1经典物理学不能解释
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习题
第一章 绪论
一、填空
1.经典物理学不能解释： 、 、 、 和 等问题。
2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式 ；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式 。这两个关系式合称为
普朗克－爱因斯坦关系式。
3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。
二、概念与名词解释
1.黑体辐射
2.玻尔的量子论
3.光的波粒二象性
4.德布罗意关系
5.杜隆－珀蒂定律
三、计算
1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长mλ与
温度T成反比，即
mTbλ= （常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
3．氦原子的动能是kTE23=（k为玻耳兹曼常数），求1TK=时，氦原子的
德布罗意波长。
4．利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场10HT=，玻尔磁子124109−−⋅×=TJMB，试计算动能的量子化
间隔△E，并与4TK=及100TK=的热运动能量相比较。
5．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，
问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
第二章 波函数和薛定谔方程
一、填空
1. 一维谐振子的能量本征值nE与_____有关，能量是量子化的。最低的能
量是____，称为_____。能级都是等间距的，间隔都是____。
2. 定态的性质：粒子的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的
力学量的____和____不随时间变化。
二、概念与名词解释
1. 态叠加原理
2. 概率流守恒定律
3. 定态
4. 束缚态
三、计算
1．证明在定态中，几率流与时间无关。
2．由下列定态波函数计算几率流密度：
ikrikrerer−==1)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面
波。
3．一粒子在一维势场
⎪⎩⎪⎨⎧
>∞≤≤<∞=axaxxxU，，，0 00)(
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
4．证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA1=′
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU=−，证明粒子
的定态波函数具有确定的宇称。
7．一粒子在一维势阱中
⎪⎩⎪⎨⎧
≤>>=axaxUxU ,0 ,0)(0
运动，求束缚态(00UE<<)的能级所满足的方程。 8．分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<≤≤−<≤<∞
=
，，，，
,0 ,0 , 0 ,
)(10
xbbxaUaxUx
xU
求束缚态的能级所满足的方程。
第三章 量子力学中的力学量
一、概念与名词解释
1．转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符
2．算符对易与不对易
3．不确定关系
4．奇宇称，偶宇称
5．维里定理
二、计算
1．一维谐振子处在基态tixexωα
παψ2222)(−−=，求：
(1)势能的平均值2212Uxµω=；
(2)动能的平均值22pTµ=；
(3)动量的几率分布函数。
2．氢原子处在基态0/301),,(arear−=πϕθψ，求：
(1)r的平均值；
(2)势能re2−的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 3．证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
0==θeerJJ
2sin mnermeJA=ψθµϕ= 4．由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
−−==)( 2)( 2
CGScmeSIme
MMzµµ==
原子磁矩与角动量之比为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
−−=)( 2)( 2
CGSceSIe
LM
zz
µµ
这个比值称为回转磁比率。
5．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是22LHI=，L为角动
量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1)转子绕一固定轴转动； (2)转子绕一固定点转动。
6．设t=0时，粒子的状态为
212()[sincos]xAkxkxψ=+
求此时粒子的平均动量和平均动能。 7．一维运动粒子的状态是
, 0() 0, 0xAxexxxλψ−⎧≥=⎨<⎩当当
其中0λ>，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 8．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数
()()xAxaxψ=−
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 9．设氢原子处于状态
2110211113(,,)()(,)()(,)22rRrYRrYψθφθφθφ−=−
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 10．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
, ;()0, raUrra∞≥⎧=⎨<⎩
求粒子的能级和定态波函数。
11．求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆px
12．粒子处于状态
21/20221()()exp[]24ixxpxψπξξ=−=
式中ξ为常量。求粒子的动量平均值，并计算测不准关系22()()?xp∆⋅∆=
13．利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
第四章 态和力学量的表象
一、概念与名词解释
1．表象
2．希尔伯特空间
3．希尔伯特空间中矢量的内积 4．幺正矩阵，幺正变换
5．占有数表象
二、计算
1．求在动量表象中角动量ˆxL的矩阵元和2ˆxL的矩阵元。
2．求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
3．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
4．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5．设已知在2ˆˆzLL和的共同表象中，算符ˆxL和ˆyL的矩阵分别为
0101012010xL⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠= 0020200yiLiii−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠=
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵xyLL和对角化。
6．求连续性方程的矩阵表示。 第五章 微扰理论
一、概念与名词解释
1．斯塔克效应
2．跃迁概率
3．费米黄金规则
4．选择定则
二、计算
1．如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
2．转动惯量为I、电偶极矩为DG的空间转子处在均匀电场在εG中，如果电场
较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
3．设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰ˆH′的作
用，微扰矩阵元为bHHaHH=′=′=′=′22112112，；ab、都是实数。用微扰公式求
能量至二级修正值。 4．设在0t=时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sin tεω，ε及ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。 5．基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
⎩⎨⎧
≥≤=−)(0 ,0 ,0/0为大于零的参数当当τεετtett
求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 6．计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 7．计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 8．求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
第六章 电子自旋
一、填空
1． 实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一。为了解释
该实验， 和 提出了电子具有自旋角动量的说法。
2．在),ˆ(x2σσ的共同表象中，算符zyxσσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____
和_____。 二、概念与名词解释
1．电子自旋
2．泡利矩阵
3．无耦合表象，耦合表象
4．塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算
1．证明：ˆˆˆxyziσσσ=
2．求在自旋态)(21zSχ中，ˆxS和ˆyS的测不准关系： 22()()?xySS∆∆=
3．求010ˆˆ10022xyiSSi−⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠==及的本征值和所属的本征函数。
4．求自旋角动量)cos,cos,(cosγβα方向的投影
γβαcosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS++=
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量ˆzS有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出
现？ˆzS的平均值是多少？
5．设氢的状态是 ⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
−=),()(23),()(21
10211121
ϕθϕθψYrRYrR
①求轨道角动量z分量ˆzL和自旋角动量z分量ˆzS的平均值；
②求总磁矩 SeLeMˆˆ2ˆGGG
µµ−−=的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
第七章 全同粒子体系
一、填空
1．___、___、___以及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子称为全同粒子。
2．在量子统计中，由费米子组成的体系服从____统计，由玻色子组成的体
系服从____统计。
