高三总复习人教数学(理)1第2章 第8讲

如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,
OB为OA在平面α内的射影,OC为平面α内
的任意一条直线,其中θ为OA与OC所成的
角,θ1为OA与OB所成的角,即线面角,θ2为
OB与OC所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2.
增素能 精准突破
考点一
利用空间向量证明平行、垂直
典例突破
例1.(2021广西南宁二中月考)如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平
D(2,4 3,0),F(0,0,3),E(4,4 3,3),M 1,4
向量=(0,2,-2),=(2,0,0),设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),
· = 2 = 0,
则
· = 2-2 = 0,
取 y=1,可得平面 PCD 的一个法向量为 n=(0,1,1),
因为 ·n=1×0+0×1+0×1=0,所以 n⊥ ,
所以平面 PCD⊥平面 PAD.
∴n1·1 =0.
又 AB1⊄平面 A1C1C,∴AB1∥平面 A1C1C.
(2)解:1 =(-1,0,1),1 =
∴cos<1 , 1 >=
1
1
,− ,1
2
2
1 ·1
=
|1 ||1 |
∴异面直线 CA1 与
1
2
2×
6
2
,
=
3Hale Waihona Puke ,63BC1 所成角的余弦值为 6 .
设 AB=2,则 = − , = − .
故 ·=( − )·
( −
所以
5
)=-2.
·
5
cos< , >=

2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第8节函数与方程含解析第8节函数与方程考试要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知识梳理1。

函数的零点（1)函数零点的概念对于函数y＝f（x),把使f(x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点。

（2)函数零点与方程根的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。

（3)零点存在性定理如果函数y＝f（x）满足:①在区间［a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a）·f（b）〈0;则函数y＝f(x)在(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.2。

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与x轴的交点（x1，0），(x2，0）（x1，0)无交点零点个数210[常用结论与微点提醒］1。

若连续不断的函数f(x）在定义域上是单调函数，则f(x）至多有一个零点。

函数的零点不是一个“点"，而是方程f(x）＝0的实根。

2。

由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a)·f(b)<0，如图所示,所以f（a)·f(b）〈0是y＝f（x)在闭区间[a，b］上有零点的充分不必要条件.3。

周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.诊断自测1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)函数f(x）＝lg x的零点是（1，0)。

()(2)图象连续的函数y＝f(x）(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点,则f(a）·f(b）<0.(）(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点。

根时，则微分方程的完全解形式为
k
n
y(t ) yh (t ) y p (t) Cit k e i i t
C je jt y p (t )
i 1
j k 1
Ci 、C j 由初始条件确定。
微分方程的经典解法——完全解
已知微分方程 y ''(t) 3y '(t) 2 y(t) f '(t) 2 f (t) 求当 f (t) e、t y(0) 、0 y' (0) 3 时的完全解。
微分方程的经典解法——齐次解
不同特征根对应的齐次解
（1）当特征根为不相等的单实根时，则对应的齐次解为
1e1t


e2t
2


e3t
3
L
k ekt
（2）若特征根为复根 j ， 则对应的齐次解为 1e( j )t 2e( j )t et [ cos t sin t]
解: (1) (a) 特征方程为2 + 5 + 6 = 0 其特征根 1= -2， 2= –3。
则，齐次解的形式为为：yc(t) = C1e –2t + C2e –3t， t > 0
(b) 当 f(t) = 2e –t 时，其特解可设为：yp(t) = Qe –t 将其代入微分方程得： Qe –t + 5(–Qe –t) + 6Qe –t = 2e –t ，解得Q=1
利用系统的初始条件求齐次解中的各个系数。
微分方程的经典解法——完全解
完全解=齐次解+特解 由初始条件定出齐次解中的待定系数。
若微分方程的特征根均为单根，则微分方程的完全解形式为

高三数学第二章 极限复习（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第二章 极限复习二. 教学重、难点：⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡最值连续函数在闭区间上的连续求函数极限函数极限的四则运算函数极限数列极限的四则运算数列极限极限证明不等式证明数列问题证明几何问题证明整除性问题证明恒等式教学归纳法;_______________【典型例题】[例1] 已知}{n a 、}{n b 的极限存在且满足：8)52(lim =+∞→n n n b a ，2)(lim =-∞→n n n b a ，求)23(lim n n n b a +∞→。

解：设)()52(23n n n n n n b a y b a x b a -++=+n n b y x a y x )5()2(-++=∴ ⎩⎨⎧=-=+2532y x y x 解得75=x ，711=y∴ 7622711875)23(lim =⨯+⨯=+∞→n n n b a[例2] 设)(x f 是一个三次函数，61)(lim1=+-→x x f x ，232)(lim 2-=-→x x f x ，求3)(lim 3-→x x f x 的值。

解：由题意知：))(2)(1()(a x x x m x f --+=由61)(lim1=+-→x x f x ，得6)1(3=---m a ① 由232)(lim2-=-→x x f x ，得23)2(3-=-a m ② ①②联立得3=a ，21=m ∴ )3)(2)(1(21)(--+=x x x x f2)2)(1(21lim 3)(lim 33=-+=-→→x x x x f x x[例3] 设11)(22++-+-=x x x x x f 分别求)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→的值。

)(lim x f x ∞→存在吗？ 解：∵ 11)(22++-+-=x x x x x f 11112222++++----+-=x x x x x x x x11222++++--=x x x x x∴ 112lim)(lim 22++++--=+∞→+∞→x x x x xx f x x 112lim222++++--=+∞→x x x x x x11121111112lim 22-=+-=++++--=+∞→xx x x x ∴ 112lim)(lim 222++++-=-∞→-∞→x x x x x x f x x 221111112limxx x x x ++++-=-∞→1112=+=∵ )(lim )(lim x f x f x x -∞→+∞→≠ ∴ )(lim x f x ∞→不存在[例4] 设⎩⎨⎧>+≤-=)1(3)1()(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=)1(12)1()(3x x x x x g ，讨论)]([x g f 的连续区间。