．
∴45HPQQPKHPK．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：
（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= ；
②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．
【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°
【解析】
试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；
（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；
②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG1C=67°，计算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数.
试题解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：
连接AD并延长到M．
因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°，∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC﹣∠A
=90°﹣50°
=40°．
②在箭头图G1BDC中
因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，
又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°
∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4
∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°
∴∠DBG4+∠DCG4=17°．
∴∠ABG1+∠ACG1=17°
∵在箭头图G1BAC中
∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，
又∵∠BG1C=67°，
∴∠A=50°．
答：∠A的度数是50°．
3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）；
（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．
【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠BAO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
∴∠ACO＝3∠OAC，
∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x）， ∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x） ∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60+x＝3（90-x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90-x＝90°，
∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90-x＝3（60+x），
∴x= -22.5（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
4．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；
③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴12ADCADB，12AECAEB，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,
=45°+40°,
=85°；
③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴110（133-x）+x=70，
∴13.3-110x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定
