勾股定理各种题型：
一：勾股定理面积相等法：
方法1：
方法2：
方法3：
二：方程思想和勾股定理结合的题目
1.（2016春•宜春期末）一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（）
A．米B．2米C．10米D．米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．
【解答】解：由题意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2=52，解得x=，
所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D．
【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．
2.（2016春•防城区期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF
比CF大1，则EF的长为（）
A．5 B．6 C．3 D．4
【考点】勾股定理；平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠A+∠B=50°+40°=90°，
∴∠C=90°，
设CF=x，则EF=x+1，
根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+x2=（x+1）2，
解得：x=4，
∴EF=4+1=5，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
3.（2015春•蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折
叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合，
∴BE=ED，
设AE=x，则ED=9﹣x，BE=9﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=（9﹣x）2，
解得x=4，
∴AE的长是4，
∴BE=9﹣4=5，
故选C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．
4.（2008秋•奎文区校级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．
三：勾股定理应用：求最短距离问题
1.（2014秋•环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′==10cm．
故选C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
2.（2016春•繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（）
A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【解答】解：（1）如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；（2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，
Rt△ADP中，AP==6cm．
综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．
故选A．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
3.（2016•大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=（12×4）2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
4.（2016•游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．（）
A．7 B．C．24 D．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
