第二章方程(组)与不等式(组)第7课时一元二次方程及其应用(盐城3～11分，淮安3～10分，宿迁3～4分)江苏近5年中考真题精选(2013～2017)命题点1 一元二次方程根的判别式(淮安2考，宿迁1考)1. (2017扬州3题3分)一元二次方程x2－7x－2＝0的实数根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定2. (2017苏州4题3分)关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )A. 1B. －1C. 2D. －23. (2017淮安14题3分)若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．命题点2 一元二次方程根与系数关系(盐城1考)4. (2017南京12题2分)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p ＝____，q＝____．5. (2017盐城13题3分)若方程x2－4x＋1＝0的两个根是x1、x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．6. (2016南通16题3分)设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2(x22－3x2)＝________．命题点3 一元二次方程的解法(盐城1考，宿迁2考)7. (2015宿迁18(1)题3分)解方程：x2＋2x＝3.8. (2014泰州17(2)题6分)解方程：2x2－4x－1＝0.命题点4 一元二次方程的实际应用(盐城2考，淮安2考，宿迁1考)考向一面积问题9. (2014宿迁12题3分)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m.考向二增长率问题10.(2017无锡7题3分)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( )A. 20%B. 25%C. 50%D. 62.5%11. (2014南京22题8分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长．已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元．设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.12. (2017盐城23题8分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？考向三每每问题13. (2013淮安25题10分)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？14. (2015淮安26题10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？答案1. A 【解析】一元二次方程x 2－7x －2＝0中，∵a ＝1，b ＝－7，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×(－2)＝57>0，∴方程有两个不相等的实数根．2. A 【解析】∵方程x 2－2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4k ＝0，解得k ＝1.3. k ＜－34【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2－x ＋k ＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－1)2－4(k ＋1)＞0，解得k ＜－34.4. 4，3 【解析】根据根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，则p ＝－(－3－1)＝4，q ＝－3×(－1)＝3.5. 5 【解析】∵方程x 2－4x ＋1＝0的两个根是x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝－－41＝4，x 1x 2＝11＝1，∴x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝4＋1＝5.6. 3 【解析】∵x 1，x 2是方程x 2－3x －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1，∵x 2是方程x 2－3x －1＝0的根，∴x 22－3x 2＝1，∴x 1＋x 2(x 22－3x 2)＝x 1＋x 2＝3.7. 解：移项，得x 2＋2x －3＝0，(1分) 因式分解，得(x ＋3)(x －1)＝0，(2分) 解得：x 1＝－3，x 2＝1.(3分)8. 解：根据方程可知：a ＝2，b ＝－4，c ＝－1，(2分) ∵b 2－4ac ＝16＋8＝24，(4分)∴x ＝aac b b 24--2 ＝4±244.即x 1＝2＋62，x 2＝2－62.(6分)9. 12 【解析】∵长减少2 m ，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x m ，则宽为(x －2)m ，根据题意得：x (x －2)＝120，解得x 1＝12或x 2＝－10(舍去)，故原菜地的长为12 m.10. C 【解析】设平均每月的增长率是x ，根据题意，可知2(1＋x )2＝4.5，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5(舍去)，故该店销售额平均每月的增长率为50%.11. (1)【信息梳理】解：2.6(1＋x )2；(4分)(2)解：根据题意，得4＋2.6(1＋x )2＝7.146， 解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率是10%.(8分) 12. 解：(1)设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒．由题意得3500x ＝11-2400x ， 解得x ＝35，经检验：x ＝35是原方程的解，且符合实际意义． 答：2014年这种礼盒的进价为35元/盒；(4分) (2)设年增长率为a ，由(1)得2014年售出礼盒的数量为： 3500÷35＝100(盒)，∴(60－35)×100(1＋a )2＝[60－(35－11)]×100， 解得a 1＝0.2，a 2＝－2.2(舍去)． 答：年增长率为20%.(8分)13. 解：设购买了x 件这种服装，根据题意得： [80－2(x －10)]x ＝1200，(4分) 解得x 1＝20，x 2＝30，(5分)当x ＝20时，80－2(20－10)＝60元＞50元，符合题意；(7分) 当x ＝30时，80－2(30－10)＝40(元)＜50元，不合题意舍去．(9分) 答：她购买了20件这种服装．(10分)14. (1)【思维教练】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x 元，每天可多售出(20×1.0x )斤，每天销售量为100＋20×1.0x＝(200x ＋100)斤． 解：200x ＋100；(2分) (2)解：根据题意，得(4－2－x )×(200x ＋100)＝300，(4分)整理，得2x2－3x＋1＝0，(6分)因式分解得(x－1)(2x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝0.5，(8分)当x＝1时，每天销售量为200×1＋100＝300>260，符合题意．当x＝0.5时，每天销售量为200×0.5＋100＝200<260，不合题意，舍去．(9分) 答：要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．(10分)。
第二章 方程与不等式2．1一次方程(组）例1 解方程1213323x x x --+=-例2 解方程组⎩⎨⎧-=+=+1353y x y x例3 一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路,其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2。
2h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．练习2。
11．填空题:（1）方程37322+=-的解是；x x（2)方程()()x x x--=-+的解是；3713232．解下列方程组：2．2分式方程练习2。
22.3一元二次方程练习2。
31. 填空题：（3）设12,x x 是方程223x x +=的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ;2．解下列方程：2．4不等式例3 去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365)之比达到手60％，如果明年（365天）这样的比值要超过70%,那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？例4 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费;在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费。
顾客到哪家商场购物花费少？练习2。
41．填空题：尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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第6讲一次方程(组)及其应用第7讲一元二次方程及其应用第8讲分式方程及其应用第9讲一元一次不等式(组)及其应用第6讲┃一次方程(组)及其应用考点聚焦考点1 等式的概念与等式的性质概念表示相等关系的式子，叫做等式性质1 等式两边加(或减)同一个数或同一个整式所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a＋c＝b＋c性质性质2 等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)所得的结果仍是等式．如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)考点2 方程及相关概念方程的概念含有未知数的等式叫做方程方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根解方程求方程解的过程叫做解方程考点3 一元一次方程及其解法一般形式________________ (1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘 (2)去括号：注意括号前的系数与符号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号 (4)合并同类项：把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式 解一元一次方程的一般步骤(5)系数化为1：方程两边同除以x 的系数，得x ＝b a 的形式ax ＋b ＝0(a ≠0)考点4 二元一次方程组的有关概念二元一次方程 含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的整式方程二元一次方程的解 定义 使二元一次方程左右两边相等的每对未知数的值．一个二元一次方程的解有无数个定义 使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值 二元一次方程组的解防错提醒 二元一次方程组的解应写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b的形式考点5 二元一次方程组的解法定义 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法代入法 防错提醒 在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数加减法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法考点6 一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量2.设设适当的未知数，可以直接设未知数，有的题目需要间接设未知数3.列用含未知数的代数式表示相等关系列出方程4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)考点7 常见的几种方程类型及等量关系基本量之间的关系路程＝速度×时间相遇问题全路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程行程问题流水问题v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水第6讲┃考点聚焦基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间工程问题其他常用关系量(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率;(2)通常把工作总量看作“1”归类示例►类型之一等式的概念及性质命题角度：1. 等式及方程的概念；2. 等式的性质．如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝2码A与________个砝码C的质量相等．图6－1[解析] 依题意有A=B+C,A+B=3C,两个等式相加2A＋B ＝B＋4C，A＝2C.(1)当天平的左右两边质量相等时，天平处于平衡状态，即为等量关系；(2)利用等式性质，等式两边同除以同一个数时，一定要注意此数不为0.►类型之二一元一次方程的解法命题角度：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．[2011·滨州] 依据下列解方程0.3x＋0.50.2＝2x－13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为3x＋52＝2x－13；(___________________)去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；()去括号，得9x＋15＝4x－2；(__________________________) (__________)，得9x－4x＝－15－2；(____________________) 合并，得5x＝－17；(________)(__________)，得x＝－175.(____________________________)解：原方程可变形为3x＋52＝2x－13；(分式的基本性质)去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；(等式性质2)去括号，得9x＋15＝4x－2；(去括号法则或乘法分配律) (移项)，得9x－4x＝－15－2；(等式性质1)合并，得5x＝－17；(合并同类项)(系数化为1)，得x＝－175.(等式性质2)►类型之三二元一次方程(组)的有关概念命题角度：1．二元一次方程(组)的概念；2．二元一次方程(组)的解的概念．[2012·菏泽] 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1 的解，则2m －n 的算术平方根为( ) A ．±2 B. 2C ．2D ．4C[解析] 此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．由x=2,y=1 是二元一次方程组mx+ny=8,nx-my=1 的解，根据二元一次方程组的解的定义，可得2m+n=8,2n-m=1, 解得m=3,n=2, ∴2m－n＝4，∴2m－n的算术平方根为2.故选C.►类型之四二元一次方程组的解命题角度：1．代入消元法；2．加减消元法．[2012·南京] 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝－1，3x －2y ＝8.[解析] 解二元一次方程组常用加减法或代入法．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝－1，①3x －2y ＝8. ②①×2＋②×3，得11x ＝22，解得x ＝2.将x ＝2代入①，得2＋3y ＝－1，解得y ＝－1.所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝-1.(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．►类型之五利用一次方程(组)解决生活实际问题命题角度：1．利用一元一次方程解决实际生活问题；2．利用二元一次方程组解决实际生活问题．[2012·株洲] 在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图6－2，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：图6－2(1)求掷中A区、B区一次各得多少分？(2)依此方法计算小明的得分为多少分？解：(1)设掷到A 区和B 区一次的得分分别为x 、y 分．依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ＝77，3x ＋5y ＝75，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9.答：掷中A 区一次得10分、掷中B 区一次得9分．(2)由(1)可知：4x ＋4y ＝76，所以，依此方法计算小明的得分为76分．用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．第7讲┃一元二次方程及其应用考点聚焦考点1 一元二次方程的概念及一般形式定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程 一般形式 ________________一元二次方程 防错提醒 在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)一2ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)考点2 一元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0因式分解法方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式求根公式 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0, 且b 2－4ac ≥0时，则x 1，2＝－b ±b 2－4ac 2a 公式法公式法解方程的一般步骤 (1)将方程化成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式；(2)确定a ，b ，c 的值；(3)若b 2－4ac ≥0，则代入求根公式，得x 1，x 2，若b 2－4ac <0，则方程无实数根 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配方法 配方法解方程的步骤 ①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x ＋a )2＝b 的形式；⑤运用直接开平方解方程考点3 一元二次方程的根的判别式根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2－4ac判别式与根的关系(1)b2－4ac>0⇔方程有________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有________的实数根；(3)b2－4ac<0⇔方程________实数根一元二次方程根的判别式防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件两个不相等两个相等没有考点4 <选学>一元二次方程的根与系数的关系关系式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca文字表述两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根的积等于常数项与二次项系数的比误区警示利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0考点5 一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为增长率，b为连续两次增长后的量，则a(1＋m)2＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)2＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A A．－1 B．0 C．1 D．2[解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A.►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法；4．因式分解法．解方程：2⎝⎛⎭⎪⎫x －3＝3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －3.解：解法一(因式分解法)：(x －3)(2－3x )＝0， x －3＝0或2－3x ＝0，所以x 1＝3，x 2＝23.解法二(公式法)：2x －6＝3x 2－9x ， 3x 2－11x ＋6＝0，a ＝3，b ＝－11，c ＝6， b 2－4ac ＝121－72＝49， x ＝11±492×3，∴x 1＝3，x 2＝23.利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．►类型之三一元二次方程根的判别式命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．[2012·绵阳] 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)①把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.②当1、3为直角边时，斜边为12＋32＝10，∴周长为1＋3＋10＝4＋10.当3为斜边时，另一直角边为32－12＝22，∴周长为1＋3＋22＝4＋2 2.(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．[2012·乐山] 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．[解析] (1)设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元列出一元二次方程求解即可；(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)，方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)．∵14400 <15000，∴小华选择方案一购买更优惠．回归教材根的判别式作用大教材母题湖南教育版九上P29A组T3当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2－x－2＝2x＋t 有相等的两个实数根？此时这相等的两个实数根是多少？解：把方程x 2－x －2＝2x ＋t 化成一般形式表示为：x 2－3x －2－t ＝0.(－3)2－4×1×(－2－t )＝17＋4t ，当17＋4t ＝0，即t ＝－174时，原方程有相等的两个实数根．此时，方程的两个实数根为x 1＝x 2＝－－32×1，即x 1＝x 2＝32.[点析] 利用一元二次方程根的判别式与根的关系求系数应满足的条件，当方程有两个相等的实数根时，用公式法⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫公式为x 1＝x 2＝－b 2×a 容易求出方程的根．中考主要考查正向、逆向利用一元二次方程根的判别式与根的关系求系数及确定方程的根的情况．中考变式[2011·孝感] 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：① 当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，② 即2(k －1)＝k 2－1. 解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去． ②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0， ∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.。
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苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组 （其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解 （空集） （大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由． 【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小． 【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0． 由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大． 【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想． 举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【课程名称：方程与不等式综合复习 405277 ：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105； 若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110． 故今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可． 【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去． 当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【课程名称：方程与不等式综合复习 405277：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根； （2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。
