物理极值问题的求解方法

高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝30 m/s ，v 2＝10 m/s ，轿车在与货车距离x 0＝25 m 时才发现前方有货车，此时轿车只是立即刹车，两车可视为质点．试通过计算分析回答下列问题：(1)若轿车刹车时货车以v 2匀速行驶，要使两车不相撞，轿车刹车的加速度大小至少为多少？(2)若该轿车刹车的最大加速度为a 1＝6 m/s 2，轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a 2＝2 m/s 2加速前进，两车会不会相撞？[解析] (1)两车恰好不相撞的条件是轿车追上货车时两车速度相等，即 v 1－at 1＝v 2①v 1t 1－12at 21＝v 2t 1＋x 0②联立①②代入数据解得：a ＝8 m/s 2. (2)假设经过时间t 后，两车的速度相等 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0)此时轿车前进的距离x 1＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离x 2＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2代入数据解得：x 1＝63 m ，x 2＝31 m 因为：x 1－x 2＝32 m>x 0，两车会相撞． [答案] (1)8 m/s 2 (2)会相撞 二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析] 设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则 自行车的位移：x 自＝v 自t汽车的位移：x 汽＝12at 2则t 时刻两车的距离Δx ＝v 自t －12at 2代入数据得：Δx ＝－32t 2＋6t当t ＝－62×⎝⎛⎭⎫－32 s ＝2 s 时，Δx 有最大值Δx max ＝0－624×⎝⎛⎭⎫－32 m ＝6 m对Δx ＝－32t 2＋6t 也可以用配方法求解：Δx ＝6－32(t －2)2显然，当t ＝2 s 时，Δx 最大为6 m. (说明：此题也可用临界法求解) [答案] 见解析 三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得：L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg （sin θ＋μcos θ）＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为：F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形．显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．) 物体受力分析如图． 由平衡条件得：F ·cos θ＝F f ①F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin （α＋θ）当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节(取g ＝10 m/s 2)．(1)求运动员到达B 点的速度与高度h 的关系．(2)运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离x max 为多少？(3)若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？[解析] (1)设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得mg (H －h )－μmgL 1cos α＝12m v 20①即mg (H －h )＝μmgL ＋12m v 20②v 0＝2g （H －h －μL ）.③ (2)根据平抛运动公式 x ＝v 0t ④ h ＝12gt 2⑤ 由③④⑤式得x ＝2（H －μL －h ）h ⑥由⑥式可得，当h ＝12(H －μL )时水平距离最大x max ＝L ＋H －μL .(3)在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2 则可得到－h 2＋3 h －1＝0 求得h 1＝3＋52m ＝2.62 m ；h 2＝3－52m ＝0.38 m.[答案] 见解析 六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：q v B －F N cos θ＝m v 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得：m v 2R－q v B ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(单选)(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s 解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿木板滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.3．(2016·宝鸡检测)如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足 mg sin 30°＝μmg cos 30° 解得μ＝33.(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，由匀速直线运动的条件： F cos α＝mg sin α＋F f F N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F →∞ 即“不论水平恒力F 多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°. 答案：(1)33(2)60°4．如图所示，质量为m ＝0.1 kg 的小球C 和两根细绳相连，两绳分别固定在细杆的A 、B 两点，其中AC 绳长l A ＝2 m ，当两绳都拉直时，AC 、BC 两绳和细杆的夹角分别为θ1＝30°、θ2＝45°，g ＝10 m/s 2.问：细杆转动的角速度大小在什么范围内，AC 、BC 两绳始终张紧？解析：设两细绳都拉直时，AC 、BC 绳的拉力分别为F TA 、F TB ，由牛顿第二定律可知： 当BC 绳中恰无拉力时，F T A sin θ1＝mω21l A sin θ1① F TA cos θ1＝mg ②由①②解得ω1＝1033rad/s. 当AC 绳中恰无拉力时，F TB sin θ2＝mω22l A sin θ1③ F TB cos θ2＝mg ④ 由③④解得ω2＝10 rad/s.所以，两绳始终有张力时细杆转动的角速度的范围是 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s. 答案： 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s 5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 联立①②两式得：v 2＝h v 1L cos α＋h sin α＝h v 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝h v 1L 2＋h 2 .法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得：v 2v 1＝h L 2＋h2 v 2＝h v 1L 2＋h 2 .答案：h v 1L 2＋h 26．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd .由机械能守恒定律有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，即球运动到最低点时球所受到的拉力．球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝m v 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，竖直方向有d －l ＝12gt 21，水平方向x ＝v 3t 1 得x ＝4l （d －l ）3当l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233d .答案：见解析 7．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ，则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2（R ＋r ）2·R ①法一：(配方法)P ＝E 2（R －r ）2R ＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r.法二：(判别式法)将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r ，代入①式得R ＝r .答案：见解析 8.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求F 的取值范围．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1 对B 有：F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1 F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1联立以上各式解得：F min ＝m （M ＋m ）（sin α－μcos α）M （cos α＋μsin α）g ＝7.5 N甲乙B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．设共同加速度为a2，对整体有：F max＝(M＋m)a2对B有：F max－F f2cos α－F N2sin α＝ma2F N2cos α＝mg＋F f2sin αF f2＝μF N2联立以上各式解得：F max＝m（M＋m）（sin α＋μcos α）M（cos α－μsin α）g＝82.5 N故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N.答案：7.5 N≤F≤82.5 N。

当加 速 度 ａＯ ， 度 达 到最 大． ＝时 速
￣ ｐ（ ｑ ｍ ） Ｅ ． ： Ｉ， ｖ－ ｇ ＝ ｑ得 ｖ＝ Ｂ
极值等． 例 １空 间 存 在 充 分 大 的 正 交 的 水 平 匀 强 电 场 （ 强 为Ｅ） ． 场 和 匀 强 磁 场 （ 度 为Ｂ）足 够 长 的绝 缘 直 杆 水 平 放 置 ， 电 场 强 ， 与 平行 ， 图 ｌ 示 ， 带 正 电 的 圆环 （ 量 为Ｉ， 如 所 一 质 ｎ 电量 为 ｑ 套 在 杆 ）
一
ｍｇ 一￣（ Ｅ ｑ Ｂ） ｑ ＋ｖ
当ｖ ０ ， ★ — ｇ — Ｅ＝ ＝ 时 ＝ｍ － ｑ ｇ ￣
一
；
图１
图２
图３
分析 与 解 ： 环 由 静 止运 动后 ， 变加 速 运 动 ． 力 如 图２ 小 做 受 所示 ， 理 关 系 可表 示 为 ： 物
当ａ ０ ， ： 堕 ：时 ｖ —
场 ， 感 应 强 度 为 Ｂ， 导 轨 的Ａ 端 连 接 一 磁 在 ｃ 个 阻值 为Ｒ的 电阻 ， 根 质 量 为 ｍ、 直 于 导 一 垂 轨 放 置 的金 属棒 ａ ， 静 止 开始 沿导 轨 下 滑 ， 此 过程 中ａ 棒 ｂ从 求 ｂ 的最大速度． 已知 ａ 与 导 轨 间 的 动 摩 擦 因 数 为 ， 轨 和 金 属 ｂ 导 棒 的 电阻 不 计 ．
知识包括 ： ①定积求和 、 定和求积 ； 一元 二次方程 ； ② ③三角 函
数， 等． 等 例 ３如 图所 示 ， 在 很 长 的 绝 缘 直 棒 上 的 小 球 ， 质 量 ． 套 其 为 Ｉ， 电 量 为 ＋ 小 球 可 在 棒 上 滑 动 ， 此 棒 竖 直 放 在 互 Ｔ带 Ｉ ｑ， 将 相 垂 直 ， 沿 水 平 方 向 的 匀 强 电 场 和 匀 强 磁 场 中 ， 场 强 且 电 度 为 Ｅ， 感 应 强 度 为 Ｂ 小 球 与 棒 的 动 摩 擦 因 数 为 ， 小 磁 ， 求 球 由静 止 沿 棒 下 落 的 最 大 加 速 度 和 最 大 速 度 ？ （ 小 球 电 设

专题五数学方法（3）极值问题【方法点津】求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。

物理方法即用临界条件求极值。

数学方法主要有:三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、一元二次方程判别式法等.其它还有如导数法求解。

一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

1.利用三角函数求极值(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=sin2θ,当θ=45°时,y有最大值,y max=.(2)和差角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过和差角公式转化为y=sin(θ+φ),当θ+φ=90°时,y有最大值,y max=.2.利用二次函数求极值二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),当x=-时,y有极值y m=(a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m为极大值).3.利用均值不等式求极值对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值.【典例突破】利用数学方法求极值分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题,这类问题的数学解法Fθ有很多,【例1】重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ,一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动,则此最小作用力的大小和方向如何?【练1】如图所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N 的恒力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，木块M 可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？【例2】 在场强为E 的水平匀强电场中以初速度v 0竖直向上发射一个质量为m 、带电荷量为+q 的小球,求小球在运动过程中具有的最小速度.(重力加速度为g )【练2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。

高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。

使A作匀速直线运动。

试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。

（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。

它的根就可能是要求的极值。

这种方法应用是很普遍的。

（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。

将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。

今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。

证明，当m>M 时，圆环能升起。

证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。

由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。

有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。

cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。

§1 极值问题在处理实际问题时，往往需要求出在给定条件下，某物理量的极值。

例如，在投掷手榴弹时，在初速度大小一定的条件下，要以多大的角度投出，才能投得最远；用绳子拉物体前进时，拉的方向与地面成怎样的角度，才能最省力外电路送电时，何时输出功率最大；……解决这类问题的有力工具是微分学和变分学，但在不少情况下，也可用初等数学的方法来解决。

要求某一物理量在给定条件下的极值，首先要根据物理学中的定理、定律和公式，建立物理量和自变量间的函数关系，然后就所得的关系式进行研究，运用适当的数学方法，求出在给定条件下函数的极值。

通常，我们用下店小二为解决中学物理中的极值问题。

1．用代数的方法研究函数的极大值、极小值。

（1）利用一元二次函数的性质函数2y ax bx c =++ ① 当0,2ba x a>=-时，函数有极小值： 2min44ac b y a-=② 当 0,2ba x a<=-时，函数有极大值： 2max44ac b y a-=例8－1甲般在乙船正北10公里，若甲船以20公里/小时的速度向正西方向行驶，乙船以20公里/小时的速度向正北方向行驶，问两船何时最接近？此时，两者相距几公里？解：依题意作甲、乙两船航行示意图（图8－1） 设t 时刻两船的距离为s ，则：()()2222201020800400100s t t t t =+-=-+∵8000a => ∴4000.25()22800b t h a -=-=-=⨯时，S 2有极小值，此时222448001004005044800ac b s a -⨯⨯-===⨯所以7.1s km ≈即当t=0.25h 时，两船最接近，此时两船相距为7.1km 。

例8－2如图8－2所示，四个相同的干电池，每个电池的电动势为1.5V ，内电阻r=0.50欧，电阻R 1＝2.0欧，R 2＝6.0欧，滑动变阻器的总电阻R 3＝12.0欧，求：（1）滑动变阻器滑动片C称到什么位置时，伏特计读数最大？什么位置时，伏乙北特计的读数最小，其值各为多少？（2）滑动片移到什么位置时，电池的内部消耗的功率最小？为什么？解：等效电路如图8－3所示，设R ac =x 欧，则：()()23123n I R x R x nr R R R ε=+-+++①伏特计的读数：()()()()()()()()()()232323123231232312323()()()()1R x R x n U IR R x R x R R nr R R R n R x R x nr R R R R x R x n nr R R R R x R x εε+-=⋅+-++++++=++++-=++++-并＝ (1)令()()()2233223y R x R x x R R x R R =+-=-+-+⋅ ……（2） 由（1）式可知，当y 具有极大值时，伏特计的读数U 最大。

运用代数方法解决物理中的求极值问题作者：于雪芹来源：《职业·中旬》2010年第05期高中物理习题中的求极值问题,由于种类繁多、求解方法多变,一直是学习中的难点。

求极值问题不仅考察学生对物理知识的理解和掌握,也考察学生对数学知识的理解应用能力。

因此,极值的相关问题是教学中的重点,也是考试中的焦点和热点。

笔者在长期教学实践中积累了一些教学经验,在此抛砖引玉。

代数是为了解决生产生活中遇到的实际问题而产生的一门学科,解决物理问题自然也离不开代数。

求极值常用的代数方法有以下四种。

一、二次函数法所依据的代数原理是:利用函数y=ax2+bx+c (a≠0)当a>0时,x=-,y有最小值,ymin=;当a例1: 如图所示,光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停放着一个质量M 为0.99kg的木块,一质量m为0.01kg的子弹以V0=400m/s速度水平射入木块,然后一起运动到最高水平抛出。

试分析,当圆半径R多大时,平抛位移最大?最大值是多少?解:以子弹和木块组成的系统为研究对象,二者碰撞过程中动量守衡,设共同速度V共,mV0=(m+M) V共∴V共=4m/s设二者在轨道最高处时的速度是V由机械能守衡定律:∴V=m/s则平抛位移S=V ×t=V =4∴当R=-=0.2 时,位移最大为0.8m二、利用判别式的性质求极值所依据的代数原理是:给定的一元二次方程ax2+bx+c=0,若它在实数范围内有解,其判别式应该是△≥0,若无解,则应有△给定的ax2+bx+c≥0,若a>0,要使x取任何实数均成立,必使y=ax2+bx+c无解,即△≤0。

利用这些规律,即可求出a、b、c三量所有可能的极值。

例2:甲乙两辆汽车行驶在一条平直的公路上,甲车在乙车的后面作速度为V的匀速运动,乙车在前面做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a。

开始时两车在运动方向上相距S,求使两车可相遇两次的V的极值。

根 据题意 ， Ａ 球 刚好 对墙 壁没有 压力 时 ， 杆 刚 当 轻 好对 Ａ、 Ｂ两个小 球没 有作用 力 ， 此时 Ｂ球 的加速 度为 ０ 是惯性 系， ， Ａ球 以 Ｂ 球为 圆心 做 圆周 运 动 ， 根据 牛顿 ＶＡ ＣＯ Ｓ ｑ ＶＢ ｓ ｎ ） ｉ ０２ ③ ０－ 第二定律有 ： ｓ ０ ｍ（ ｉ 一— ｎ
、２ （ ｓ ６ 。 ｎ０ Ｌ ｉａ） ③ ／ ｇ Ｌ ｉ ０Ｘｓ ｚ－ ｓ ０ ／ ｎ ｉ ｎ
时
⑤
由数学知识得 当 ｓ ０ 时， 有最大值 ｉ＝ ｎ
④
重力对小球 的功率最大 ： 一 一 ２ Ｐ ｍｇ
二 、 理 方 法 物 根据机械能守恒定律有 ： ｍ Ｌｉ ｇ ｓ 加一 ｍ ①
的一， ＇咖 ＿ ｃ ／ ｇ
一
一一一一 ２ 滩～ ⑦雌一 一撇 ～～ 一一撇 妫性一 一 雕一～ ～愀一 硼 ① 一 一 黼删 一 师 一
一
根 据题意 当 Ａ球 刚好对墙壁没有压力 时 ， 轻杆刚好 对 Ａ、 Ｂ两 个小 球没 有作 用力 ， Ｂ球 的速 度则 达到最 大 值 。由① 、 ②式得 ：
一
；
Ｊ
⑥
Ｉ；； １ ＼ ；；； 曰 ｝
、
１ｍ 峨 十 １
重力对小球做功的瞬时功率 为 ：
Ｐ＝ｍｇ ｃｓ ② ｖｏＯ 由① 、 ②式 得 ：
Ｄ
７ ７ ｚ
②
图７
Ｐ ｍ ／ ｓ ０ ｓ ③ ＝ ｇｖ ￣Ｌ ｉ Ｘｃ ０ ｎ ｏ
根据数学 知识 Ｐ 一 ￣２ Ｌ ｉ — ｓ０ ④ ／ｇ ｓ ０ ｃ ２ — ｎＸ ｏ
Ｂ
则 ：＝ａｃｉ ０ ｒｓ ｎ
最大值为 一
Ｄ
⑤
根据物 理 知识 将 小球 的速 度 分解 为水平速度 和竖直速度 ＝ｖｏ０ ② ｃｓ

高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。

一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。

解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

R≤Ω，即Rmax＝Ω。
[方法四]用均值定理法求解
考虑R＝ ，设a＝2+x；b＝8-x。
当a＝b时，即2+x＝8-x，
即x＝3Ω时，Rmax(3)＝ ＝Ω。
也可以用上面公式(a+b)max＝ ＝25，
Rmax＝ ＝ ＝Ω。
以上用四种方法求出Rmax＝Ω，下边求伏特计的最大读数。
Imin＝ ＝ ＝4(A)。Umax＝ε- Iminr＝ ＝10(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。
1、利用顶点坐标法求极值
对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0,则当x=- 时,y有极小值，为ymin= ；
若a<0,则当x=- 时,y有极大值，为ymax= ；
2、利用一元二次函数判别式求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法
利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
考虑本题分母：μsinθ+cosθ与a sinθ+b cosθ用比较法，得：a＝μ；b＝1。
于是tgф＝ ，则ф＝arc tg 。所以，μsinθ+cosθ＝ sin(θ+arctg )。
要使F最小，则分母μsinθ+cosθ需最大，因此，θ+arc tg ＝ 。
所以有：θ＝ -arc tg ＝ -arcctgμ=arctgμ。
mgsinθ—μmgcosθ— =0②
②解式得：Vmax＝ 。
综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。

运用数学的三种基本模型求解物理量的极值贵州省惠水民族中学 姚本志极值问题是物理计算中的基本问题之一，解决这样的问题思维特点一般是：直接通过分析物理过程，明确物理概念，运用物理规律，抓关键字句，挖掘隐含条件进行分析，有的仅凭简单地分析或凭直觉就可以做出判断。

但是有些物理量的极值，通过物理过程的分析却只能大概确定可能有极值，甚至完全不能够确定。

更有一些列出了物理方程，通过一些简单和常用的变换，还是无法确定是否存在极值。

这时我们可以根据物理过程、物理规律，建立物理方程，借助数学模型的处理手段和方法，方便、快捷地求出物理量的极值。

下面仅以数学的三种基本模型结合实例分析求极值的具体方法。

1、 运用三角函数模型求解物理量的极值数学模型1：如果所求物理量的表达式转化为三角函：θθθ2sin 2cos sin A A y ==，则当045=θ时，y 有最大值2max A y =。

例1，如图1所示，一辆41圆弧形的小车停在水平地面上，在小车所在的空间内存在竖直向下、大小为E 的匀强电场。

一个带正电荷的小球，其质量为m ，电量为q ，从顶端由静止开始下滑，这一过程中小车始终保持静止状态。

问：当小球运动到何处，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？解析：设圆弧的半径为R ，小运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，记为：max f F ，且此时小球速度为v 。

圆弧轨道对小球的作用力为N F ，小球受力如图所示，由动能定律和牛顿第二定律有：221cos )(mv R mg qE =+θ…………………… ① 2cos )(Rv m qE mg F N =+-θ………………… ② E 由①、②式可得，θcos )(3qE mg F N +=，由牛顿第三定律，小球对圆弧的作用力大小θcos )(3'qE mg F F N N +==，而此作用力在水平方向上的分力大小为：θθθθ2sin )(23sin cos )(3sin ''qE mg qE mg F F N Nx +=+==， 由题意，对小车根据平衡条件有：θ2sin )(23'max mg qE F F Nx f +== 再根据数学模型1可知，当045=θ时，地面对小车的静摩擦力最大：)(23max mg qE F f +=，方向水平向右。

棒 沿 逆
下 部 分 的 电阻 为 Ｒ 一 由 欧姆 定 律 可 得 电流 表 示数 ： ０Ｒ，
， ： ＋ Ｌ 、 — ：
Ｒ 一Ｒ —Ｒ 足 Ｒ ＋
时针 方向转动 ，在棒与水平
方 向的 夹 角 由 ４ ５度 变 化 到 ４ ５度
的 过 程 中 ，求 ： 力在 何 时 有最 拉
则 电阻 丝
功 应萼 ＝ 率 ｌ Ｉ Ｏ ＝ Ｏ 。
＾ ｍ
四 、 三角 函数 法 图一
根据 题意列 出一个三角 方程 ，再 由三角 函数的性质 求出最大值 或最小值。
例 ： 图 三 所 示 中 在 水 平 力 Ｆ的 作 用 下 ， 使 均 匀 如
设 Ｂ 接 在 任 一 处 时 ， 电 阻 丝 上 部 电 阻 为 Ｒ，
一
、
不 等式 法
ｒ ＿ 尺 、 Ｒ： ０ １． ｚ 、 ０＋Ｒ １
＋ ２
不 等 式 法 就 是 运 用 题 目中 的条 件 列 出不 等 式 再 进 行计算求极值的方法。 例 ｌ： 教学 楼 的 电能 表 标 有 “２ Ｖ ２ Ａ” 为 了 某 ２ ０ ０ 。
１ ０ ２ Ｒ Ｒ ０ ０
４０ × ｎ ２ Ｖ × １ ， Ｗ ２０ ５Ａ
因 为 Ｒ １Ｑ 时 ， ＝０
． ：ｌ０： 定 值 ， 所 以 当 ｏ
Ｒ
＋ ， 即
解 不 等 式 得 ： — ０ — ５ ８ ５ ｎ ２ Ｖ １Ａ： ２ ２ ｘ
．
＋Ｒ 的 值 最 小 ，Ｐ取 得 最 大 值 ，
例 ： 图 二 所 示 电路 ， 电源 电压 为 １Ｖ，Ｒ ＝ ０ ， 如 ０ ０ １Ｑ
当 变 阻 器 Ｒ 上 的 滑 片 Ｐ滑 动 时 ， 求 滑 动 变 阻 器 消 耗 的最 大功 率 。

高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。

下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。

一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。

极值点处的导数为零或不存在。

1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。

2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。

3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。

二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。

1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。

2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。

3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。

三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。

3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。

四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。

五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。

1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。

2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。

高中物理中的临界问题与极值问题精品讲学案一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

高考物理中求解极值问题数学方法几例摘 要：高考物理中经常需要通过对物理极值问题的探索和求解总结出物理学的基本规律。

本文通过几个物理题目作为例子，介绍求解高考物理中极值问题的数学方法。

关键词：高考物理 极值问题 数学方法正 文：一．引言物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

二．数学知识求解物理极值问题的几个例子 （一）利用求导的方法求极值通过高等数学知识可知，如果当Δx →0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x 0)的导数。

它正是曲线在该点处切线的斜率tan α。

如果f '(x 0) =0, 则在x 0处函数有极值。

例1：如图1所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。

在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。

试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。

当q 运动到中垂线上的D 点时，由图可知θθθsin )cos /(2sin 221L kQqF F ==合 故其加速度为：)sin (sin 2cos sin 23222θθθθ-===m LkQq m L kQq mF a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3sin sin )(-=fθθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则 0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f 33sin =θ：解得，（不合题意有极值,900=θ） 即3923333)(33arcsin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin=θ时，加速度有最大值为：3942mLKQq（二）用图像法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出 现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结 合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提 供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面 重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c, b 4ac 一 b 2若 a>0,则当 x=-时,y 有极小值，为 y min =；b 4ac 一 b 2若 a<0,则当 x=-时,y 有极大值，为 y max =；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0 。

(式中含 y) 若 y ≥A ，则 y min ＝A 。

若 y ≤A ，则 y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数 y=ax 2+bx+c ， 函数解析式经配方可变为 y=(x-A)2+常数： (1) 当 x ＝A 时， 常数为极小值； 或者函数解析式经配方可变为 y = －( x －A)2+常数 。

(2) 当 x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值a +b 均值定理可表述为> ab ，式中 a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

2当 a ＝b 时， (a+b)min ＝2 ab 。

当 a ＝b 时， (a+b) max ＝。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为 “y=Asin a cos a ”的形式，则 y= 1 Asin 2α，在a =45º时， y 有极值 A。

2 2对于复杂的三角函数， 例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin θ和 cos θ， 变成同名的三角函数，比如 sin ( θ+ф) 。