2018-2019学年北师大版数学必修四教学案：第三章章末小结与测评

三角恒等变形【学习目标】1•进一步掌握三角恒等变换的方法2会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.Q知识梳理----------------------------i.两角和与差的正弦、余弦、正切公式COS(a— 3 = _____________________ .COS(a+ 3 = ______________________ .sin( a+ 3= ________________________ .sin( a— 3= ________________________ .tan( a+ 3 = ________________________ .tan( a— 3 = _______________________ .2•二倍角公式sin 2 a= ______________________ .COS 2 a= ________________ = ____________________ = ________________________ . tan 2 a= ___________________ .3 •升幕公式1 + COS2 a= _________________ .1 —COS2 a= _________________ .4 •降幕公式. 2sin XCOS x= _______________ ,COS x= __________ ,.2sin x= ___________________ .5. 和差角正切公式变形tan a+ tan 3= ________________________ ,tan a—tan 3= _______________________ .6. 辅助角公式y= asi n wx+ bcos wx= ________________________ .题型探究类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用4 1例 1 已知a, B为锐角，cos a= -, tan( a— 3 =——，求cos B 的值.5 3反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，女口a= 2 ^2 I,a= ( a+ 3 —3 a= 3—( 3— a),1 1a= 2【(a+ 3 + ( a— , = 2【(a+ 3)—( a— 3］等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐F'角a, 3它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A, B的横坐标分别为10 5(1)求tan( a— 3 的值;⑵求a+ 3的值.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f(x)= sin x+ cos x+ sin x c os x, x € R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个 “元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2 求函数y = sin x + sin 2x — cosx(x € R )的值域. 类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 例 3 已知函数 f(x) = 2y[3s in(x — 3 n )sirix —扌片 2sin 2卜 + 字—1, x € R . (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,扌上的最大值和最小值； ⑵若 f(x o ) = 5, x o € n ，尹求 cos 2x o 的值. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 (余弦型) 函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和 (差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类 和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和 性质.跟踪训练3 17 n 7 n r 石<x<‘求 sin 2x + 2sin 2x 1 — tan x 的类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4 已知sin x + 2cos y = 2，求2sin x + cos y 的取值范围.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或 三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于B 的方程 3cos 0+ sin 0+ a = 0在区间(0,2 n 上有两个不相等的实数解a, 求 COs( a+ 3 的值.5 .已知函数 f(x)= cos x sin(x + 3)— . 3cos 2x + 丁，x € R .⑴求f(x)的最小正周期;n n⑵求f(x)在闭区间［—4, 4】上的最大值和最小值.当堂训练5 1 .若 a 是第三象限角，且 sin( a+ 3cos 3— sin 3cos( a+ 3)=— 13,则tan 扌等于( 2 .已知 2 .2 A. 32C.33 .已知5 12B .—石 C.石 D . 50是第三象限角，且 sin 40+ cos 4 0= 5」sin 2 0等于( 1 1 ntsin a+ cos 3= 3, sin 3- cos a=夕 贝U sin( a- 3 =4 .设a 为锐角，若cos a+ 6 = 4 5，贝U sin 2 a+ 的值为「-规律与方法-------------------------------- )本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确, 快速化到最简，再进一步研究函数的性质.知识梳理 tan a+ tan 3 tan a — tan 3 sin ocos 3— cos a sin 3 ----------------- -----------------1 — tan O an 3 1 + tan %tan 32 . 23. 2cos a 2sin a 6「J a 2 + b 2s in( 3X+ 0)题型探究4例1 解 T a 是锐角，cos a= 4,5••• tan 3= tan[ a — (a — 3)]tan a — tan a — 3 ] 131 + ta n dtan a — 3 9跟踪训练1解（1）由题可知，cos a= ^y 10, cos 3=纠5. 10 5答案精析由于a, 3为锐角，则 sin a= 1^0, sin 3=中，故 tan 1 1a= 3, tan 3= 2,17.⑵因为tan(a+ 3)= =1,sin a= 10 2 sin 3= 1. cos a cos 3+ sin osin 3cos a cos 3— sin o sin 3 sin 久cos 3+ cos asin 32. 2sin ocos a2.2 2 cos a — Sin a 2COS a — 1 1 — 2si n 2 a 2ta n a 1 — tan a 4. sin 2x 2 1 + cos 2x 1 — cos2x5. tan( a+ 3)(1 — tan atan 3) tan( a — 3)(1 + tan a an 3 3a = 5, tan a= 3. 43是锐角, 二 cos 3= 9 .'1050即 0< a+ 仟2，故 a+ 3= 4. 例 2 解设 sin x + cos x = t ,二 t € [ — ■■,.：1 2, 2], 2 2 (s in x + cos x ) — 1 t — 1 /• sin x cos x = = ---- 2 2 ■/ f(x) = sin x + cos x + sin x cos x , 1f(x)取得最大值 2 + -.跟踪训练2 解 令sin x — cos x = t ,则由 t = 2sin x — n 知，t € [ — 2, 2].2 2又 sin 2x = 1 — (sin x — cos x) = 1 — t , 二 g （t ）=t +亍=抽 1）2-1, t € [ — 2,,2]. 贝U t = sin x + cos x当 t =— 1，即卩 sin x + cos x =— 此时，由sin x + =— 卡，解得 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 2, 1当 th, 2,即 卩 sin x + cos x = . 2时，f(x)max =, 2 + 2， 此时，由 72sin y+ n =72即 sin x + = 1,n解得 x = 2k n+ 4, k € Z .nn 综上，当 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 3, k € Z 时，f(x)取得最小值一 1 ;当 x = 2k n+ — , k € Z 时,1 时，f(X )min =— 1 , k € Z .2• y = (sin x — cos x) + sin 2x = t + 1 — t当 t = — • 2时，y min = —— 1. 例 3 解 ⑴ 因为 f(x) = 3(2sin xcos x)+ (2cos 3x — 1) = 3sin2x + cos 2x = 2sin 2x + g , 所以f(x)的最小正周期为 n.又因为x € [o , n ,所以 2x + [g, 77], 所以f(x)的最大值为2，最小值为—1.(2)由(1)可知, f(x o )= 2sin 2x o + 才.又因为f(x o ) = 6,所以 sin [2x 0+ n= |. 由X 。

(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。

过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。

数乘向量教学目标一、知识与技能1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。

2、会运用定义、运算律进行有关计算。

二、过程与方法深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

三、情感态度与价值观由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。

教学重点与难点1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。

2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。

教学准备多媒体课件、电脑画板教学过程一、情景引入活动一：体会实际，感受新知在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方向上光速远远大于声速。

经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。

活动二：自我实验，学会新知教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。

组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。

（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。

）由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。

因此，有必要定义实数与向量积的运算。

二、讲述新知，感悟理解例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解），即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同；向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3倍，它的方向与a 的方向相反。

三、新知概括，深入探究1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。

(按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。

§2 两角和与差的三角函数 2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)．知识点1 两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3) C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4) 【预习评价】1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 B2．cos 75°＝________. 答案6－24知识点2 两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5) S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6) 【预习评价】1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.32答案 A2．已知sin α＝35，0＜α＜π2，则cos α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 45 7210题型一 给角求值【例1】 求值：(1)sin 15°＋cos 15°； (2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°. 解 (1)方法一 sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 方法二 sin 15°＋cos 15° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62.(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”． 【训练1】 求下列式子的值： (1)cos(－15°)； (2)sin 795°；(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°. 解 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.(3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77° ∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－12. 题型二 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 ∵π4＜α＜3π4，∴－π2＜π4－α＜0. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.又∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213， sin(α＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665.规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．【训练2】 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 ∵π2＜β＜α＜3π4， ∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.【探究1】 已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 解 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2 A ＝－255， cos B ＝－1－sin 2 B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22. 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π， ∴A ＋B ＝7π4.【探究2】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．解 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.【探究3】 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513，由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.∴2β＝π，则β＝π2.规律方法 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.课堂达标1．sin 75°等于( )A.6－24B.6＋24C.6－22D.6－22解析 sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 答案 B2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为( ) A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析 原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12. 答案 B3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________.解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 324．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________. 解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010， ∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π. 答案 3π45．已知锐角α、β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β. 解 ∵α为锐角，且cos α＝45，∴sin α＝35. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×310＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝91050. 课堂小结1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝ －sin α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.基础过关1．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C ．－75 D ．－15解析2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A2．化简sin(x ＋y )sin(x －y )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2x B ．cos 2x C ．－cos 2xD ．－sin 2x解析 原式＝－cos[(x ＋y )＋(x －y )]＝－cos 2x ，故选C. 答案 C3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725 B.35 C.725D.15解析 ∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝45×45－35×35＝725. 答案 C4．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83. 答案 835．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010.答案 310106．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 解 ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4.7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.能力提升8．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .答案 C9．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.答案 B10．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝________.解析 因sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.所以cos α＝sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.答案 011．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin(α＋π4)＝_____. 解析 ∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝1－32(22sin α＋22cos α)＝1－32sin(α＋π4)＝－1，∴sin(α＋π4)＝23.答案 2312．(1)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 (1)∵sin α＝13，cos β＝－23，α、β为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223， sin β＝1－cos 2β＝53，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝13×(－23)＋(－223)×53＝－2－2109， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝13×(－23)－(－223)×53＝－2＋2109. (2)∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 解 (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1. (2)由f (3α＋π2)＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65，从而cos β＝35. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365.。

一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α.(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2α＋cos 2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2α＝cos 2α，1－cos 2α＝sin 2α；②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2；⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2α)等． 三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2α－cos 2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250. [答案]17250[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．[对点训练]1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π2)，求sin 2α的值．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎦⎥⎤π4＋α，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α) ＝12sin(π2＋2α) ＝12cos 2α， ∴cos 2α＝23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73.[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝437.∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，∴sin(α＋β)＝1－（－1114）2＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°<β<90°，∴β＝60°.[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．[对点训练]2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12.如果A ＋B ＝π6，则B <π6，∴cos B >12与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾．∴A ＋B ＝5π6，C ＝π6.答案：π6[典例3] 化简：2cos 2α－12tan （π4－α）sin 2（π4＋α）.[解] 法一：原式＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·sin 2（π4＋α）＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·cos 2（π4－α）＝2cos 2α－1sin （π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．[对点训练]3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β2cos 2α.证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin αcos α＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）cos （α＋β）cos α＝sin βcos （α＋β）cos α.1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）cos （α＋β）＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）cos βcos （α＋β）＝cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos αcos βcos （α＋β）.∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos 2αcos （α＋β）＝sin 2β2cos 2α＝右边．[典例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．[解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． [借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．[对点训练]4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( )A.32 B.12C ．－12D ．－32解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12.2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2， ∴sin 2α＝－1.3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.54C ．1 D.34解析：选D 原式＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625 C.1425 D.1925解析：选A sin 2x ＝cos(π2－2x ) ＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β的值为( )A.255B.2525C.255或2525 D ．－2525解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55.∵sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－45.∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝2525.8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)C ．(2π3，32)D ．(π3，32)解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32 ＝sin(2x ＋π3)＋32，当x ＝π3时，sin (2×π3＋π3)＝0.∴(π3，32)是函数图像的一个对称中心．9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 65π的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π5)．∴2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z .∴k π－25π≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：由已知得tan α＝－34，所以tan(π4＋α)＝1－341＋34＝17.答案：1712．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么cos 2θ的值为________．解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.答案：7913．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，且这个最大值为________．解析：cos A ＋2cosB ＋C2＝cos A ＋2sin A2＝1－2sin 2A 2＋2sin A2＝－2sin 2A 2＋2sin A2－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋32，当sin A 2＝12，即A ＝60°时，得(cos A ＋2cos B ＋C2)max ＝32. 答案：60° 3214．已知α是第二象限角，且sin α＝154，则sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－14.sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2cos α（sin α＋cos α）＝222cos α＝－ 2.答案：－ 2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]sin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin αsin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos αsin α－cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.法二：原式＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin αsin α＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin 2αsin βsin α.＝（1－2sin 2α）sin β＋2sin 2αsin βsin α＝sin βsin α. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝12.(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π3)的值．解：(1)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以tan α＝－34.故tan (α－β)＝－34－121＋（－34）×12＝－2.(2)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，得cos α＝－45.所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－2425，cos 2α＝(－45)2－(35)2＝725.故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－2450.17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x ∈R |x ≠k π，k ∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝ 3.3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.15B.17C ．－1D ．－7解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像．5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．πD ．411．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________． 解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )，函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }．答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin(π2－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）tan （900°－x ）·1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）sin （－x ）.解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x －tan x·tanx ·tan x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x .18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1，∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上， ∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2x . (1)求f (x )的最小值及最小正周期；(2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin 2x ·cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0.∴y ＝－12x .即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式，整理得y 2－2y －3＝0.解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图像与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间；(3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图像过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. (2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， ∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ， ∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z }． 22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝ (O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到； (3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a . (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到． (3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π6]＋1＋a ＝2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π6＋1＋a . ∵π2＜2＋π6＜5π6＜π， ∴g (1)＞g (2)．。

2.3 两角和与差的正切函数内容要求 能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．知识点 两角和与差的正切公式【预习评价】 1．tan 105°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C.－3－33D ．－2＋ 3答案 A2.tan 49°＋tan 11°1－tan 49°tan 11°＝________. 答案3题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的． 【训练1】 (1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 解 (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－33(3－1)＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°·tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°·tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝3.【探究1】 若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 答案 75【探究2】 已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35， ∴sin θ＝35.又∵θ是第二象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. 又∵tan φ＝12， ∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.【探究3】 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝2＋221－2·22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－(－2)×1＝22－3. 【探究4】 已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，且tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，求tan C .解 因为tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，所以tan A ＋tan B ＝－83， tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π.所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.规律方法 “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角． 题型三 给值求角【例2】 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解 因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12， 所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α ＝12＋131－13×12＝1. 因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1， 故2α－β＝－3π4.规律方法 在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．【训练2】 已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β的值．解 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2， ∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0. ∴－π＜α＋β＜0， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.课堂达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B ．－13 C ．3D ．－3 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案 A2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A．1 B．2 C．－2 D．不确定解析(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.答案 B3．已知A，B都是锐角，且tan A＝13，sin B＝55，则A＋B＝____.解析∵B为锐角，sin B＝55，∴cos B＝255，∴tan B＝12，∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.答案π44．在△ABC中，tan A＝34，tan B＝513，那么tan C的值等于________．解析tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A tan B ＝－34＋5131－34×513＝－5937.答案－59 375．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. 解∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.课堂小结1．公式T α±β的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． 2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.基础过关1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A. 答案 A2.1＋tan 75°1－tan 75°＝( )A.33B. 3 C ．－33D ．－ 3解析 原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. 答案 D3．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( ) A ．－34 B.98 C ．－98D.112 解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－251－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案 D4．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β＝________. 解析 ∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝7.答案 75．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α＝________.解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－7，∴tan α＝－34＜0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.答案 356．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)． 解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2. 7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值．解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴1＋tan α1－tan α＝12.∴tan α＝－13.(2)原式＝2tan α－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝－56.能力提升8．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3aB.3(1－a )C.3(a－1)D.3(a＋1)解析∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a)．答案 B9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于() A．1 B．2C．tan 10° D.3tan 20°解析原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.答案 A10．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.解析sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.答案－3 211．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.答案 112.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为2 10，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 解法一：由①得α2＋β＝π3.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3.∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根． 解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾． ∴tan β＝1，tan α2＝2－3，∴β＝π4，代入①得α＝π6，满足tan α2＝2－ 3.解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－β·tan β＝2－3⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－3⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0，tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6.若tan β＝2－3，代入②得tan α2＝1.不合题意．故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．。

\一、角的概念1．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．2．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．3．终边相同的角有无数个，在所有与角α终边相同的角的集合可表示为S ＝{}β|β＝k ×360°＋α，k ∈Z .终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如π6＋k ×360°或60°＋2k π，k ∈Z 的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k ×360°＋α，k ∈Z 等．三、三角函数的定义 1．三角函数的定义有两种(1)角α的终边上任取一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ；tan α＝y x. (2)角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.2．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为： (1)先作出取等号的角；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围． 3．诱导公式2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．四、三角函数的图像与性质五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1．由y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(1)三角函数图像的变化规律和方法，由y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，此步骤只是平移，而由y ＝sin x →y ＝sin(ωx ＋φ)可由两条思路：①y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)即先平移后伸缩；②y ＝sin x →y ＝sin ωx →y ＝sin(ωx ＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x 而言的．(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”平移|φ|个单位，“先伸缩后平移”则须平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．主要程序如下：①y ＝sinx ――→平移变换平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)；②y ＝sin x ――→周期变换 y ＝sin ωx ――→平移变换平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 2．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑 (1)A 的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A .(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)确定ω.(3)φ的确定：根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)最开始与x 轴的交点(靠近原点)的横坐标为－φω⎝ ⎛⎭⎪⎫即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω确定φ. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“ωx ＋φ”视为一个“整体”；再根据y ＝sin x 的增减区间列不等式．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，当φ＝k π，k ∈Z 时，是奇函数；当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，是偶函数．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|.[典例1] 已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan （α＋5π）tan （－α－π）sin （α－3π），(1)化简f (α)；(2)若α＝－13π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α（－tan α）（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[借题发挥] (1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的； (2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式．[对点训练]1．已知cos(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵cos(3π＋θ)＝13，∴－cos θ＝13即cos θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝94.[典例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .[解] (1)要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan x ≠0.∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，x ≠k π.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋cos xtan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .(2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数有意义， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤（2k ＋1）π，x ≠k π＋π2.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，（2k ＋1）π(k ∈Z )． [借题发挥] 1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解．2．求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(ωx ＋φ)或cos(ωx ＋φ)的函数，利用sin x ，cos x 的有界性求值域．[对点训练]2．已知函数y ＝lg cos 2x ，求它的定义域和值域． 解：函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即 2k π－π2<2x <2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }． 由于0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，所以函数的值域为(－∞，0].[典例3]如右图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)说明该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[借题发挥] 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图像来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，要先求A 、ω，再求φ.[对点训练]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，0<φ>π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式．解：因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，因为0<φ<π，故φ＝π6， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.[典例4] (重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．(提示：cos 2x ＝2cos 2x －1)[解] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1） ＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. [借题发挥] 在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．研究三角函数的性质时，除了熟悉y ＝sin x ，y ＝cos x 和y ＝tan x 的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用．[对点训练]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2－1 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6的最小值和最大值；(3)若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3，求使f (x )≥2的x 的取值范围． 解：(1)T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，解得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，712π.所以f (x )的最大值为22－1，最小值为2－2. (3)由f (x )≥2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥22， 由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3可得2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，1112π.故满足条件的2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，－54π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.故使f (x )≥2的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中与－π3终边相同的是( )A ．－5π3 B.2π3C.4π3 D.5π3解析：选D ∵2π－π3＝5π3，∴－π3与角5π3的终边相同．2．cos 330°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°) ＝cos 30°＝32. 3．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，∴α2是第二象限或第四象限角． 又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2是第二象限角． 4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上是减小的，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23解析：选C 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，ω＝32.5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，检验各选项知，只有B 项中的区间是单调递减区间．6．(全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：选C 若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．只有C 项符合．7．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 8．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根解析：选C 构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 由图像知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π.∴ω＝2，排除选项A 、C.∵图像过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入选项B ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0≠1，故B 错误． 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π2解析：选A ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． φ＝k π＋13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min ＝π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设扇形的半径长为4 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：由S ＝12αr 2，得α＝2S r 2＝12.答案：1212．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y <0，由sin θ＝y16＋y2＝－255得y ＝－8. 答案：－813．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．解析：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，知周期T＝4π3＝2πω，ω＝32. 答案：3214．函数y ＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，必须有⎝⎭4即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>－22. 设z ＝2x ＋π4，则sin z >－22.由图知，－π4＋2k π<z <5π4＋2k π(k ∈Z )，即－π4＋2k π<2x ＋π4<5π4＋2k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <π2＋k π(k ∈Z )．答案：(－π4＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （π－α）tan （－α－π）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)原式＝－cos αsin α（－tan α）－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝sin(π2＋α)＝cos α， ∴cos α＝15.故f (α)＝－15.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法作出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6闭区间上的简图；(3)说明f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到？ 解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴所求值域为[－3，2]． (2)①列表：(3)法一：可由y ＝sin x 的图像先向左平移π3个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．法二：可由y ＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图像向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．17．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像如图，试依图指出：(1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )的单调递增区间和递减区间； (3)图像的对称轴方程与对称中心． 解：(1)由图像知f (x )的最小正周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－π4＝3π.(2)∵半个周期是3π2，π4－3π2＝－5π4，由图像可知，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋3k π，7π4＋3k π(k ∈Z )． (3)f (x )的图像的对称轴方程是x ＝π4＋3k π2(k ∈Z )，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋3k π2，0(k ∈Z )．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，(0<φ<π2，ω>0)．(1)若函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且它的图像过(0，1)点，求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将(1)中的函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )的单调递增区间；(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．解：(1)由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6.又因为y ＝f (x )的图像过点(0，1)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像， 再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像． 即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 令2k π－π2≤12x －π6≤2k π＋π2，则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )． (3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，则πω<错误!， 即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin ＝315.。