龙海二中2015-2016学年第一学期期末考高二数学(理)试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.12x <<“”是”“2<x 成立的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当12x <<时可得2x <成立，反之不成立，所以12x <<“”是”“2<x 成立的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件2.十进制数25转化为二进制数为（ ）A. ()211001B. ()210101C. ()210011D. ()211100 【答案】A 【解析】试题分析：25÷2=12…1，12÷2=6…0，6÷2=3…0，3÷2=1…1，1÷2=0…1 故25转化为11001 考点：进制转化3.某校高中部有学生2 000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人.现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级被抽取的学生人数分别为（ ） A 15,10,25 B 20,15,15 C 10,10,30 D 10,20,20 【答案】B 【解析】试题分析：抽取比例为501200040= 11180020,60015,60015404040∴⨯=⨯=⨯=，高一、高二、高三各年级被抽取的学生人数分别为20,15,15 考点：分层抽样4.已知向量)5,3,2(-=→a 与向量)215,,3(λ=→b 平行，则λ＝（ ） A23 B 92 C 92- D 23- 【答案】C 【解析】试题分析：向量)5,3,2(-=→a 与向量)215,,3(λ=→b 平行()152,3,53,,32,32a kb k k k λλ⎛⎫∴=∴-=∴==- ⎪⎝⎭，解方程得92λ=-考点：向量共线5.459和357的最大公约数是（ ）A 3B 9C 17D 51 【答案】D 【解析】试题分析：：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51 考点：辗转相除法.6.已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.8 【答案】D 【解析】试题分析：由方程可知2222,1021248a m b m c m c m =-=-∴=-∴==∴=考点：椭圆方程及性质7.在正方体1111D C B A ABCD -中，点F E , 分别是棱1,BB AB 的中点，则异面直线EF 和 1BC 所成的角是（ ）A 60B 45C 90D 120 【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，设AB=2，则A （2，0，0），B （2，2，0），1B （2，2，2），1C （0，2，2），E （2，1，0），F （2，2，1）． ∴1BC =（-2，0，2），EF =（0，1，1），∴cos ＜1BC ，EF ＞=11128BC EF BC EF==，∴＜1BC ，EF ＞=60°．∴异面直线EF 和1BC所成的角是60° 考点：异面直线所成角8.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 【答案】C 【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大，甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小，∴丙的射击水平最高且成绩最稳定，∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数9.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A2160 B 2880 C 4320 D 8640【答案】C考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图10.如下图，该程序运行后输出的结果为（）A7B15 C 31 D 63【答案】D【解析】试题分析：因为A=1，s=1判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2；判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3；判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4；判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5；判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5 考点：程序框图11.函数[]2()2,55f x x x x =--∈-，,定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）A 110B 310C 23D 45【答案】B 【解析】试题分析：满足()00f x ≤的0x 的范围是012x -≤≤，所以其概率为()()2135510P --==--考点：几何概型.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A (1,2] B [2,)+∞ C (1,2) D (2,)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，ba∴≥，离心率2222224c a b e a a +==≥，∴e ≥2考点：双曲线方程及性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数x x x f cos 4sin 3)(-=，则)2('πf __________.【答案】4 【解析】试题分析：()''()3sin 4cos 3cos 4sin 42f x x x f x x x f π⎛⎫=-∴=+∴= ⎪⎝⎭考点：函数导数计算14.命题“∀x R ∈，3210x x -+≤”的否定是__________. 【答案】01,23>+-∈∃x x R x 【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：01,23>+-∈∃x x R x 考点：全称命题与特称命题15.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是__________．【答案】64 【解析】试题分析：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28，∴甲的中位数为28，乙的得分共有9个，中位数为36，∴乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64 考点：茎叶图与中位数16.下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号___________.（写出所有真命题的序号） ① 设B A ,为两个定点，若2=-PB PA ，则动点P 的轨迹为双曲线；② 设B A ,为两个定点，若动点P 满足PB PA -=10，且6=AB ，则PA 的最大值为8；③ 方程02522=+-x x的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④ 双曲线221259x y -=与椭圆13522=+y x 有相同的焦点. 【答案】②③ 【解析】试题分析：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|-|PB|=2的动点P 不一定是双曲线，这与AB 的距离有关系，所以①错误；②由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确；③方程02522=+-x x 的两个根为x=2或12x =，所以方程02522=+-x x 的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确；④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x 轴上，而椭圆的焦点在y 轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③． 考点：椭圆双曲线抛物线性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题023:2>+-x x p ；命题a x q <<0:.若p 是q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(]1,∞-考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 18.（本小题满分12分）求曲线3x y =在点(1,1)处的切线方程. 【答案】023=--y x 【解析】试题分析：由原函数求得其导函数'23y x =，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，进而由点斜式方程得到切线方程试题解析： 3x y =2'3x y =∴………………………………………………………………4分∴曲线3x y =在点（1，1）处的切线的斜率31'===x y k …………………8分∴切线的方程为)1(31-=-x y 即023=--y x .……………………12分考点：导数的几何意义及直线方程. 19.（本小题满分12分）某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.（1）求线性回归方程；(440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x )（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：∑∑=-=--Λ--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，-Λ-Λ-=x b y a【答案】（1）502+-=Λx y （2）30度 【解析】试题分析：（1）根据表中数据可以求出.,x y ，再根据440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x ，由提供的计算回归直线的斜率和截距的公式便可求出,b a ，从而写出回归直线方程；（2）根据回归直线方程，带入x=10，便可得出气温为10℃时的用电量y ．试题解析：（1）由表可得：30438342622,104681214=+++==+++=--y x ………3分又440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x∴2104440301041120442412241-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=--Λi ii ii xxy x yx b∴5010)2(30=⨯--=-=-Λ-Λx b y a ………………………………………6分 ∴线性回归方程为：502+-=Λx y ………………………………………8分（2）由（1）可得回归方程为：502+-=Λx y∴当10=x 时，3050102=+⨯-=y∴估计当气温为C o 10时的用电量为30度. ………………………12分考点：回归方程 20.（本小题满分12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2） 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】（1）103（2）109 【解析】试题分析：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有20种抽法记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，求出事件A 含有的基本事件数，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B ，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，由此能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率试题解析：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有2045=⨯种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，则事件A 含有的基本事件数为623=⨯…………………………………………………………………4分()103206==∴A P ∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是103………………………6分（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B ，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C ，则事件C 含有的基本事件数为212=⨯……8分()101202==∴C P ()()10910111=-=-=∴C P B P ……………………………………………11分∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是109.……………………12分考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 21.（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）32【解析】试题分析：（1）根据PA ⊥平面ABCD ，得到PA ⊥CD ，结合AD ⊥CD 可得CD ⊥平面PAD ，因为CD 是平面PDC 内的直线，所以平面PDC ⊥平面PAD ；（2）取AD 中点O ，过O 作OF ⊥AC 于F ，连接EO 、EF ，利用线面垂直的判定与性质，可证出∠EFO 就是二面角E-AC-D 的平面角．在Rt △EOF 中，分别算出OF 和EF 的长，可得∠EFO 的余弦值，即为所求二面角的平面角的余弦值 试题解析：（1）ABCD PA 平面⊥CD PA ⊥∴………………………2分又CD AD ⊥PAD CD 平面⊥∴……………………4分 ∴平面PDC ⊥平面PAD ………………6分（2）AD PA AB PA ABCD PA ⊥⊥∴⊥,,平面又AD AB⊥∴分别以轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、Ａz y x AP D AB xyz o -则()()()()1,2,0,2,0,0,0,4,2,0,0,0E P ，C A()()()1,2,0,0,4,2,2,0,0===∴→→→AE AC AP ………………………7分设()的法向量为平面ACE z y x n ,,=→，则 02042{=+=⋅=+=⋅→→→→z y AE n y x AC n令()2,1,22,1-=∴==-=→n z x y 则………………………9分又 平面ABC 的法向量()2,0,0=→AP ………………………10分322232,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→AP n AP n AP n ∴所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32．………………………12分 考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定.22.（本小题满分12分）已知过点)2,0(P 的直线l 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，O 为坐标原点．（1）若以AB 为直径的圆经过原点O ，求直线l 的方程；（2）若线段AB 的中垂线交x 轴于点Q ，求POQ ∆面积的取值范围．【答案】（1）042=-+y x （2）()+∞,2【解析】试题分析：（1）设直线AB 的方程为y=kx+2（k ≠0），A ()11,x y ，B ()22,x y ，由242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，得()224440k x k x +-+=，由△＞0，得12k <，由121222444,k x x x x k k -+==，知128y y k=，由以AB 为直径的圆经过原点O ，能求出直线l 的方程；（2）设线段AB 的中点坐标为()00,x y ，由1202222x x k x k +-==，得0022y kx k =+=，故线段AB 的中垂线方程为22122k y x k k k -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由此能求出△POQ 面积的取值范围 试题解析：（1）依题意可得直线l 的斜率存在，设为)0(≠k k ，则直线l 方程为2+=kx y …1分联立方程 ⎩⎨⎧=+=xy kx y 422，消去y ，并整理得()044422=+-+x k x k …2分则由()0164422>--=∆k k ，得21<k 设()()2211,,,y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+221221444k x x k k x x()()()kx x k x x k kx kx y y 84222212122121=+++=++=∴………………4分 以AB 为直径的圆经过原点O 0=⋅∴ ∴⋅08422121=+=+=k k y y x x ，解得21-=k ……………………5分 ∴直线l 的方程为221+-=y ，即042=-+y x ………………………6分 （2）设线段AB 的中点坐标为()00,y x由（1）得k kx y k k x x x 22,222002210=+=-=+= ∴线段AB 的中垂线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22212k k x k k y …………………8分 令0=y ，得232112222222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-+=k k k k k x Q ………10分 又由（1）知21<k ，且0≠k 01<∴k 或21>k∴22321022=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯>Q x ，222121>⨯==∴∆Q POQ x OQ PO S ……11分 POQ ∆∴面积的取值范围为()+∞,2………………………………………12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程：。
