等腰三角形判定

第05讲 等腰三角形的性质与判定

【学习目标】

1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】

一．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

二．等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

三．等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【考点剖析】

一．等腰三角形的性质（共7小题）

1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）

A．7cmB．9cmC．9cm或12cmD．12cm

2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。

首先，我们来了解等腰三角形的定义。等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。

接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。这个性质可以通过几何推理来证明。假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。

除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。

让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。

在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。

等腰三角形的性质与判定（二）

等腰三角形

等腰三角形

解 释

定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．

性质 （1）两腰相等、两底角相等．

（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．

判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．

类型一、等腰三角形的判定

如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．

举一反三:

【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：

①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：OB=OC；

（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

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例题1

例题2 典题精练 举一反三:

【变式1】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD

于E，交AC于F．求证：CE＝CF．

【变式2】如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．求证：∠ADB＝∠CDF．

类型二、等边三角形的判定

已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．

（1）求证：AD=AE．

（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．

举一反三：

【变式1】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.

其利教育 2013年秋季 M08T02B13

数学是人类思维的体操 电话:38898300 1 等腰三角形的性质与判定

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

等腰三角形

知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角

等腰三角形的两个底角 .

例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30o B．40o C．45o D．36o

同步检测一：

1.在△ABC中，AB＝AC，①若∠A＝70°，则∠B＝ °，∠C＝ °②若∠B＝40°，则∠A＝ °

2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）

Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65°

知识点二：等腰三角形的性质——三线合一