高中数学选修2-1同步练习 2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)总结
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2.3.3直线与双曲线的位置关系
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析： 数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．
答案： B
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A.2 B.3
C.3＋12 D.5＋12
解析： 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.
又渐近线的斜率为±ba，
所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符合)，
即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，
两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，
解得e＝5＋12或e＝1－52(舍)．
答案：
D
3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：
根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝3，即ba≥3，则 c2－a2a2＝e2－1≥3，故有e2≥4，e≥2.故选C.
答案： C
4．P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析： 设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析： ∵∠AOB＝120°⇒∠AOF＝60°⇒∠AFO＝30°⇒c＝2a，∴e＝ca＝2.
答案： 2
6．已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析： 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±33x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－33≤k≤33.
答案： －33，33
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． 解析： ∵a＝1，b＝3，c＝2，
又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan 45°＝1，
∴l的方程为y＝x－2，
由 y＝x－23x2－y2＝3消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－72<0，
∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，
∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2
＝2·－2－4×－72＝6.
8．已知双曲线x2－y23＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．
解析： ①当k＝0时，显然不成立．
②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，
可设直线AB的方程为y＝－1kx＋b，
将其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①
由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为
x0＝－kb3k2－1，
②y0＝3k2b3k2－1. ③
因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，
从而有3k2b3k2－1＝－k2b3k2－1＋4，
即k2b＝3k2－1， ④
将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，
即3k2－1k2>0或3k2－1k<－1， ∴|k|>33或|k|<12，且k≠0，
∴k>33或k<－33或－12 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求圆C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点M355，455，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标． 解析： (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r. 圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2， 圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2. 由题意得 |CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或 |CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2， ∴||CF1|－|CF||＝4. ∵|F1F|＝25>4， ∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1. (2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|， ∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝355－52＋455－02＝2. 直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得 y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0. 解得x1＝14515(舍去)，x2＝655. 此时y＝－255. ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为655，－255.
