多元函数微分学练习题

多元函数微分学及其应用（时间：150分钟）一、选择题(每小题3分，共15分)1、二重极限21lim 1x x y x y a x +→∞→⎛⎫- ⎪⎝⎭之值为（ ）．（A ） 0; （B ） 1; （C ） 1e -; （D ） e .2、设函数),(y x f 在),(00y x 处的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 存在，则（ ）.（A ） ),(y x f 在),(00y x 处可微;（B ） ),(y x f 在),(00y x 处连续;（C ） ),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数存在;（D ） 以上三个结论都不正确.3、已知矩形的周长为2p ,将它绕其一边旋转而形成一个旋转体,当此旋转体的体积为最大时,矩形两边长分别为（ ）.（A ）,22p p ; （B ）2,33p p ; （C ） 3,44p p ; （D ） 23,55p p . 4、假设曲线2121522y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在点（1，-1，-2）处的切线与直线533903210,x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩的夹角ϕ=（ ）.（A ） 0 ; （B ）4π; （C ） 3π; （D ）2π. 5、设(),()f x g x 是可微函数，且满足(,)(25)(25)u x y f x y g x y =++-, (,0)sin 2u x x =,(,0)0y u x =，则(,)u x y =（ ）.（A ）sin 2cos5x y ; （B ）sin 5cos 2x y ; （C ）cos5sin 2x y ; （D ）cos 2sin 5x y .二、填空题(每小题3分，共15分)1、设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值为 ． 2、设y x y x y x z -+++=arctanln 22，则dz = ． 3、函数z y x u 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=在点(1,1,1)处的梯度为 ． 4、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微分函数，则=∂∂+∂∂yz y x z x ． 5、已知曲面xy z =上点p 处的法线l 平行于直线2121326:1-=--=-z y x l ，则法线l 的方程为 ． 三、计算题(每小题6分，共30分)1、设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有连续的二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2． 2、已知),(),,(z y x y x f z ϕ==，其中ϕ,f 均为可微分函数，求dxdz ． 3、假设函数(,,)w f x y z =，其中f 具有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由方程5551z xy z -+=所确定，求w x ∂∂，22w x ∂∂． 4、设n 是曲面222y x z +=在P （1，2，3）处指向外侧的法向量，求函数xz y x u 22233++=在点P 处沿方向n 的方向导数．5、在曲面222316x y z ++=上求一点，使曲面在此点处的切平面平行于下列两条直线：1361:458x y z l --+==，2:l x y z ==．四、(8分) 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===， 证明：若0=∂∂+∂∂+∂∂z u z y u y x u x ，则u 与r 无关． 五、(8分)一正圆锥的半径以每分钟7厘米的速度增大，而它的高以每分钟20厘米的速度减小，求当半径45r =厘米，高100h =厘米时该正圆锥的体积的变化率，此时体积是在增大还是减小？六、(8分)设椭圆12322=+y x 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，求其最大面积．七、（8分） 试证光滑曲面0),(=--z y x z F 的所有切平面均与一固定非零向量平行．八、(8分)已知,,x y z 为实数，且2||3x e y z ++=，证明不等式2||1x e y z ⋅⋅≤．。

2024年考研高等数学一多元函数微分学历年真题在2024年考研高等数学一的多元函数微分学部分，历年真题一直是备考的重要资料。

通过复习历年真题，不仅可以熟悉考试题型，还能够理解题目的解题思路和考点要点。

本文将为大家呈现2024年考研高等数学一多元函数微分学的历年真题，供大家参考复习备考。

第一节：选择题1. 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，且对任意 $t$ ，有$f(tx_0,ty_0)=tf(x_0,y_0)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}$ 的关系是（）。

A. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$B. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$C. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$D. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$2. 设函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数， $df(x,y)$ 是其全微分，下列说法错误的是（）。

A. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy$B. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x,y)}dx+\frac{\partialf}{\partial y}|_{(x,y)}dy$C. $df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$D. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy$第二节：简答题1. 证明函数 $z=2x^2+3xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分为$dz=8dx+7dy$ 。

一、选择题1. z = In yjx~ - y 的定义域是A. ｛（X, v ） |x 2 > V ）;B. ｛（X, v ） | X 2 > y ｝ ：C. ｛（X, v ） |x 2 < y ｝ ：D. ｛（X, V ）|x 2 < V ）.2.函数z = /(x, y)在点(x 0, v 0)处对y 的偏导数是A lim /(心 + 山，几+勺)—/(X 。

，％)r 丘皿 g + 心,％ + △『)—/(x°,几) C Um /(Xo + Ax, X )) —/(兀,几).D lim /(Xo ，%+4v) —/(Xo’o)AXTO A X'R TO A X3. 如果/(x, y)具有二阶连续偏导数，则空华卫= (D )oxoyA . o ；B . ^21； c. ^21； D . ^2).a%2 dy2dydx4. 函数z = /(x,y)在点(无)，％))处连续是函数在该点处可微分的(B )A.充分但不必要条件；B.必要但不充分条件；C.必要且充分条件；D.既不充分也不必要条件. 5. 设z= I 1 =,则下列结论中正确的是(C )1 、一 2 (2)A.在xoy 平面上连续；B.在xoy 平面上，只有((C.在圆周x 2 + v 2 = 1上间断；D.在x' + y~ < 1内连续 二、计算题1.已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-1)和/(" + 2v, z/v). 解:因为 /(x, v) = X'v + 2xyB.在xoy 平面上，只有(0,1)、(1,0)为间断点; D.Sx 2 + v 2 < 1 内连续.lim ［（1 + （—2 巧））］五f ｛u + 2v, uv ） = （M + 2v ）MV + 2（M + 2v ） • uv2.求下列极限: y->0⑵lim （l — 2号）厂・解：lim （l-2xy ）xyx —>0 y->0:MJ 心+ 1-26.求u - cos(xyz)的全微分 5 , du , du , du ,角牛:du — —- dx + —- dy + ~~ dzdx dy dz=-sin(xyz) • yzdx - sin(xyz) • xzdy - sin(xyz) • xydz =-sin(xyz) • {yzdx + xzdy + xydz)7.计算Jl.023 + 1.973近似值（结果保留两位小数）:氓兀+ 丁 解：lim =-l皿厂+“3.证明lim ------- 不存在.锻兀V +（—V ）证明:当点p （x,y ）沿直线y = 0趋近于点（0,0）时，有心2 X 2 02 lim x —>oy->0lim _: ----------- - = lim — ---------------- - = 0 :+(x —y)~ :二：x-+(x —0)~ 当点p(x,y)沿直线y= x 趋近于点(0,0)时，有2 2 2 2lim ° °° ；二广丁+(*-丁)- 2 2X V雹/亍+⑺“尸_1不存在2 , /x2 11丁1丄°y +(兀一刃4.设 f(x,y,) = xy 2 + y 2+x 2,求人(0,0,1),九(0,-1,0)和心2,0,1).因此lim —y XT O y 2yTO A解：/(x, y, z) = xy 2 + yz 2 + zx 2f x =y 2 +2zx, f y =2xy + z 2, f z = 2yz + x 2 由 f xx =2z 得几(0,0,l)=2xl = 2由 f yz = 2z 得几(0,-1,0)=2x0 = 0 由 /,v = 2x 得尢(2,0,l) = 2x2 = 4a 3z a 3z5.设z = xe^,求县和菩. dy ox dy解：—=x-e xy • x = x 2e xydx• x = x 3e xy乔|厂 3宀八 + 2 . y =少 + X3 yk“(3 + *解：设 /(“) = JF+J ?,贝ij /(1.02,1.97)= 71.023 +1.973 取兀=1, y = 2, Ax = 0.02, Ay =—0.03 ,于是三、求下列偏导数x 工 dz e dzv + ve~u f u = xy , v =—,求亍和p. y dx oy ——du dz 3v v _u ( v—= ------- 1 = e y — ve - y + \ue + edx du dxdvdx2.求由方程F + v 3 + z 3 = 2QZ — 1所确定的隐函数Z = /(x, v)的偏导数生和$ . ox dy解：令 F (兀,y,z) =兀3+ y 3 + z 3 - 2xyz +1 = 0Fy = 3y 2 一 2xz, F ； — 3z 2 一 2xy3b -2xz3z 2 -2xy3.设z = f{x 2 -y\e xy y 且/具有一阶连续偏导数，求z 的一阶偏导数. 解：设 u = x 2 -y 2, v = e xyz = /(s)X=1尸Vl 3+23 =V9=3x=l尸271.023 +1.973 2后+于 3j_+ 丁3=/(1,2)+人(1,2)心 + 厶(1,2)®= 3 + |x0.02 + 2x(-0.03) = 2.95x=l尸21.已知z = ue 解：力32dz _ dz du dz 3v dx du dy 3v dy( \(e v-ve~u\ x + (ue v+e~u\\ y )X兀 —xy ._ y 兀x ----- e yx + xye y •— - -- =az-axaz -血以 所3x 2 - 2yz3z 2 -2xy ,2= e^.y-^.y + ^ 丄 + 严丄x ------2Uy= ------- r • xe y1 +w 2v2 x 5e y~ l + x 6e 2y其中/具有连续的偏导数，求字、当和字.ax oy dz解：设a = x ,包=/ +艺.％ +妙.也=^+y0 + yZ 艺 dx dx dp dx Bq dx dx dp Bq du _df dp+。

第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。