下载文档原格式
第7课时平面向量数量积的坐标表示
1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
2.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
3.揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识.
平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?
问题1:设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,则
有:①i·i=;②i·j=;③j·i=;④j·j=.
问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,即两个向量的数量积等
于.
问题3:用坐标表示向量的模
(1)若a=(x1,y1),则|a|=;
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.
问题4:向量夹角公式、平行或垂直的坐标表示式
(1)cos θ==;
(2)a∥b⇔;
(3)a⊥b⇔.
1.在平面直角坐标系xOy中,已知O(0,0),A(0,1),B(1,),则·的值为()
A.1
B.-1
C.
D.+1
2.向量a=(3,4),b=(x,2),若a·b=|a|,则实数x的值为().
A.-1
B.-
C.-
D.1
3.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b等于.
4.已知a=(1,),b=(+1,-1),求a与b的夹角.
向量垂直的坐标运算
已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1.
向量坐标运算中的最值问题
已知O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正常数,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),求·的最大值.
向量垂直的坐标公式的运用
在△ABC中,=(1,1),=(2,k),若△ABC为直角三角形,求实数k的值.
平面向量a=(,1),b=(,-),若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t).
△ABC中,有⊥,M是BC的中点.
(1)若=,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且==,求·+·的最小值.
已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=().
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.已知=1,=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为().
A.B.C.D.
3.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=.
4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,求λ的值.
(2013年·浙江卷)设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,y∈R,若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.
考题变式(我来改编):
答案
第7课时平面向量数量积的坐标表示
知识体系梳理
问题1:①1②0③0④1
问题2:x1x2+y1y2它们对应坐标的乘积的和
问题3:(1)(2)
问题4:(1)(2)x1y2-x2y1=0(3)x1x2+y1y2=0
基础学习交流
1.B由已知得=(0,1),=(1,-1),∴·=0×1+1×(-1)=-1.
2.A由a·b=|a|得,3x+4×2==5,即3x+8=5,解得x=-1.
3.1∵a=(1,1),b=(-1,2),∴a·b=(1,1)·(-1,2)=-1+2=1.
4.解:由a=(1,),b=(+1,-1)得,
a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.
记a与b的夹角为θ,则cos θ==.
又∵0≤θ≤π,∴θ=.
重点难点探究
探究一:【解析】由a=(3,4),b=(4,3)得,xa+yb=(3x+4y,4x+3y).又(xa+yb)⊥a,所以(xa+yb)·a=0,即3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,
即25x+24y=0.①
又|xa+yb|=1,所以|xa+yb|2=1,即(3x+4y)2+(4x+3y)2=1,
整理得25x2+48xy+25y2=1,
即x(25x+24y)+24xy+25y2=1.②
由①②有24xy+25y2=1,③
将①变形代入③可得y=±,
再代回①得,或
【小结】根据向量垂直和向量模的坐标表示求解即可,注意仔细计算.
探究二:【解析】设P(x,y),则=(x-a,y),=(-a,a),
由=t得,解得
∴=(a-at,at),又∵=(a,0),
∴·=a2-a2t,∵a>0,可得-a2<0,又0≤t≤1,
∴当t=0时,·=a2-a2t有最大值a2.
【小结】将·的最值问题转化为求有关函数的最值问题是解决本题的关键.
探究三:【解析】∵△ABC为直角三角形,∴A=90°,∴·=0,
又∵=(1,1),=(2,k),∴1×2+1×k=0,即k=-2,
∴当k=-2时,△ABC为直角三角形.
[问题]B、C不能是直角吗?
[结论]本题在解答过程中,应考虑△ABC三个内角都可能为直角的情况.
因此,正确解答如下:
∵△ABC为直角三角形,∴A=90°或B=90°或C=90°,
若A=90°,则·=0,又∵=(1,1),=(2,k),∴1×2+1×k=0,即k=-2.
若B=90°,则·=0,又=-=(2,k)-(1,1)=(1,k-1),即得1+(k-1)=0,∴k=0.
若C=90°,则·=0,即2+k(k-1)=0,而k2-k+2=0无实根,所以不存在实数k使C=90°.
综上所述,当k=-2或k=0时,△ABC是直角三角形.
【小结】对△ABC三个内角中哪个角为直角进行分类讨论是解决本题的关键.
思维拓展应用
应用一:由a=(,1),b=(,-)得,
a·b=0,|a|=2,|b|=1,
由x⊥y得,[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0,
即-ka2+ta·b-k(t2-3)a·b+t(t2-3)b2=0,
整理得,-4k+t3-3t=0,∴k=(t3-3t),
∴f(t)=(t3-3t).
应用二:(1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,==a,
∵⊥,=,
∴(+2)·(2+)=2+5·+2=4a2,
|+2|=
==a,
同理可得=a,
