华北电力大学硕士研究生课程考试试题
（A卷）(2013-2014)
一、判断题（每小题2分，共10分）
1. 方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(X)
见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后
者小于等于n
2. 设12
,,,m ααα是线性无关的向量,则 12dim(span{,,,})m m ααα=.
正确，线性无关的向量张成一组基
3.如果12,V V 是V 的线性
子空间,则1
2V V ⋃也是V
的线性子空间.
错误，按照线性子空间的定
义进行验证。
Aλ是可逆4. n阶λ-矩阵()
Aλ的充分必要条件是()
的秩是n .
见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A
的最小多项式没有重根. 见书90页。
二、填空题（每小题3分，共27分）
（6）210021,
003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则
A
e 的Jordan 标准型为223e 100e 0,00e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
首先写出
A
e
然后对于
若当标准型要求非对角元部分为1.
（7）
301
002
030λ
λ
λ
-
⎛⎫ ⎪
+ ⎪ ⎪
-
⎝⎭
的Smith标准型为
10003000(3)(2)λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+⎝⎭
见书61-63页，将矩阵做变换即得
（8）设
1000.10.30.200.40.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则
100lim 000000n n A →+∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
。
见书109页，可将A 对角化再计算即得。
（9）2345⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 在基
11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标为(1,1,2,1)T
。
见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出
过渡矩阵Ａ，坐标即A的逆乘以自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
（10）设
423243537A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
，则A ∞= 15。
见书100页，计算每行的绝对值的和。
（11）
20211123x x x x x e x x →-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝
⎭
sin cos ln()lim sin =2003⎛⎫ ⎪⎝
⎭。 对矩阵中的每个元素求极限。
12设
,,m n p q m q A R B R C R ⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程
AXB C =的极小范数最小二乘解是+
()T X A B C =⊗ 见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。
（12）若n 阶方阵A 满足
30A =，则
cos A =
212E A - 。 见书121页，3
0A =，所
以后面的项都为零。
（13）方阵A 的特征多项式是
33
(2)(3)(5)λλλ---，最小多项式是 2
(2)(3)(5)λλλ---，则A 的Jordan 标准形是
3((2,1),(2,2),3,5)diag J J E 特征多项式决定了A 的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个1
阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。
三(7分)、设
121320010
2171,01222
501820214
0A B C -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
证明AX XB C +=有唯一解。
见书114页，本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值，
具体解法如下。
证明：
33+T A E E B ⊗⊗非奇异。
显然,B -的特征值为2,1,2--,下证明：2,1,2--不是A 的特征值：
（1） 方法1：用圆盘定
理。A 的三个行圆盘分别是
(12,4),(7,2),(8,1)B B B -,
2,1,2--都不在
(12,4)(7,2)(8,1)B B B ⋃⋃-
中，因此A 与B -没有相同的特征值，从而0不是33+T
A E E
B ⊗⊗的特征值，故33+T
A E E
B ⊗⊗可
逆，从而
AX XB C +=有唯一解。
（2） 方法2：求出A 的
特征多项式，再证明2,1,2--不是A 的特征值。
方法3：直接写出
33+T A E E B ⊗⊗，再证明
它非奇异。
四(8分)、设3维内积空间
在基123,,ααα下的矩
阵
211150103A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
。求 123{++}span ααα 的正交补空间。
