§7.4空间直线、平面的垂直考试要求从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．1．直线与直线垂直(1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa，b⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b3.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝a l ⊥al ⊂β⇒l ⊥α4.空间角(1)异面直线所成的角①定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (2)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ②范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角的平面角的范围：[0，π]． 微思考1．若平面α⊥β，且α∩β＝l ，若直线m ⊥l ，则m 与平面β一定垂直吗？ 提示 不一定，当m ⊂α时，m ⊥β.2．空间中任一直线m ，在平面α内是否存在无数条直线与m 垂直？ 提示 存在．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(×)(2)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(√)(3)已知平面α，β，γ，若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．(√)题组二教材改编2．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.3．(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是()A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任一条直线必垂直于平面βD．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β答案BD解析A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错；B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B对；C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错；D项，如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD.4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．答案 3解析∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，故答案是3对．题组三易错自纠5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．答案必要不充分6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.第1课时垂直关系的判定与证明题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面P AD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面P AD，AE⊂平面P AD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，α∩β＝l，P A⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵P A⊥α，l⊂α，∴P A⊥l.同理PB⊥l.∵P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴l⊥平面P AB.又∵P A⊥α，a⊂α，∴P A⊥a.∵a⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，∴a⊥平面P AB.∴a ∥l .题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 是AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如图所示的四棱锥P －BCDE .(1)若平面PDE ⊥平面BCDE ，求四棱锥P －BCDE 的体积； (2)若PB ＝PC ，求证：平面PDE ⊥平面BCDE . (1)解 如图所示，取DE 的中点M ，连接PM ，由题意知，PD ＝PE ，∴PM ⊥DE ，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，PM ⊂平面PDE ， ∴PM ⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥P －BCDE 的高．在等腰直角三角形PDE 中，PE ＝PD ＝AD ＝2， ∴PM ＝12DE ＝2，而梯形BCDE 的面积S ＝12(BE ＋CD )·BC ＝12×(2＋4)×2＝6，∴四棱锥P －BCDE 的体积V ＝13PM ·S ＝13×2×6＝2 2.(2)证明 取BC 的中点N ，连接PN ，MN ，则BC ⊥MN ， ∵PB ＝PC ，∴BC ⊥PN ，∵MN ∩PN ＝N ，MN ，PN ⊂平面PMN ， ∴BC ⊥平面PMN ，∵PM ⊂平面PMN ，∴BC ⊥PM ， 由(1)知，PM ⊥DE ，又BC ，DE ⊂平面BCDE ，且BC 与DE 是相交的， ∴PM ⊥平面BCDE ， ∵PM ⊂平面PDE ， ∴平面PDE ⊥平面BCDE .思维升华(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2020·江苏)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.题型三垂直关系的综合应用例3(2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD 上是否存在一点M ，使得平面PCM ⊥平面ABCD ，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD 的面积为87，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 (1)当M 为AD 的中点时，使得平面PCM ⊥平面ABCD .连接CM ，证明：由△P AD 是等边三角形， 可得PM ⊥AD ，而平面P AD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面P AD ，AD 为平面P AD 和平面ABCD 的交线，可得PM ⊥平面ABCD ，又PM ⊂平面PCM ，可得平面PCM ⊥平面ABCD . (2)设AB ＝a ，可得BC ＝a ，AD ＝2a ， 可得MC ＝AB ＝MD ＝a ， 则CD ＝2a ，PD ＝2a ，由PM ⊥MC ，可得PC ＝PM 2＋MC 2＝3a 2＋a 2＝2a ， 而△PCD 的面积为12·2a ·4a 2－12a 2＝72a 2＝87，可得a ＝4，四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13S 四边形ABCD ·PM ＝13×12×(4＋8)×4×43＝32 3.思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练3 如图，在四棱锥S －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形．侧面SAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AD ，SB 的中点．(1)求证：AF ∥平面SEC ；(2)求证：平面ASB ⊥平面CSB ；(3)在棱SB 上是否存在一点M ，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BMBS 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 取SC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F ，G 分别是SB ，SC 的中点，∴FG ∥BC ，FG ＝12BC ，∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点， ∴AE ∥BC ，AE ＝12BC ，∴FG ∥AE ，FG ＝AE ，∴四边形AFGE 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面SEC ，EG ⊂平面SEC ， ∴AF ∥平面SEC .(2)证明 ∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点， ∴SE ⊥AD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，又E 是AD 的中点， ∴AD ⊥CE ，又SE ∩CE ＝E ，SE ，CE ⊂平面SEC ， ∴AD ⊥平面SEC ，又EG ⊂平面SEC ， ∴AD ⊥EG ，又四边形AFGE 是平行四边形， ∴四边形AFGE 是矩形，∴AF ⊥FG ， 又SA ＝AB ，F 是SB 的中点，∴AF ⊥SB ，又FG ∩SB ＝F ，FG ⊂平面SBC ，SB ⊂平面SBC ， ∴AF ⊥平面SBC ，又AF ⊂平面ASB ， ∴平面ASB ⊥平面CSB .(3)解 存在点M 满足题意．假设在棱SB 上存在点M ，使得BD ⊥平面MAC ， 连接MO ，BE ，则BD ⊥OM ，∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形， ∴BE ＝7，SE ＝3，BD ＝2OB ＝23，SD ＝2，SE ⊥AD ， ∵侧面SAD ⊥底面ABCD ，侧面SAD ∩底面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， ∴SE ⊥平面ABCD ，∴SE ⊥BE ， ∴SB ＝SE 2＋BE 2＝10，∴cos ∠SBD ＝SB 2＋BD 2－SD 22SB ·BD ＝33020，∴OB BM ＝33020，∴BM ＝2103， ∴BM BS ＝23.。
线面垂直判定定理证明几何法线面垂直判定定理是几何学中的重要定理之一。
通过这个定理，我们可以判定一条线段与一个平面是否垂直，从而在解决几何问题时提供了一个有效的方法。
接下来，我将为大家详细介绍线面垂直判定定理的证明过程。
首先，让我们来了解一下线段与平面的垂直关系是什么意思。
当一条线段与一个平面相交，并且线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面时，我们就说这条线段与平面垂直。
这种垂直关系在现实生活中也有很多应用，比如我们常见的直角墙角或者立柱与地面的垂直关系。
现在，让我们开始证明线面垂直判定定理。
假设有一条线段AB与平面P相交，我们需要证明线段AB与平面P垂直。
首先，我们来假设线段AB与平面P不垂直，也即线段AB与平面P 的某一点C处的线段AB与平面P不垂直。
根据平面几何性质，我们可以得知线段AB所在的直线与平面P相交于一点D。
这样，我们就得到了两个不同的直线AB和AD，其中点A是共有的。
接下来，我们利用线面垂直的定义，即线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面。
以线段AB上的另一点E为例，根据垂直关系可知AE与平面P垂直。
那么根据几何性质，直线AE与直线AB在点A处相交，与前面所假设的情况矛盾。
根据这种矛盾，我们可以推知假设的线段AB与平面P的某一点C 处的线段AB与平面P不垂直是错误的。
因此，原假设不成立，即可以得出结论：线段AB与平面P垂直。
根据上述证明过程，我们得到了线面垂直判定定理的证明结果。
这个定理的证明过程简明直观，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。
线面垂直判定定理在解决几何问题时具有重要的指导意义。
通过这个定理，我们可以根据线段与平面的相交关系，判断它们之间是否垂直。
这为我们解决一些与线段与平面垂直关系相关的问题提供了方向。
总之，线面垂直判定定理的证明过程简单明了，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。
这个定理具有重要的指导意义，可用于解决与线段与平面垂直关系相关的几何问题。
§6.1垂直关系的判定（1）—直线与平面垂直的判定【教材分析】本节课的教学内容是《数学必修2》第一章§6.1节垂直关系的判定，共分两个课时“直线与平面垂直的判定”和“平面与平面垂直的判定”本节课为第一课时．垂直关系是继平行关系后本章的第二个核心内容，本节课的主要内容是了解直线垂直于平面的定义“如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直”和直线垂直于平面的判定定理“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”，要求能借助长方体模型或现实模型，在直观认识空间直线与平面垂直的基础上，抽象出空间直线和平面垂直的含义．本节课需要学生通过直观感知、操作确认、思辨论证认识和理解线面垂直的关系，本节课采用了启发—引导的教学方法，通过提问和猜想逐步归纳出定义与定理，线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带．【学情分析】学生已经学习了空间中直线和直线、直线与和平面的位置关系，并能判断两直线是否（异面）垂直及直线是否与平面平行，已经有了“通过观察、操作获得数学知识”的体会，并具有了相应的空间想象能力和几何直观能力．本节课要求从几何的定义和定理出发，通过直观感知、操作确认、思辨论证、认识空间中直线和平面垂直的判定．本节课教师应当注重定理的发现过程，学生已具备一定的自主探究能力，教师需以学生为中心，以问题为中心，完成对问题的探究，从中体现出学生活跃的思维和自主探究的能力．【教学目标】1．知识与技能通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．2.过程与方法通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用．3.情感与态度经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养学生空间问题平面化的思想．【重点难点】本节课的重点和难点是直线与平面垂直的定义和判定定理的探究及应用．【教学环境】1.多媒体教室2.直角三角板3.三角形纸片【教学过程】一、复习导入教师：在图形的基本关系中，我们了解到空间中直线与平面的位置关系有三种：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交;(3)直线与平面平行．其中，直线与平面相交有一种特殊情况就是：直线和平面的垂直，本节课我们就来探讨一下这种垂直关系．教师：图片展示教师提问：（1）请同学们观察上图，找出图中直线和平面垂直的例子．（2）你还能举出生活中直线和平面垂直的例子吗？学生：教室中两墙面的交线和地面是垂直的．设计意图:提纲挈领，回忆直线与平面的关系，理清知识的层次，从实例图片再到实际生活，让学生从直观上感知直线和平面的垂直关系，从而为下一步对垂直关系的抽象做准备．二、新课探究思考1：若一条直线与平面垂直，则这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 教师用幻灯片演示，当太阳转动时，垂直于地面的旗杆和地面上的影子又什么关系？ 学生：可以看出旗杆和地面上的所有影子都是垂直的，那么地面上平行于影子的其余直线与旗杆都是（异面）垂直的．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l α⊥其中，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足．用数学符号的语言表示为：如果对于m α∀∈，都有m l ⊥，则l α⊥．随堂练习：判断正误：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直．（ ）设计意图：从具体到抽象，从生活中非常实际的例子出发，通过多媒体演示，利用异面直线的夹角，发现直线垂直于平面的本质，教师：上面我们给出了一条直线垂直于一平面的定义，根据定义我们很难穷举平面中所有的直线，去判定和已知直线的关系．思考2：如何判定直线与平面是否垂直？教师：在上一节课中我们了解到“若在已知平面上有一直线和已知直线平行，那么已知直线就平行于此平面”类似地，我们做下面的猜想：猜想1如果平面α同学们判断此猜测是否正确?学生：此猜测是不对的，如图直线l 垂直于直线a ，但却不垂直于平面α．猜想2 如果平面α上有两条直线和过平面的直线l 垂直，则l ⊥a （？） 学生：两条直线若平行，那这个猜想就不成立如图三，直线l 垂直于平行直线a 和b ，但却不垂直于平面α． 图一 图三猜想3 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．如图四长方体，a 和b 是平面α内的两条相交直线， a c b c ⊥⊥,这时α⊥c ．又如图直线m 既垂直于c 又垂直于l ，但却不垂直于c 和l 所在的平面．因此可以得到直线垂直于平面的判定定理. 定理6.1：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号语言表示为： 图五设计意图：此模块教师对学生进行引导，一起探究直线垂直于平面的判定定理，通过对猜想1，猜想2举出反例，进而逐步进行新的猜想和推测，并利用长方体模型验证猜想，让学生体验知识的发现过程，培养学生合情推理的能力．三、应用练习（1）如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，(BD 、DC 与桌面接触).观察并思考：当AD 和BC 满足什么关系时，AD 才能垂直于桌面？分析：依据直线垂直于平面的判定定理，当一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．解答：若沿着△ABC 的高线AD 折叠，那么AD ⊥BC ，折叠后则有BD AD ⊥,BC AD ⊥,B BD BC =⋂,则依据直线垂直于平面的判定定理有AD 垂直于桌面．（2）求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直．（3）如图七，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 为对角线AC 和BD 的交点，且PC PA =，PD PB =．求证ABCD PO ⊥．提示：在平行四边形中寻找两条相交直线与PO 是垂直的．l α m n p ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,, A B C D α图六图七c αl 图四m（4）如图在Rt三角形ABC中，0∠，点P为三角形所在平面外一点，⊥B=90PA平面ABC，问：四面体PABC中有几个直角三角形？图八设计意图：练习1中设计了利用折纸的情境判断直线是否垂直于平面，期中既是利用了定理6.1，又是对定理6.1的一个验证．补充了教学中定理证明的缺失．练习2是对定理的简单应用，主要考察定理中要求两直线必修相交，练习3是对此定理的全面考察，考察判定的两个关键因素：垂直和相交．此模块意在使学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，将线面垂直转化为线线垂直，培养学生严谨的逻辑推理．四、回顾总结（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？五、作业布置P36 2题，P41 A组第5题.【专家点评】整个教学过程的设计体现了引导发现法的思想。
