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第八章 假设检验 作业解答1. 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。
设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X ～N （µ，σ 2），µ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：µ=3.25; H 1：µ≠3.25（2）选取检验统计量为)1(~25.3−−=n t nS X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2−n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=−−==∑=i i X Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2−<=−=n t t α （5）故在α = 0.01下，接受假设H 02． 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21≈−=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为µ，试检验假设（取α = 0.05） H 0：µ = 0.618 H 1：µ≠0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.解：步骤：（1）H 0：µ = 0.618； H 1：µ≠0.618（2）选取检验统计量为)1(~618.0−−=n t nS X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2−n t α（4）n=20 α = 0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121=−−===∑∑==n i i n i i x xn S xn x ，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22−<=−==−n t t n t αα （5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183. 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。
第七章参数估计1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。
n2 6(X i x) 6 10i 1S 2 6.86 10 6。
ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹(1) f (x)e c e x (e 1},x c0,其它其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。
(2) f(x)、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。
(5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。
解：（ 1) E(X)xf(x)dxce c e x e dxe c ece 1e 1 e c 令 e c Xe 1, 令 e 1XX c(2) E(X)xf (x)dxe x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )22.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。
得e1e (5)-e 1 解：（1）似然函数 nL (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2i 1X n )mm 计)解：U,b 2的矩估计是X 74.002E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
ln x i 0（解唯一故为极大似然估计量）In X i nln ci 1⑵ L(B ) n n_f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1,ln L(B )n2~nln( 0) (0 1) In X ii 1dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i0,i 1? （nIn x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然估2.一 0 计量。
nm m n X i nmn 召 (5) L(p) P{X X i }p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X nn n nIn L(p) In m X i x i In p (mnX i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x ii 10 1 pn X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。
假设检验第八章。
3.24（%）3.25 3.27 3.24 3.26 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值= 0.01设测定值总体服从正态分布，问在α3.25.为 2 2～均未知μ，，σσ）解：设测定值总体X，N（μ3.25 ：μ=3.25; H：≠μ步骤：（1）提出假设检验H1025X?3.)~t(nt??1 2）选取检验统计量为（Sn).t(n?1 ≥| （3）H的拒绝域为t | ?201304?0?Xx?3.252,S?)(X. ，由计算知n=（4）5, α= 0.01α0251i1n?1?i25.3.252?3)1t|?343?t(n??0.| t(4)=4.6041, 查表0.005α01304.025H5）故在α= 0.01下，接受假设（01?ωl01)?.618(5?的比l二2．，这样的矩[] 如果一个矩形的宽度ω与长度 2 、现代建筑构件形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
（如窗架）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下工艺品（如图片镜框）个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形20面列出某工艺品工厂随机取的）μ，试检验假设（取α= 0.05的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为0.618≠H：μH：μ= 0.618 100.668 0.628 0.615 0.606 0.690 0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.6720.933. 0.576 0.570 0.844 0.601 0.611 0.606 0.609 0.5530.618 ：Hμ≠：）Hμ= 0.618；（解：步骤：110618.?0X)?1~t?t(n 2（）选取检验统计量为Snt(n?1). 的拒绝域为）（3H≥|| t 0α268，计算知（4）n=20 α= 0.05nn11??20925?x)(xx?.x,?0.6605S??0 ，ii1n?n1i?i1?618.?00.6605)1n??)?2.0930,|t|?2.055?t(?t(n1 αα09250.22200.618 H，认为这批矩形的宽度和长度的比值为（5）故在α= 0.05下，接受0今从一批这种元件中随机抽取1000小时，3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于小时=10025件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ。
第三章 多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。
考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。
由独立性定义知。
P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。
解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。
第三章 多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。
考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。
由独立性定义知。
P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。
解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。
第二章 随机变量及其分布1。
［一] 一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3。
［三] 设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2)画出分布律的图形.解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1, 2 P :351,3512,3522 4.[四］ 进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p （0〈p 〈1)（1)将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
(此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）(3）一篮球运动员的投篮命中率为45％，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ,则 P ｛Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = （0.55)k －10。
第八章 假设检验1.［一］某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%)3。
25 3.27 3.24 3.26 3.24。
设测定值总体服从正态分布，问在α = 0。
01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3。
25.解：设测定值总体X~N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤:（1)提出假设检验H 0:μ=3.25； H 1：μ≠3。
25 (2)选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为｜ t |≥).1(2-n t α（4)n=5, α = 0。
01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==∑=i iX Xn S x查表t 0.005(4）=4。
6041， )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 02．[二］ 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21≈-=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0。
05）H 0:μ = 0。
618H 1：μ≠0。
6180。
693 0。
749 0.654 0。
670 0。
662 0.672 0.615 0.606 0。
690 0.628 0。
6680。
611 0。
606 0。
609 0.601 0。
553 0。
570 0。
844 0。
576 0。
933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2)选取检验统计量为)1(~618.0--=n t nS X t(3）H 0的拒绝域为｜ t |≥).1(2-n t α（4）n=20 α = 0。
概率论与数理统计浙大第四版答案【篇一：概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)】死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。
解：设x为公司的赔付金额，x=0,5,20p（x=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 p（x=5）=0.00102.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以x表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.3解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有c5 =10种取法，数量不多可以枚举来解此题。
设样本空间为ss=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝易得，p｛x=3｝=10p｛x=4｝=10p｛x=5｝=10；136方法二：x的取值为3,4,5当x=3时，1与2必然存在，p｛x=3｝=c22c5=;10c23c51当x=4时，1,2,3中必然存在2个， p｛x=4｝= =；103当x=5时，1,2,3,4中必然存在2个， p｛x=5｝=c24c5=；106(2)将一颗骰子抛掷两次，以x表示两次中得到的小的点数，试求x 的分布律. 解：p｛x=1｝= p (第一次为1点)+p（第二次为1点）- p （两次都为一点）= +?6611136=；361114141715151966661313136=36566661212136=3631111113.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样.以x表示取出的次品的只数.(1)求x的分布律. 解：p｛x=0｝= c133515c322p｛x=1｝= p｛x=2｝=1c213 c212c1535;1352c113c2c15;(2)画出分布律的图形.4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p，失败概率为q=1-p（0p1）（1）将试验进行到出现一次成功为止，以x表示所需的试验次数，求x的分布律。
（此时称x服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以y表示所需的试验次数，求y得分布律。
（此时称y服从以r,p为参数的帕斯卡分布或负二项分布）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。
以x表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出x的分布律，并计算x取得偶数的概率解：（1）k=1,2,3，……p（x=k）=p?????1 （2）k=r+1,r+2,r+3, ……???1???????p（y=k）=????? 1????（3）k=1,2,3, ……p（x=k）=0.45(0.55)???1, 设p为x取得偶数的概率p=p{x=2}+ p{x=4}+ ……+ p{x=2k}=0.45(0.55)1+0.45(0.55)3……+0.45(0.55)2???1=31115. 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的。
(1) 以x表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求x的分布律。
(2) 户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。
如户主所说是确实的，试求y的分布律。
(3)求试飞次数x小于y的概率和试飞次数y小于x的概率。
解：（1）由题意知，鸟每次选择能飞出窗子的概率为1/3，飞不出窗子的概率为2/3，且各次选择之间是相互独立的，故x的分布律为：12p(x=k)=?(???1，k=1,2,3……33（2）y的可能取值为1，2，3，其分布律为方法一：p(y=1)=323231p(y=2)=p(y=3)=?231211??1=31方法二：由于鸟飞向各扇窗户是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的。
即p(x=1)=p(y=2)=p(x=3)=1（3）设试飞次数x小于y为事件a，y小于x为事件b。
普通鸟和聪明鸟的选择是独立的x小于y的情况有：① x=1, y=2 ② x=1, y=3 ③ x=2, y=3 故p(a)=p(x=1)*p(y=2)+ p(x=1)*p(y=3)+ p(x=2)*p(y=3)=13?+?+?=3933312111827y小于x的情况有：① y=1, x≥2 ② y=2, x≥3 ③ y=3, x≥4 故p(b)=p(y=1)*p(x≥2)+p(y=2)*p(x≥3)+p(y=3)*p(x≥4)=p(y=1)*[1-p(x=1)]+p(y=2)*[1-p(x=1)-p(x=2)]+p(y=3)*[1-p(x=1)-p(x=2)-p(x=3)]=13?(1-)+?(1--?(1- - -)33393392711121124=38816. 一大楼装有5台同类型的供水设备。
设各台设备是否被使用相互独立。
调查表明在任一时刻t每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻， (1) 恰有2台设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台设备被使用的概率是多少？(4) 至少有1台设备被使用的概率是多少？解：设同一时刻被使用的设备数为x，试验次数为5且每次试验相互独立，显然x满足二次分布x2(1) p(x=2)=??5?0.12?0.93=0.072934(2)p(x≥3)=p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)=??5?0.13?0.92+??5?0.14?0.9+0.15=0.008564(3) p(x≤3)=1-p(x=4)-p(x=5)=1-??5?0.14?0.9-0.15=0.99954 (4)p(x≥1)=1-p(x=0)=1-0.95=0.409517. 设事件a在每次试验发生的概率为0.3。
a发生不少于3次时，指示灯发出信号。
(1) 进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
(2) 进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：设进行5次重复独立试验指示灯发出信号为事件b，进行7次重复独立试验指示灯发出信号为事件c。
用x表示n次重复独立试验中事件a发生的次数，则??p(x=k)=?????0.3???0.7?????, k=1,2,3……34（1） p(b)=p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)=??5?0.33?0.72+??5?0.34?0.7+0.35≈0.163或：12p(b)= 1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=1-0.75-??5?0.3?0.74-??5?0.32?0.73≈0.16312（2） p(c)=1- p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=1-0.77-??7?0.3?0.76-??7?0.32?0.75≈0.3538．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6, 0.7. 今各投三次，求：（1）两人投中次数相等的概率（2）甲比乙投中次数多的概率解：记投三次后甲投中次数为x，乙投中次数为y，，设甲投中a次，乙投中b次的概率为 p（x=a，y=b）（1）设两人投中次数相等为事件a因为甲、乙两人每次投篮相互独立且彼此投篮相互独立则p（a）= p（x=0，y=0）+p（x=1，y=1）+p（x=2，y=2）+p（x=3，y=3）1122332=0.321（2）设甲比乙投中次数多为事件b则p（b）=p（x=1，y=0）+p（x=2，y=0）+p（x=3，y=0）+p（x=2，y=1）+p（x=3，y=1）+p（x=3，y=2）222331??3231??3232??329．有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。
若产品的次品率为10%，求：（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：记第一次检验抽取的10件中次品个数x，则x～b（10 , 0.1）第二次检验抽取的5件中次品个数y，则y～b（5 , 0.1）（1）设事件a为“这批产品第一次检验就能接受”，p（a）=（0.9） 10≈ 0.349（2）设事件b为“需作第二次检验”，即第一次检验次品数为1或2【篇二：概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案(完全版)】p> 浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）o1n?100?s???,???，n表小班人数 n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）s={10，11，12，???，n，???}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）s={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列事件。
（1）a发生，b与c不发生。
表示为： a或a－ (ab+ac)或a－ (b∪c)（2）a，b都发生，而c不发生。
表示为： ab或ab－abc或ab－c表示为：a+b+c （3）a，b，c中至少有一个发生（4）a，b，c都发生，表示为：abc表示为：ac或s－ (a+b+c)或a?b?c （5）a，b，c都不发生，（6）a，b，c中不多于一个发生，即a，b，c中至少有两个同时不发生相当于,,中至少有一个发生。
故表示为：??。
（7）a，b，c中不多于二个发生。
相当于：,,中至少有一个发生。
故表示为：??abc（8）a，b，c中至少有二个发生。
相当于：ab，bc，ac中至少有一个发生。
故表示为：ab+bc+ac6.[三] 设a，b是两事件且p (a)=0.6，p (b)=0.7. 问(1)在什么条件下p (ab)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下p (ab)取到最小值，最小值是多少？从而由加法定理得p (ab)=p (a)+p (b)－p (a∪b) (*)（1）从0≤p(ab)≤p(a)知，当ab=a，即a∩b时p(ab)取到最大值，最大值为p(ab)=p(a)=0.6，（2）从(*)式知，当a∪b=s时，p(ab)取最小值，最小值为p(ab)=0.6+0.7－1=0.3 。
