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平面向量与解析几何综合问题

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平面向量与解析几何交汇的综合问题苍南县龙港二高李丕贵设计立意及思路向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。

而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。

本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

高考考点回顾近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修Ⅱ）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。

就应用层面上又有两个层次。

第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。

考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识梳理1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2．实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3．平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4．椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6．直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7．平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解一、“减少运算量，提高思维量”是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。

而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。

在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

例1．已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足|a |+|b |=4.(1)求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。

解：(1) a =j y i x +-)3(, |b |=j y i x ++)3(,且|a |+|b |=4.∴ 点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422=+y x (2)设A(11,y x ),B(22,y x )依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得0448522=-++m mx x ，则1x +2x =-58m, 1x •2x =)1(254-m 因此，225221)5(m m d AB S AOB -==∆当225m m =-时，即m=210±时，1max =S[题设变式I.1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足||a |-|b ||=2.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(轨迹为双曲线)[题设变式I.2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足b •i =|a |.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i 表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x= -3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1，故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x= -3为准线抛物线][题设变式I.3] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足b •i =λ|a |.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i 表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x=-3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为λ1 =•i b a，当110<<λ时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的椭圆；当11>λ时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支λ应满足什么条件？][题设变式I.4] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP •=.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的抛物线)[题设变式I.5] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP •=.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的圆锥曲线。

)[考题] 已知点A(22-，0)，B(2-，0)动点P 满足||||2BP AB AB AP ⋅=⋅(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1，求曲线C 1的方程.(2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D （0，32-）作斜率为k 的直线交曲线 C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q.（解答见附页）[题设变式II.1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足|a +b |=4..求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (OP BP AP 2=+,点P 轨迹为圆，其中A （3，0），B （－3，0）)[题设变式II.2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足a •b ＝6.求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (轨迹为圆) 例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P 在y 轴上的射影是H ，如果PN PM PH PH ⋅⋅, 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点，A 、B ，设R为AB 的中点，若过点R 与定点Q(0，-2)的直线交x 轴于点D(x 0，0)，求x 0的取值范围.导析 （1）设P(x ，y)，则H(0，y)，),0,(x PH -= ),,2(y x PM ---=).,2(y x PN --=.4)2)(2(,2222-+=+---=⋅=⋅y x y x x PN PM x PH PH 所以又因为,2=⋅⋅PH PH PNPM 所以有.24222=-+x y x 所以点P 的轨迹方程为y 2-x 2=4(x ≠0).（2）设AB ：y=k(x -2)，A(x 1y 1)，B(x 2y 2)，R(x 3y 3).⎩⎨⎧=--=42)(22x y x k y 由 化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===.12,1222322213k k y k k x x x 所以有 所以.133k x y = 所以DQ 的方程为,2233x y x y +=+ 令y=0，得,21223330x k x y x +=+= 45)211(2212122220+--=-⋅+=k kk k x 所以 又由 ⎪⎩⎪⎨⎧〉⋅〈+〉-=--=∆.0,0,01632)1(161623212224y y y y k k k 可得k 2＞21，由题意可知22＜k ＜1， 所以1＜k 1＜2，所以12-＜-(211-k )2+45＜1， 所以2＜x 0＜2+22. 故所求的x 0的取值范围为(2，2+22).[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？[当0＜q ＜1时，点P 的轨迹为椭圆]例3、如图所示，点F (a ，0)(a ＞0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点，且PM PN PF PM -==⋅,0（1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）过点F(a ，0)的直线l(不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设点K(-a ，0)，KA 与KB 的夹角为θ，求证：0＜θ＜2π.[答案提示] （1）点N 的轨迹C 的方程为ax y 42=[变化]点F (a ，0)(a ＞0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点， 且PM PN PF PM λ==⋅,0（λ为常数）求点N 的轨迹仍为抛物线吗？；二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

例4、已知1F ，F 椭圆12622=+y x 的两个焦点，过点F 的直线BC 交椭圆于B 、C 两点， (1))(21OB OC OM +=，求点M 的轨迹方程. [答案13)1(22=+-y x ](2)若相应于焦点F 的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明:FQ FM λ-=.解：(1)略(2) 证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以 FQ FM λ-=.[结论发散]设P(00,y x )为椭圆上一点，(1)求PF PF •1的Min(2)•的Max(3)当PF PF •1<0时，0x 的取值范围。

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平面向量与解析几何

平面向量与解析几何

平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一，它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。

平面向量通过模和方向来表示，通常用有序对(a, b)来表示。

解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。

本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。

一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。

平面向量的表示通常用直角坐标系，其中向量的起点作为坐标原点，向量的终点与原点坐标进行表示。

平面向量AB用向量→AB表示，其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。

平面向量的模记作|→AB|，表示向量的长度或大小。

平面向量的方向用角度α或方向角θ表示，通常在x轴正方向逆时针旋转所得。

平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。

二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。

1. 平面向量的加法：向量→AC = →AB + →BC，其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。

2. 平面向量的减法：向量→AB - →CD = →AB + (-→CD)，其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。

3. 数量乘法：数乘一个实数k，→AC = k→AB，其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。

4. 数量除法：→AB/ k = (1/k)→AB，其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。

三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。

1. 共线定理：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得→AB= k→CD。

高考解析几何大题题型归纳

高考解析几何大题题型归纳

高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。

2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。

3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。

4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。

5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。

以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。

【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型

【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型

平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

平面向量与解析几何交汇题的分类解析

平面向量与解析几何交汇题的分类解析

平面向量与解析几何交汇题的分类解析湖北省广水市第一高级中学 (432700) 刘才华 Email:lch2019@平面向量既有大小又有方向，它具备数与形的双重身份，因此平面向量与解析几何交汇题，要善于分析清楚向量式的几何意义，借助向量形的特征使抽象的问题直观化、形象化；也要善于运用向量的坐标运算，借助向量数的特征用代数的方法研究几何图形的性质.一、利用向量式的几何意义求解定值问题例1 已知过点(0,1)A 的直线l 与⊙c ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点. 求证：AM AN ⋅为定值.解 如图1示，由于向量AM 、AN共线且同方向， ∴||||AM AN AM AN ⋅=⋅ ，作圆的切线AT ，由圆的切割线定理，则 222||||||||817AM AN AT AC r ⋅==-=-= ，∴AM AN ⋅为定值.例2 已知1OF ＝(3,0)-，2OF＝(3,0)（O 为坐标原点），动点M 的轨迹为c ，且M 满足：12||||10MF MF +=.(1) 求动点M 的轨迹方程；(2) 若点P 和Q 是曲线c 上的任意两点，且0OP OQ ⋅= ，求222PQOP OQ⋅ 的值.解 (1）∵1212||||10||6MF MF F F +=>=，∴动点M 的轨迹c 为椭圆，且210a =，26c =，∴5a =，3c =，则4b =，∴点M 的轨迹方程为2212516x y +=. (2) 向量式2222222||||()||||||||PQ PQPQ OP OQ OP OQ OP OQ ==⋅⋅⋅ 如图2示，∵0OP OQ ⋅=，∴POQ ∆为直角三角形，∴POQ ∆的面积为11||||||22S OP OQ PQ d =⋅=⋅ ，∴d =∴向量式22221PQ d OP OQ=⋅ ，即为原点到直线PQ 的距离d 的平方的倒数. 图2图1设PQ 的方程为y kx m =+，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(1625)50254000k x kmx m +++-=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则有1222122501625254001625km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=++⋅+221212(1)()0k x x km x x m =++++= ∴22222222540050(1)016251625b k m k m k k -+-+=++，化简得2241400(1)m k =+，即22400141m k =+，∴2222400141m d k ===+， 若斜率k 不存在，则OP 的方程为y x =，联立2212516y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴直线PQ的方程为x =PQ的距离d =240041d =.∴综合上述2222141400PQ d OP OQ==⋅ . 二、利用向量的坐标运算求解轨迹方程例3 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程解 由题意设(,0)A a 、(0,)B b ，且0a >、0b >.∵2BP PA =，即(,)2(,)x y b a x y -=--，∴222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩， 即323a x b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴3(,0)2A x 、(0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-又点Q 与点P 关于y 轴对称知，∴(,)Q x y -，OQ=(,)x y -，则2233(,)(,3)3122OQ AB x y x y x y ⋅=-⋅-=+= ，又302a x =>，30b y =>，∴0x >且0y >. ∴P 点的轨迹方程为223312x y +=（0x >且0y >）． 三、利用向量证明几何图形中的位置关系例4 设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左、右顶点，且点P 是右准线上不同点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内.解 如图3示，要证点B 在以MN 为直径的圆内，只需证2MBN π∠>，即要证0BM BN ⋅<.由题意得(2,0)A -、(2,0)B ，右准线方程为4x =. ∴设点(4,)P t 且0t ≠，11(,)M x y 、22(,)N x y ， 则直线AP 的方程为(2)6t y x =+，PB 直线方程为(2)2t y x =-∵点M 、N 分别在直线AP 、PB 上，∴11(2)6t y x =+，22ty =∴21212(2)(2)12t y y x x =+-， 联立22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得到2222(27)44(27)0t x t x t +++-=， ∵2-，1x 是方程的两根，∴2124(27)227t x t --⋅=+，即2122(27)27t x t-=+， ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)BM BN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+21212(2)(2)(2)(2)12t x x x x =--++-2112[2(2)](2)12t x x x =-++-=2225(2)27t x t -+ ∵22(,)N x y 是椭圆上异于A 、B 的点，∴22x <.又0t ≠，∴BM BN ⋅=2225(2)027t x t -<+． ∴点B 在以MN 为直径的圆内.图3。