2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x |x 2－x －2<0}，B ={x |－1<x <1}则 ( ) A. A ⊂≠B B. B ⊂≠A C..A =B D. A ∩B =∅ 【测量目标】不等式的运算和集合的包含关系.【考查方式】通过解不等式判断集合的包含关系. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，2={|20}{|12}A x x x x x --<=-<<，则B 是A 的真子集.2. 复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 ( )A. 2+iB. 2－iC. －1+iD. －1－i 【测量目标】复数的四则运算及共轭复数的概念. 【考查方式】通过运算直接考查共轭复数. 【参考答案】D【试题解析】由题意得，()()3i 2i 3i 1i 2i 5z -+--+===-++,则1i z =--,故选D 3.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ） A. －1 B . 0 C . 2 D. 1【测量目标】线性回归方程与样本系数的的关系式. 【考查方式】通过给出方程求样本系数. 【参考答案】D【试题解析】：由题意得，根据线性相关性的检验可知，此时数据密切相关，此时数据的样本相关系数为1，故选D.4.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ）A. 12B. 23C. 34 D .45【测量目标】：椭圆的简单几何性质.【考查方式】将椭圆与三角函数知识结合起来考查. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，如图所示12212060F F P MF P ∠=⇒∠=，在直角2MF P △中，2sin60PM PF == ， 又232F M a c =-，且2tan 603322PM F M a c a c==⇒=--所以34c e a ==，故选C . 5. 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是 ( ) A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 【测量目标】二元线性规划的最优解.【考查方式】利用线性约束条件通过直线平移求最值. 【参考答案】A【试题解析】由题意得，正三角形ABC 的边长为2，所以顶点C的坐标为()12C ， 当取点三角形ABC 的顶点()1,3B 时目标函数取得最大值，最大值为max 2z =，当取点()12C +时，目标函数有最小值，此时最小值为min 1z =所以目标函数的取值范围为()12，故选A.6.如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （ ） A.A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和 B.2A B+为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数 【测量目标】程序框图的算法流程. 【考查方式】直接考查程序框图的算法. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，根据给定的程序框图可知，此程序框图是计算123,,,,N a a a a 的最大值与最小值的算法框图，A 表示计算123,,,,N a a a a 最大值，B 表示计算123,,,,N a a a a 的最小值，故选C.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A.6 B.9 C.12 D.18【测量目标】利用三视图求体积.【考查方式】通过观察三视图判断图形. 【参考答案】B【试题解析】由题意得，根据三视图的规则，原几何体表示底面为直角边长为直角三角形，高为3的三棱锥，所以几何体的体积为11139332V Sh ==⨯⨯=，故选B.8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为 ( ) A.6π B.43π C.46π D.63π【测量目标】球体体积的计算方法.【考查方式】通过平面截球求出球的半径和体积. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，连接球心与截面小圆的圆心1OO ，则1OO α⊥平面，则1OO = 根据球的性质得，球的半径R == 所以球的体积为3344ππ33V R ===，故B .9.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【测量目标】三角函数的周期和图像.【考查方式】通过相邻对称轴的距离求出ω和ϕ. 【参考答案】A【试题解析】由题意得，直线π4x =和5π4x =是函数()f x 图象的两条相邻的对称轴， 则函数周期满足π2π12TT ω=⇒=⇒=，即函数()sin()f x x ϕ=+， 又ππππ()sin()1π,4442f k k ϕϕ=+=±⇒+=+∈Z ，即ππ,4k k ϕ=+∈Z ，当0k =时，π4ϕ=，故选A.10.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=43，则C 的实轴长为 （ ） A. 2 B.2 2 C.4 D.8 【测量目标】等轴双曲线的概念和抛物线的相关概念. 【考查方式】等轴双曲线与抛物线结合考查. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为22221x y a a-=抛物线216y x =的准线方程为4x =-，代入双曲线的方程得，所以=2a =4，所以选C 11.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （ ）A.(0，22) B.(22，1) C.(1，2) D.(2，2) 【测量目标】对数函数与指数函数的图像与性质.【考查方式】通过不等式比较大小求出范围. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，当01a <<时，要使得14log ,(0)2xa x x <<…，即当102x <…时，函数4xy =在函数log a y x =图象的下方，又当12x =时，1242=，即函数4xy =过点1(,2)2，把点1(,2)2代入函数log a y x =得2a =，即12a <<，当1a >时，不符合题意，舍去，所以实数a 的取值范围是12a <<，故选B. 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （ ） A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 【测量目标】数列的通项公式和求和公式. 【考查方式】给出数列的递推关系求和. 【参考答案】D【试题解析】：由题意得，由1(1)21n n n a a n ++-=-得21(1)21n n n a a n ++=-++=1(1)[(1)21]21n n n a n n ---+-++(1)(21)21n n a n n =-+--++即2(1)(21)21n n n a a n n ++=--++ 也有31(1)(21)23n n n a a n n +++=--+++两式相加得1232(1)44n n n n n a a a a n ++++++=--++设k 为整数，则41414243442(1)4(41)41610k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+ 于是141460414243440()(1610)1830k k k k k k S aa a a k ++++===+++=+=∑∑第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________. 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】通过点在曲线上求出斜率和直线. 【参考答案】43y x =-【试题解析】：由题意得，(3ln 1)3ln 3ln 4y x x x x x y x '=+=+⇒=+，所以1|4x y ='=， 由点斜式方程得14(1)y x -=-，整理得43y x =-.14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______. 【测量目标】等比数列求和公式的简单运用. 【考查方式】通过等式直接考查. 【参考答案】-2【试题解析】：设等比数列的首项为1a ，公比为q ，由题意得，3230S S +=，则221(44)0440a q q q q ++=⇒++=，解得2q =-.15.已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |= . 【测量目标】平面向量的数量积与向量的模. 【考查方式】通过给出向量的模和角度直接考查.【参考答案】：【试题解析】：由题意得，222224444cos 45-=-+=-+ a b a b b a b b ，则244cos 4510-+=⇒=a b b b16.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=____.【测量目标】函数奇偶性的判断和性质. 【考查方式】利用奇偶性求函数最值. 【参考答案】2【试题解析】：由题意得，函数()22222(1)sin 21sin 2sin 1111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++，设()22sin 1x x g x x +=+，则()()222()sin()2sin ()11x x x xg x g x x x -+-+-==-=--++， 所以函数()g x 为奇函数，（步骤1）设当x a =时，()g x 有最大值()g a ，则当x a =-时，()g x 有最小值()g a -， 又()()1f x g x =+，则当x a =时，()f x 有最大值()1g a +，则当x a =-时，()f x 有最小值()1g a -+， 即()1,()1M g a m g a =+=-+，所以2M m +=（步骤2）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC △个内角三,,A B C 所对的边，sin cos c C c A =-． （1）求A ；（2）若2a =，ABC △b ，c ．【测量目标】正弦定理的运用.【考查方式】通过给出三角函数关系式直接考查.【试题解析】（1）∵sin cos c C c A -，∴sin sin sin cos C A C C A =-，（步骤1） ∵0πC <<，∴sin 0C ≠，cos 1A A -=，∴1cos )12A A -=， ∴π1sin()62A -=，（步骤2）∵0πA <<，∴π3A =．（步骤3）（2）∵1sin 2S bc A ==4bc =．①（步骤4）∵222cos a b c bc A =+-，∴228b c +=，②由①②解得2b c ==．（步骤5）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【测量目标】独立事件的概率分布列和期望.【考查方式】通过对实际问题的考查去求概率相关知识.【试题解析】（1）当日需求量17n …时，利润85y =；（步骤1） 当日需求量17n <时，利润1085y n =-，（步骤2）∴y 关于n 的解析式为1085,17,()85,17,y n n n y n =-<⎧∈⎨= ⎩N ….（步骤3）（2）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元， ∴这100天的平均利润为1(5510652075168554)76.4100⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤4）(ii)利润不低于75元，当且仅当日需求不少于16枝， 故当天的利润不少于75元的概率为0.160.160.150.130.10.7P =++++=．（步骤5） 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点．(1)证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【测量目标】空间几何体内面面垂直的判定及体积公式.【考查方式】由线面垂直得到面面垂直，根据棱柱体积公式计算. . 【试题解析】（1）由题设知1BC CC ⊥,BC AC ⊥，1CC AC C = ，∴BC ⊥平面11ACC A , （步骤1） 又∵1DC ⊂平面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知1145A DC ADC ∠=∠=,∴190CDC ∠= ,即1DC DC ⊥,（步骤2） 又∵BC DC C ⊥=, ∴1DC ⊥平面BDC , ∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BDC ．（步骤3） （2）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，1AC =， 由题意得，1112111322V +=⨯⨯⨯=，（步骤4） 由三棱柱111ABC A B C -的体积1V =， ∴11():1:1V V V -=，∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.（步骤5） 20.（本小题满分12分）设抛物物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（1）若90BFD ∠=，ABD △的面积为p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【测量目标】抛物线与圆的标准方程及简单几何性质. 【考查方式】考查分类讨论的思想.【试题解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则FE p =，FA FB FD r ===，E 是BD 的中点， （1）∵90BFD ∠=，∴FA FB FD ===，2BD p =，（步骤1）点A 到直线l的距离d FA ==，∵ABD △的面积为∴11222ABD S BD d p ==⨯= △2） 解得2p =，∴(0,1)F ， FA =，∴圆F 的方程为：22(1)8x y +-=．（步骤3） (2)∵,,A B F 三点在同一条直线m 上， ∴AB 是圆F 的直径，90ADB ∠=，由抛物线定义知12AD FA AB ==， ∴30ABD ∠=，∴m 的斜率为3或3-∴直线m 的方程为：2py x =+，（步骤4）∴原点到直线m 的距离14d p =，设直线n 的方程为：3y x b =±+，由22y x b x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得220x px pb ±-=，（步骤5） ∵n 与C 只有一个公共点，∴24803p pb ∆=+=，∴6p b =-，∴直线n 的方程为：6py x =-，（步骤6） ∴原点到直线n 的距离2d p =，∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3．（步骤7）21.（本小题满分12分）设函数()e 2xf x ax =--． （1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值 【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值.【考查方式】直接考查单调区间及考查构造函数的思想．【试题解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-，（步骤1） 若0a …时，则()0f x '>，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．（步骤2） 若0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增．（步骤3） （2）若1a =，()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++∴当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1xx k x x +<+>-．① 令1()(0)e 1x x g x x x +=+>-，22(e 1)(1)e e (e 2)()1(e 1)(e 1)xx x x x x x x g x --+--'=+=--， 由（1）知，()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增．（步骤4） ∵(1)0,(2)0h h <>，∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一零点． ∴()g x '在(0,)+∞上存在唯一零点．（步骤5） 设其零点为a ，则(1,2)a ∈．当(0,)x a ∈时，()0g x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g a ，（步骤6） ∵()0g a '=，∴e 2aa =+，∴()1(2,3)g a a =+∈． 由于①等价于()k g a <，∴整数k 的最大值为2．（步骤7）请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：(Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD【测量目标】圆和相似三角形的概念和性质.【考查方式】通过性质和判定定理去求相关问题.【试题解析】（I ）因为D,E 分别为AB,AC 的中点，所以DE //BC.又已知CF AB ,故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF=BD=AD .而CF AD ,连接AF ,所以ADCF 是平行四边形，故CD=AF .（步骤1）因为CF AB ,所以BC=AF ,故CD=BC （步骤2）(II)因为FG BC ,故GB =CF .由（I ）可知BD=CF ,所以GB=BD .而∠DGB=∠EFG=∠DBC,故△BCD ∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.【测量目标】曲线参数方程与极坐标方程互化.【考查方式】通过给出方程进行互化.【试题解析】（I ）由已知可得A (2cosπ3,2sin π3),B (2cos(ππ+32),2sin(ππ+32)), C (2cos(π+π3)，2sin(π+π3)),D (2cos(π3π+32),2sin(π3π+32)), 即A (1B(C (1-，，D1-)(II)设P (2cos ϕ,3sin ϕ),令S =2222||||||||PA PB PC PD +++,则S =1622cos 36sin ϕϕ++16=32+202sin ϕ因为0…2sin ϕ…1，所以S 的取值范围是[32,52]24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.【测量目标】含有绝对值的不等式的解集.【考查方式】给出等式进行化简变换.【试题解析】(I)当a =3-时，25,2()1,2325,3x x f x x x x -+⎧⎪=<⎨⎪-⎩……<当2x …时，由()3f x …得253x -+…，解得1x …；（步骤1） 当23x <<时，()3f x …无解；（步骤2）当3x …时，由()3f x …得25x -3…；解得4x …；所以()3f x …的解集为{|1}{|4}x x x x 剠（步骤3）(II)()|4|f x x -…|4|x ⇔-|2|x --||x a +…当[1,2]x ∈时，|4|x -|2|x --||x a +…⇔4(2)x x ---||x a +…⇔2a x --…2a -…(步骤4) 由条件得21a --…且22a -…，即30a -剟故满足条件的a 的取值范围为[3,0]-.（步骤5）。
