天津市部分区2020届高三质量调查(5月份)数学试题(含答案)

天津市和平区2020届高三数学下学期第二次质量调查试卷文（含解析）温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么.柱体的体积公式. 锥体的体积公式.其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合, ,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即故选：B.【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，”的否定是“，”D. 若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.5.已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.6.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心。

2020年天津市河西区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合M ＝{x |x 2≤4}，集合N ＝{x |1≤x ≤2}，则∁M N ＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜1}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{x |x ≤﹣2}D ．{x |0＜x ＜2}2．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.64．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．346．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7．函数f （x ）＝e |x ﹣1|﹣2cos （x ﹣1）的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A ．64B ．72C ．96D ．1449．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．（2x x）6展开式中常数项为 （用数字作答）．12．若直线3x+4y＝m与圆x2+y2＝m相切，则实数m＝．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．14．已知x，y为正实数，且xy+2x+4y＝41，则x+y的最小值为15．在△ABC中，点M、N分别为CA、CB的中点，点G为AN与BM的交点，若AB=√5，CB＝1，且满足3AG→•MB→=CA→2+CB→2，则BC→⋅BA→=．AG→⋅AC→=．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所称角的正弦值是√63，求DF的长．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b 1=16a 1，b 5是b 2和b 14的等比中项．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求∑ 10i=11b i bi+1；（3）设数列{c n }的通项公式c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k(k ∈N ∗)，求∑ 2ni=1(c i −1)2(n ∈N ∗)；19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁M N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，∴∁M N＝[﹣2，1）．故选：A．2．设p：“条件A与条件B互斥”，q：“条件A与条件B互为对立事件”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分而不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，可知“条件A与条件B互斥”，不一定有“条件A与条件B互为对立事件”，反之，由“条件A与条件B互为对立事件”，一定得到：“条件A与条件B互斥”．∴p是q的必要而不充分条件．故选：B．3．已知x与y之间的一组数据：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7则y与x的线性回归方程为y^=0.95x+a，则a的值为（）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=1解：由抛物线x 2＝20y ，得2p ＝20，则p ＝10． ∴抛物线x 2＝20y 的焦点坐标为（0，5），可知双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，设其方程为y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）．则c ＝5．又双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，∴2a ＝6，即a ＝3． ∴b 2＝c 2﹣a 2＝16．∴双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．故选：C ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34解：由正弦的面积公式知，S =12acsinB ，∵3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），∴3（c 2+a 2﹣b 2）＝16×12acsinB ，由余弦定理知，c 2+a 2﹣b 2＝2ac •cos B ， ∴3×2ac •cos B ＝8ac •sin B ，即tan B =sinB cosB =68=34． 故选：D ．6．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解：设正四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面的投影为O ，则V 正四棱锥=13S 底•PO =13×（√2）2×PO =23PO ，由题意可得23PO =43，所以PO ＝2，由题意可得所求的圆柱的底面直径2R ＝BD =√2×√2， 所以R ＝1，高h =PO2=1， 所以S 圆柱表面积＝2S 底+S 侧＝2πR 2+2πR •h ＝2π×12+2π×1×1＝4π， 故选：C ．7．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．解：f（0）＝e﹣2cos1＞0，排除B，D，当x≥1时，f（x）＝e x﹣1﹣2cos（x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+2sin（x﹣1），则当x≥2时，f′（x）＞0，即此时f（x）为增函数，排除C，故选：A．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（）A．64B．72C．96D．144解：根据题意，数字0，1，2，3，4，中有2个奇数，3个偶数，若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数，则四位数中有2个或3个偶数，分2种情况讨论：①，四位数中有3个偶数，1个奇数；因为0不能在首位，有3种情况，选取一个奇数有C21=2种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有3×2×6＝36个符合条件的四位数； ②，四位数中有2个偶数，2个奇数；若偶数中有0，在2、4中选出1个偶数，有C 21＝2种取法，其中0不能在首位，有3种情况，将其他3个数全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有2×3×6＝36个符合条件的四位数；若偶数中没有0，将其他4个数全排列，有A 44＝24个符合条件的四位数； 则一共有36+36+24＝96个符合条件的四位数； 故选：C ．9．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32解：函数g （x ）＝x ・f （x ）﹣a 的零点个数恰为2个⇔y ＝f （x ）与y =ax 有两个交点．x ≤2时，f(x)={x −2，1≤x ≤2−x ，x ＜1，2＜x ≤4时，f （x ）=−12[|x ﹣3|﹣1]．4＜x ≤6时，f （x ）=14[|x ﹣5|﹣1]． …故函数y ＝f （x ）与y =a x 的图象如下．根据图象可得a ＞0且{a 3＜12a 7＞18或a ＝﹣1， ∴78＜a ＜32，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 解：由（1+2i ）z ＝3﹣4i ，得z =3−4i1+2i， ∴|z |＝|3−4i 1+2i|=|3−4i||1+2i|=5=√5． 故答案为：√5． 11．（2x √x）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）． 解：（2x x ）6展开式的通项为T r+1=C 6r (2x)6−r 1√x)r =(−1)r 26−r C 6r x 6−3r 2 令6−3r2=0得r ＝4故展开式中的常数项C 62(2x)2√x)4=60． 故答案为6012．若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则实数m ＝ 25 ．解：根据题意，圆x 2+y 2＝m ，必有m ＞0，其圆心为（0，0），半径r =√m ， 若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则有√9+16=√m ，解可得m ＝25；故答案为：25．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X 的期望是35．解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为P （X ＝1）=C 21C 82C 103=715；（2）∵X 可能为0，1，2 ∴P （X ＝0）=C 83C 103=715， P （X ＝1）=715，P （X ＝2）=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布为：X 012P715715115则 E （X ）＝0×715+1×715+2×115=35；15514．已知x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41，则x +y 的最小值为 8 解：因为x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41， 所以x =41−4yy+2， 所以则x +y ＝y +41−4yy+2=−4(y+2)+49y+2+y =−6+49y+2+y +2≥−6+2√49y+2⋅(y +2)=8，当且仅当y +2=49y+2即y ＝5，x ＝3时取等号，此时x +y 取得最小值8． 故答案为：815．在△ABC 中，点M 、N 分别为CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =√5，CB ＝1，且满足3AG →•MB →=CA →2+CB →2，则BC →⋅BA →= 1 ．AG →⋅AC →= 83．解：∵M 、N 分别是CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，∴G 是△ABC 的重心，∴AG →=23AN →=13AB →+13AC →=13（CB →−CA →）−13CA →=13CB →−23CA →，又MB →=−12CA →+CB →，∴3AG →•MB →=（CB →−2CA →）•（CB →−12CA →）=CB →2+CA →2−52CB →⋅CA →，又3AG →•MB →=CA →2+CB →2，∴CB →⋅CA →=0，故BC ⊥AC ，∴AC =√AB 2−BC 2=2，∴BC →⋅BA →=BC →2=1，AG →⋅AC →=23AN →•AC →=23AC →2=83．3三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；解：（1）f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T＝π；（2）依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；设A=[−π4，π4]，B=[−π3+kπ，π6+kπ]，易知A∩B=[−π4，π6]，∴当x∈[−π4，π4]时，f（x）在区间[−π4，π6]上单调递增，区间(π6，π4]上单调递减．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F 为BB 1上的动点，使直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，求DF 的长．【解答】证明：（1）如图，连接AC ，交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接EO ； ∵E 为CC 1的中点， ∴EO ∥AC 1，又∵EO ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ∴AC 1∥平面BED ，（2）连接A 1B ，A 1C 1，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点， ∴BE =√2，A 1E =√3，A 1D =√5；∴在△A 1BE 中：BE 2+A 1E 2=A 1B 2，则△A 1BE 是直角三角形，∴A 1E ⊥BE ； 同理可证A 1E ⊥DE ； ∵BE ∩DE ＝E ； ∴A 1E ⊥平面BDE ．（3）以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据条件知道以下几个点坐标：B （1，1，0），E （0，1，1），D （0，0，0），A 1（1，0，2），设F （1，1，m ），设A 1F 交平面BDE 于G （x 0，y 0，z 0），连接A 1G ，EG ，则∠A 1GE 便是直线A 1F 与平面BDE 所成角；先给出所用到的几个向量的坐标：BD →=(−1，−1，0)，BE →=（﹣1，0，1），BG →=（x 0﹣1，y 0﹣1，z 0），A 1G →=(x 0−1，y 0，z 0−2)，A 1E →=(−1，1，−1)． ∵G 在平面BDE 上，∴存在一组实数λ，μ使BG →=λBD →+μBE →，带入坐标得： （x 0﹣1，y 0﹣1，z 0）＝λ（﹣1，﹣1，0）+μ（﹣1，0，1），所以得到： {x 0−1=−λ−μy 0−1=−λz 0=μ，解得：x 0+y 0+z 0＝2； ① 又∵A 1G →与A 1F →共线，∴存在实数b 使A 1G →=bA 1F →； ∴带入坐标得：（x 0﹣1，y 0，z 0﹣2）＝b （0，1，m ﹣2）； ∴{x 0−1=0y 0=b z 0−2=b(m −2)，解得：{x 0=1z 0−2=y 0(m −2)； ②由①②得：x 0=1，y 0=m−3m−1，z 0=2m−1； 又直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63；∴A 1E A 1G=√63； ∴√3√(m−1)2+(m−1)2=√63，解得：m ＝﹣3．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b1=16a1，b5是b2和b14的等比中项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求∑10i=11b i b i+1；（3）设数列{c n}的通项公式c n={1，n≠2ka k，n=2k(k∈N∗)，求∑2n i=1(c i−1)2(n∈N∗)；解：（1）∵2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），∴2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣2）（n≥2），两式相减，整理得：a na n−1=3 （n≥2），当n＝1时，有2a1＝3（a1﹣2），解得a1＝6，∴数列{a n}是以6为首项，3为公比的等比数列，a n＝6×3n﹣1＝2×3n．设数列{b n}的公差为d，∵b1=16a1=1，b5是b2和b14的等比中项，∴（b5）2＝b2•b14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得d＝0或2，∵公差不为0，∴d＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）∵1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1），∴∑10i=11b i b i+1=12（1−13+13−15+⋯+119−121）=1021； （3）∵c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k（k ∈N *），a n ＝2×3n ，∴∑ 2ni=1(c i −1)2=∑ n i=1(a i −1)2=∑ n i=1(2×3i −1)2=∑ n i=1(4×9i −4×3i +1)＝4∑ n i=19i −4∑ n i=13i +n =12×9n +1﹣2×3n +1+n +32． 19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．解：（1）设椭圆方程为x 2a +y 2b =1，由题意，得c =√3．因为a 2﹣c 2＝b 2，所以b 2＝a 2﹣3． 又(1，√32)是椭圆上的一个点，所以1a +34a −3=1，解得a 2＝4或a 2=34（舍去），从而椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）因为P （x 0，y 0），x 0≠0，则Q （0，y 0），且x 024+y 02=1．因为M 为线段PQ 中点，所以M(x2，y 0)．又A （0，1），所以直线AM 的方程为y =2(y 0−1)x 0x +1． 因为x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝﹣1，得C(x1−y 0，−1)．又B （0，﹣1），N 为线段BC 的中点，有N(x2(1−y 0)，−1)．所以NM →=(x 02−x02(1−y 0)，y 0+1)． 因此，OM →⋅NM →=x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0⋅(y 0+1)=x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0=(x 024+y 02)−x 024(1−y 0)+y 0=1−(1+y 0)+y 0=0．从而OM ⊥MN ．因为|OM|=√x 024+y 02=1，|ON|=√x 024(1−y 0)2+1=√1−y 02(1−y 0)2+1=√21−y 0， 所以在Rt △MON 中，|MN|=√|ON|2−|OM|2，因此S △MON =12|OM||MN|=12√1+y 01−y 0．从而有12√1+y 01−y 0=32，解得y 0=45． 20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．解：（1）f '（x ）＝e x ﹣e x （sin x +cos x ）＝e x （1﹣sin x ﹣cos x ）=e x [1−√2(sin(x +π4)]=−√2e x [sin(x +π4)−√22]，∵x ∈[0，π2]，∴x +π4∈[π4，3π4]，∴sin(x+π4)≥√22，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在[0，π2]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在[0，π2]上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当lnk＜π2，即0＜k＜eπ2时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当lnk≥π2，即k≥eπ2时，函数g（x）在[0，π2]上单调递减，g(x)min=g(π2)=eπ2−kπ2+k≥0，解得eπ2≤k≤e π2π2−1综上，−1≤k≤e π2π2−1．（3）令ℎ(x)=e x−1+12(x−32)2−1，则ℎ′(x)=e x−1+x−32．由ℎ′(12)=e−12−1＜0，ℎ′(34)=e−14−34＞0，故存在x0∈(12，34)，使得h'（x0）＝0即e x0−1=32−x0．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−1+12(x 0−32)2−1=−(x 0−32)+12(x 0−32)2−1=12[(x 0−32)−1]2−32=12(x 0−52)2−32，因为x 0∈(12，34)，所以12(x 0−52)2−32＞12(34−52)2−32=132＞0，故ℎ(x)=e x−1+12(x −32)2−1＞0，e x−1＞−12(x −32)2+1．。

2020年天津市高考数学试卷1.(2020·天津市市辖区·月考试卷)设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.(2020·安徽省蚌埠市·单元测试)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.(2020·全国·月考试卷)函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.(2021·安徽省·单元测试)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.(2021·江苏省无锡市·单元测试)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. (2021·河北省唐山市·模拟题)设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. (2021·河北省唐山市·模拟题)设双曲线C 的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. (2021·湖南省·单元测试)已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. (2021·安徽省·历年真题)已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)10. (2021·山东省·其他类型)i 是虚数单位，复数8−i2+i = ．11. (2021·广东省广州市·期中考试)在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. (2021·云南省·其他类型)已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______．13. (2021·江苏省·单元测试)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．14. (2021·浙江省金华市·同步练习)已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. (2021·天津市·期中考试)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 16. (2021·安徽省·单元测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. (2021·云南省·单元测试)如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值； (Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. (2020·广东省东莞市·同步练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. (2021·江苏省·单元测试)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3). (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20. (2020·天津市市辖区·月考试卷)已知函数f(x)=x 3+klnx(k ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数． (Ⅰ)当k =6时，(ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9x 的单调区间和极值；(Ⅱ)当k ≥−3时，求证：对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，有f′(x 1)+f′(x 2)2>f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【知识点】补集及其运算、交集及其运算【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、交集的运算，属于基础题．先求出集合B的补集、再与集合A求交集．【解答】解：全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则∁U B={−2,−1,1}，∴A∩(∁U B)={−1,1}，故选：C．2.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2>a，解得a<0或a>1，故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选：A．3.【答案】A【知识点】奇偶函数图象特征的应用、函数图象的识别【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】，定义域为R，解：函数y=f(x)=4xx2+1=−f(x)，则f(−x)=−4xx2+1则函数y=f(x)为奇函数，故排除C，D，当x>0时，y=f(x)>0，故排除B，故选：A．4.【答案】B【知识点】频率分布直方图【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，故选：B．5.【答案】C【知识点】球的表面积、球的切、接问题【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，属于基础题．正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、比较大小【解析】【分析】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【知识点】抛物线的性质及几何意义、双曲线的性质及几何意义【解析】【试题解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．8.【答案】B【知识点】求正弦型函数的值域或最值、正弦（型）函数的周期性、正弦型函数的图象变换【解析】【分析】本题考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【知识点】复数的除法运算【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i．11.【答案】10【知识点】二项式定理的应用、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开在(x+2x2式中x2的系数．【解答】)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，解：∵(x+2x2令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【知识点】直线与圆的位置关系及判定、点到直线的距离公式【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距)2，计算可得答案．离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；=4，则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3)2=16+9=25，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2故r=5；故答案为：5．13.【答案】1623【知识点】相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式【解析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13， 则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23， 故答案为：16，23．14.【答案】4【知识点】由基本不等式求最值或取值范围 【解析】 【分析】本题考查利用基本不等式求最值，考查运算转化能力，属于较难题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出，注意检验取等号的条件是否成立． 【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b时取等号，解得a +b =4，结合ab =1，a ，b 为方程x 2−4x +1=0的两根，∴a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号， ∴12a +12b +8a+b 的最小值为4， 故答案为4．15.【答案】16132【知识点】平面向量的坐标运算、向量的几何运用、向量的加法、减法、数乘运算、二次函数、向量的数量积 【解析】 【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16， ∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132， 当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16；132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13， 可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 17.【答案】解：根据题意，以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)， (Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【知识点】线线垂直的向量表示、平面与平面所成角的向量求法、直线与平面所成角的向量求法【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题． (Ⅰ)建立空间直角坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；(Ⅱ)先求得平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，而CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BB 1E 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求解；(Ⅲ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3， 由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ， ∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)， 解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0，∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n ，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n −49．【知识点】错位相减法、等差数列的通项公式、数列求和方法、等比数列的通项公式 【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．20.【答案】解：(I)(i)当k=6时，f(x)=x3+6lnx，故f′(x)=3x2+6x，∴f′(1)=9，∵f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=9(x−1)，即9x−y−8=0．(ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x3+6lnx−3x2+3x，x>0，∴g′(x)=3x2−6x+6x −3x2=3(x−1)3(x+1)x2，令g′(x)=0，解得x=1，当0<x<1，g′(x)<0，当x>1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【知识点】导数中的函数不等式、导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2020届高三数学5月二模试题本试卷共6页,22小题,满分150分考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。

3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式（其中S为锥体的底面积h为锥体的高）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知α为第四象限角,则，则sinα=2.已知x,集合则xy=A.-13.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=A.2B.3C.5D.64.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.2020届高三数学5月二模试题本试卷共6页,22小题,满分150分考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。

3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式（其中S为锥体的底面积h为锥体的高）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知α为第四象限角,则，则sinα=2.已知x,集合则xy=A.-13.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=A.2B.3C.5D.64.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.。

天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集}33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )A.{}1B.{}1,1,2-C.{}2D.{}0,1,22.“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）A.4B.5C.2D.34.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线C 的离心率为2，AOB ，O 为坐标原点，则抛物线2C 的焦点坐标为（ ）.A.)B.()1,0C.,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.346.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A.函数()f x 的最小正周期是2π B.函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C.函数()f x 的图象关于16x π=对称D.函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1,x 2,(x 1<x 2)，都有f(x 1)x1>f(x 2)x 2，记a =25f(0.22)，b =f(1)，c =−log 53f(log 135)，则a,b,c 大小关系为（ ） A. c>b >a B. b >c >a C. a >b >c D. a >c >b8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A.378B.306C.268D.1989.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且60,POQ AB ∠=是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+（R λ∈），则CA CB ⋅的最小值为（ ） A.-1B.-2C.-3D.-4第II 卷（非选择题）二、新添加的题型10.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y+=,则此时2x y +=__,233x y x y++的最小值为__．11.已知函数()[]()()11,2,022,0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()3log 2563f =_______；若方程()f x x a =+在区间[]2,4-有三个不等实根，则实数1a的取值范围为______.三、填空题12.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a ii+=+__．13.若8(x +的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．14.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．15.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.四、解答题、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点，记2QF M △的面积为1S ，2OF N △的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈ （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若11312()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．20.已知函数()xax b f x e x+＝，a ，b R ∈，且0a >. （1）若函数()f x 在1x =-处取得极值1e，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 的单调区间；（3）设()()()1xg x a x e f x -=-，()g x '为()g x 的导函数.若存在()01,x ∈∞＋，使()()000g x g x '+=成立，求ba的取值范围.参考答案1.B【解析】1.先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I AC B ．因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-， 故()I AC B ={}1,1,2-．故选：B ． 2.C【解析】2.分别从充分性和必要性入手进行分析，最后作出判断即可. 充分性：当3k παπ=+（k Z ∈）时，66k ππαπ-=+（k Z ∈），所以tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，充分性成立； 必要性：由tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得66k ππαπ-=+（k Z ∈），即3k παπ=+（k Z ∈），必要性成立；所以“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C . 3.C【解析】3.根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增， 且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C.4.B【解析】4.求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB ∆p 的值，可得所求焦点坐标．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线方程是b y x a =±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±， 又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a = A ，B两点的纵坐标分别是=y ， 又AOB ∆=，得2p =，所以抛物线2C 的焦点坐标为(1,0)， 故选： B 5.B【解析】5.由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝611，P(ξ＝1)＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝23212C C ＝122，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.B【解析】6.先将()2221fx sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为16f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则()fx 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误；D 选项，设()g x x ，则()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：B 7.C【解析】7. 构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，且a= g (0.22)，b = g (1)，c =g (log 35)，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，a =25f(0.22) =f(0.22)0.2=g (0.22)，b =f(1) =f (1)1=g (1)，c =−log 53f(log 135) =f (log 35)log 35=g (log 35)，∵0.22<1<log 35，∴a >b >c .故选：C . 8.D【解析】8.分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D 9.C【解析】9.根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-2134[3()]24λ=--,结合二次函数的性质，即可求解.因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅, 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径， 所以0OA OB +=，22(1)4OA OB ⋅=⨯⨯-=-，又60POQ ∠=，所以224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-()()2222121?4OP OP OQ OQ λλλλ=-+-+-222134(331)44(33)4[3()]24λλλλλ=-+-=-=--,所以当12λ=时，2133[3()]244λ--=-，所以CA CB ⋅的最小值为34()34⨯-=-. 故选：C. 10.223+【解析】10.(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x x y x y++=++,再利用基本不等式求最小值即可. (1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y+=,所以()224222222log 33log3log 3log 3x yx y +⇒=⨯=,所以22x y +=.(2)因为22x y +=,故2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+2=+ 当且仅当23y x x y =,22x y +=,即62x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.所以最小值为2+故答案为：2；2+ 11.81 {}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】11.（1）利用分段函数解析式求出()3f ，再根据对数、指数的运算法则计算可得. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围. 解：由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=， 所以()34log 256log 256433381f ===.作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置， 所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a=， 故答案为：81；{}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】12.利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-，所以20201|||1|1i i i +=-=+. 13.﹣2【解析】13.写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ．由题意展开式通项公式为4883188r rrr r rr T C xa C x --+==，令4843r -=，3r =，∴4x 系数为338448a C =-，解得2a =-．故答案为：2-．14.【解析】14.过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积， 过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =，由图知球半径为OC ==，半球体积为332233V OC ππ=⋅=⨯=．故答案为：．15.6-或2.【解析】15.由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距离d =，则22213+=，求出实数a 的值.因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==.又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象 在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.16.（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =ii ）sin(2)B C -=【解析】16.（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b =，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos 5B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=17.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π【解析】17.证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.（Ⅰ）证明：四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又·0AF CB =．AF ⊂/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，，， ·20·440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos =4n CD n CDα⋅==⨯⋅因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为4π． （Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为 得(01,1)n=， (2,2,0)EF =-，设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1111sin cos ,2222EF n EF nEF n θ=〈〉===cos θ∴==因此，直线EF 与平面ADE 18.（1）22142x y +=；（2.【解析】18.（1）由离心率可得222a b =，再根据条件求出b =a ，写出椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my=+：，联立椭圆方程，根据弦长公式求出()22412m MN m +=+，再求出点O 到直线MN 的距离d =，即可表达出OMN 的面积，进而求出最大值.（1）由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=，且与直线20x y -+=相切，所以b ==2224a b ==，故椭圆C 的标准方程为22142x y+=.（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：， 则直线MN x my =：由22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22220m y ++-=，1222y y m +=-+，12222y y m=-+. ∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ ， 因为MN OQ ∥，所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积，12OMNS S S S =+=，因为点O到直线MN x my =+：d =，所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣t =，则()2211m t t =-≥，211S t t t==++，因为12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，也即0m =时取等号，所以当0m =时，S. 19.（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112n nT n =-+；（ii ）3[8，1)2．【解析】19.（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，32114a a =+，可得121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得21120q q --=， 解得1q =-（舍)或 12q =，所以数列{}n a 通项公式为12n n a =． 设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =+，45712a b b =+，即1128831616b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，1d =，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11(1)12211212n n nS -==--，所以211111(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++-+-+====-+++， 所以{}n c 的前n 项和122231*********()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．又n R 在*n N ∈上是递增的，∴13182n R R =<． 所以n R 的取值范围为3[8，1)2．20.（1）()()210x x f x e x x +=≠；（2）调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,-+∞.【解析】20.（1）先求导函数，再由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ，得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩，代入求解参数a ，b ，（2）由（1）可得()f x ，再求出函数的导函数，利用令()0f x '和()0f x '<求解函数的单调区间；（3）将()f x 代入()g x 化简，再求()g x '，然后得00()()g x g x +'，令其为0，得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)-+∞上的值域，利用导数求解．解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.()22xax bx b f x e x +-'=，由题知()()1011f f e ⎧-=⎪⎨-'=⎪⎩即()()112011a b e a b e e --⎧-=⎪⎨-+⋅=⎪-⎩解得2a =，1b =，所以函数()()210xx f x e x x+=≠. （2）()()()2212121x xx x x x f x e e x x +-+-'=⋅=⋅ 令()0f x '>得1x <-或12x >， 令()0f x '<得10x -<<或102x <<. 所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()2x b g x ax a e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0a >()2x b b g x ax a e x x ⎛⎫'∴=+-- ⎪⎝⎭22221()()23(23)x x xxxxe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--，由条件存在0(1,)x ∈+∞，使00()()0g x g x +'=成立，得22230x xxxxe e axe ae bx ---=，对(1,)x ∈+∞成立，又0x e >221230x ax a bx-∴--=对(1,)x ∈+∞成立， 化简得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域，求导得222(463)()(21)x x x h x x -+'=-，令2463y x x =-+，为二次函数，图象开口向上，△120=-<，则24630x x -+>，又0x >，则()0h x '>，()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，值域为(1,)-+∞，b a 的取值范围是(1,)-+∞．所以。

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c <<a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.0a 1<<b 0<c 1>b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以 故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<<b c a<<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c<<c a b<<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大01,a <<12,12b c <<<<小.【详解】解：，，，所以.故选A.1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 01a ∴<<244log 3log 9log 71b c ==>=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a<<c a b<<c b a<<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】,,0.2221,0a >=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c<<c b a<<c a b<<【答案】C 【解析】由题意：，且：，()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。

天津市和平区 2020 学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（理）学科试卷第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

参考公式：如果事件 互斥,那么如果事件 相互独立,那么.柱体的体积公式.锥体的体积公式.其中 表示柱体的底面积,其中 表示锥体的底面积,表示柱体的高.表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合,,则A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由集合或，先求解 ，再由集合 能够求出答案. 【详解】因为全集 ,集合或，所以，所以，故选 B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合 和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知 满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在 y 轴的截距有最大值，据此结 合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C. 【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上 截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的 ，则输出A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即.故选：B. 【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则 ”的逆否命题是“若 ，则”B. “ ”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，”的否定是“，”D. 若“ ”为假命题，则 均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项 A，由不等式的性质考查选项 B，由全称命题的否定考查选项 C，由真值表考查选项 D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则 ”的逆否命题是“若 ，则”B. 若“ ”，当 时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“ ”，即必要性成立，综上可得，“ ”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“ ”为假命题，则 均为假命题.即结论错误的为 B 选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.5.的图象向右平移 个单位，所得到的图象关于 轴对称，则 的值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于 轴对称，则 得最大值或最小值，据此确定 的值即可.时函数取【详解】的图象向右平移 个单位后的解析式为：图象关于 轴对称，则当 即：， 时函数取得最大值或最小值，，故，令可得：.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.6.已知 是定义在 R 上的偶函数，且在上是增函数，设则 的大小关系是A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间 利用单调性比较函数值的大小即可.上的单调性，最后【详解】注意到，，且，据此可得：，函数为偶函数，则：，由偶函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故，即.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为A.B.C.【答案】C 【解析】 【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点 P 的坐标，然后求解的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，D. 的面积得到 a,b与直线联立可得：，即,由题意可得，，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，，取得最小值时，，点 是 所在平面内的一点，则当A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当 【详解】取得最小值时点 P 的坐标，然后求解，，的值即可.，，以 A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当 x=2，y=1 时取最小值，此时.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分） 注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

天津市河西区2020届高三下学期总复习质量调查（一）数学试题第I 卷参考公式:·如果事件A,B 互斥,那么P(A ∪B)=P(A)+P(B).·如果事件A,B 相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).·圆锥的体积公式1,3V Sh =其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高. ·球的体积公式34,3V R π=其中R 表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M={x ∈Z |-2<x<4},集合2{|230},N x x x =−−<则M ∩N=(A)(-2,1) (B)(-1,3) (C){-1,0} (D){0,1,2}(2)命题p:“n ∃∈N ,则22n n >”的否定是2(),2n A n n ∀∈>N2(),2n B n n ∃∈≤N ()2 ,2n C n n ∀∈≤N2(),2n D n n ∀∈<N (3)共享单车是指由企业在校园､公交站点､商业区､公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注｡某部门为了对该市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),……[90,100]分成5组,根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示),计算a,b,x,y 的值分别为(A)16,0.04, 0.032, 0.004 (B)16, 0.4, 0.032, 0.004 (C)16, 0.04, 0.32, 0.004 (D)12, 0.04,0.032, 0.04 (4)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足23sin 2sin sin ,cos C A B C=且,3A π=b=6,则c= (A)2(B)3 (C)4 (D)6(5)已知α∈(0,π)，sin cos 3αα+=则cos2α=()A −(B()C −()D (6)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,1与C 交于A ､B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为(A)2 (B)3(C()D(7)已知定义域为R 的函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,函数f(x+2)是偶函数,若0.6(0.2),a f =() 23b f log π=，113()n c f e −=,e 为自然对数的底数,则a,b,c 的大小关系是(A)a>b>c(B)a>c>b (C)c>a>b (D)b>c>a (8)已知函数()sin()(0,))f x x x ωϕωϕωπϕ=++><的最小正周期为π,f(x)的图象关于y 轴对称,且在区间[0,]4π上单调递增,则函数()(2)g x cos x ωϕ=+在区间[0,]2π上的值域为()[A (B)[-1,2] (C)[-2,1]()[D(9)已知函数ln ,1()1(2)(),1x x f x x x a x e≥⎧⎪=⎨+−<⎪⎩(a 为常数,e 为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a 的取值范围是()33A a −−<<−+(B)a<-2或233a −+<()3C a −+()3D a <−−233a −+<第II 卷二｡填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分｡(10)设复数351i z i −=−(i 是虚数单位),则z 的共轭复数z =___. (11)已知27(1)(0)ax a −>的展开式中第6项的系数为-189,则展开式中各项的系数和为____.(12)已知圆锥的高为1,体积为2,3π则以该圆锥的母线为半径的球的体积为___. (13)已知圆C 的圆心在第一象限,且在直线y=2x 上,圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切,则圆C 的方程为__.(14)若实数x ､y 满足x>y>0,且22log log 2,x y +=则21x y +的最小值为___;2()x y x y −+的最大值为___.(15)在△ABC中,3760,||2,2,||,3BAC AC BD DC AD︒∠====则||AB=___.设(),AE AC ABλλ=−∈R且4,AD AE⋅=,则λ的值为___.三解答题:本大题共5小题,共75分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡(16)(本小题满分14分)近年来,随着全球石油资源紧张､大气污染日益严重和电池技术的提高,电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向｡为了降低对大气的污染和能源的消耗,某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B,并在黄金周期间同时投放市场｡为了了解这两款车型在黄金周的销售情况,制造商随机调查了5家汽车4S店的销量(单位:台),得到下表:4S店甲乙丙丁戊车型A 6 6 13 8 1l车型B 12 9 13 6 4(I)若从甲、乙两家,求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率;(II)现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动,用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.(17)(本小题满分15分)如图所示的几何体P-ABCDE中,△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形,AB⊥AE,AB//CE,AE//CD,CD=CE=2AB=4,M为PD的中点.(I)求证:CE⊥PE;(II)求二面角M-CE-D的大小;(II)设N为线段PE上的动点,使得平面ABN//平面MCE,求线段AN的长.(18)(本小题满分15分)设{}n a 是各项均为正数的等差数列,131,1a a =+是2a 和8a 的等比中项,{}n b 的前n 项和为*,22(.)n n n b S n S −=∈N(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II)设数列{}n c 的通项公式2*,,.,(),n n n a n c n b n +⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数 (i)求数列{}n c 的前2n+1项和21n S +；(ii)求21)*(1()in i i i a n c −=∈∑N .(19)(本小题满分15分)设椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 离心率为1,2过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ､B(不与左右顶点重合),连结22,F A F B 、已知△2ABF 周长为8.(I)求椭圆C 的方程;(II)若直线l 的斜率为1,求△AOB 的面积;(II)设2122,F F F A F B λμ=+且119,2λμ+=求直线l 的方程.(20)(本小题满分16分)已知函数2()x f x ax e =(a ∈R ,e 为自然对数的底数).(I)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为6e,求实数a 的值.(II)当a ≠0时,讨论函数f(x)的单调性;(III)若关于x 的不等式()1x x f x xe e ++≥在区间(-∞,0]上恒成立,求实数a 的取值范围.。