最新中考数学函数专题复习

2015中考数学函数专题复习知识点1、平面直角坐标系与点的坐标一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。

点P（x、y）在x轴上⇔y＝0，x为任意实数，点P（x、y）在y轴上，⇔x＝0，y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点⇔x＝0，y＝0。

知识点2、对称点的坐标的特征点P（x、y）关于x轴的对称点P1的坐标为（x，－y）；关于y轴的对称轴点P2的坐标为（－x，y）；关于原点的对称点P3为（－x，－y）知识点3、距离与点的坐标的关系点P（a，b）到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即｜b｜点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即｜a｜点P（a，b）到原点的距离等于：22ba+知识点4、与函数有关的概念函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。

知识点5、已知函数解析式，判断点P （x ，y ）是否在函数图像上的方法：若点P （x ，y ）的坐标适合函数解析式，则点P在其图象上；若点P 在图象上，则P （x ，y ）的坐标适合函数解析式．知识点6、列函数解析式解决实际问题设x 为自变量，y 为x 的函数，先列出关于x ，y 的二元方程，再用x 的代数式表示y ，最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中有意义。

知识点7、一次函数与正比例函数的定义：例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。

知识点8、一次函数的图象和性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过点（０，b ）和点（－k b，０）的一条直线，k 值决定直线自左向右是上升还是下降，b 值决定直线交于y 轴的正半轴还是负半轴或过原点。

知识点9、两条直线的位置关系设直线 1和 ２的解析式为y ＝k1x ＋b1和y2＝k2x ＋b2则它们的位置关系由系数关系确定k1≠k2⇔ 1与 ２相交，k1＝k2，b1≠b2⇔ 1与 ２平行，k1＝k2，b1＝b2⇔ 1与 ２重合。

知识点10、反比例函数的定义形如：y ＝xk 或y ＝kx －1（k 是常数且k ≠0）叫做反比例函数，也可以写成xy ＝k （k ≠0）形式，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应的函数值y 之积等于已知常数k ， 知识点11、反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时又是直线y ＝x 或y ＝－x 为对称轴的轴对称图形，当k ＞0时，图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当k ＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

知识点12、反比例函数中比例系数k 的几何意义。

过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB 所得矩形的PAOB的面积为|k|。

知识点13、二次函数的定义形如：y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数，它常用的三种基本形式。

一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a ≠0）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（ a ≠0，x 1、x 2是图象与x 轴交点的横坐标）知识点14、二次函数的图象与性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象是以（a b ac a b 44,22--）为顶点，以直线y ＝ab 2-为对称轴的抛物线。

在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞ab 2-时，y 随着x 的增大而增大。

在a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x ＜ab 2-时，y 随着x 的增大而增大。

在对称轴的右侧，即当x ＞ab 2-时，y 随着x 的增大而减小。

当a ＞0，在x ＝ab 2-时，y 有最小值，y 最小值＝a b ac 442-， 当a ＜0，在x ＝ab 2-时， y 有最大值，y 最大值＝a b ac 442-。

知识点15、二次函次图象的平移二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。

知识点16、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的交点。

（1）与y 轴永远有交点（0，c ）（2）在b2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，A （x1，0）、B （x2，0）这两点距离为AB ＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx ＋c ＝0的两个根）。

在b2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴只有一个交点。

在b2－4ac ＜0时，则抛物线与x 轴没有交点。

知识点17、求二次函数的最大值常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（ab ac a b 44,22--）。

（2）将y ＝ax2＋bx ＋c 配方，利用非负数的性质进行数值分析。

两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。

练习题1、已知一次函数与反比例函数的图象交于点(21)P -，和(1)Q m ，．（1）求反比例函数的关系式；（2）求Q 点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当x解：（1）设反比例函数关系式为k y x =，反比例函数图象经过点(21)P --，．2k ∴=-．∴反比例函数关第式2y x=-． （2）点(1)Q m ，在2y x=-上，2m ∴=-．(12)Q ∴-，．（3）示意图．2．已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．（1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-，b c ∴+（2）当3b =时，5c =-，2225(1)6y x x x ∴=+-=+-∴抛物线的顶点坐标是(1--，（3）当3b >时，抛物线对称轴112b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧． 因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，且2BP PA =．(32)B b ∴--，122b -∴-=-．5b ∴=．又2bc +=-，7c ∴=-． ∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-．解法2：（3）当3b >时，112b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，，且2(32)BP PA B b =∴--，，2(3)3(2)2b c b ∴---+=-．又2b c +=-，解得：57b c ==-，∴这条抛物线对应的二次函数关系式是247y x x =+-．解法3：（3）2b c +=-，2c b ∴=--，2(1)2y x b x b ∴=+---分BP x ∥轴，2(1)22x b x b b ∴+---=-即：2(1)20x b x b +-+-=．解得：121(2)x x b =-=--，，即(2)B x b =--由2BP PA =，1(2)21b ∴-+-=⨯．57b c ∴==-，∴这条抛物线对应的二次函数关系式247y x x =+-3.已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达势力的线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A.求使点运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.解：（1）抛物线的解析式为3518532+-=x x y ；（2）线段OA 的三等分点为D （0，1）或（0，2）；（3）直线DC 的解析式为151+-=x y 或252+-=x y ；（3）点M （0，23）关于x 轴对称的点M ’（0，23-），点A （0，3）关于抛物线的对称轴x ＝3对称的点为A ’（6，3），连结M ’A ’，则M ’A ’ ＝215.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M ’A ’的长就是所求点P 运动的基本最短总路径的长.直线M ’A ’的解析式为2343-=x y ，点x 轴交于点E （2，0），与抛物线的对称轴交于点F （3，43）.4.一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．解：（1）令0y =，得3x =，∴点A 的坐标是(30)，……令0x =，得3y =-，∴点B 的坐标是(03)-，…（2）二次函数2y x bx c =++的图象经过点A B ，， 0933b c c=++⎧∴⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩． ∴二次函数2y x bx c =++的解析式是223y x x =-- 2223(1)4y x x x =--=--，∴函数223y x x =--的最小值为4-．x5.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。

请你结合这个新1x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范的图像回答：当直线y=2围.解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．……1分∵k为正整数，∴k＝1，2，3．……2分(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；……3分当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；……4分当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根． (5)分综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．……6分(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．当直线b x y +=21经过A 点时，可得23=b ；… …7分 当直线b x y +=21经过B 点时，可得21-=b ．… …8分 由图象可知，符合题意的b(b ＜3)的取值范围为2321<<-b ． 6．（本题14分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．!) y=-0.5x 2+2.5x-2(2) 假设存在点P, 设P （x,20.5 2.52x x -+-）则 PM=∣20.5 2.52x x -+-∣, AM=∣4-x ∣ ∴当AM AO PM OC =或AM OC PM AO =时， ∽ ∴2420.5 2.52xx x -=-+-或240.5 2.52xx x --+-解得 12x = ，15x =，13x =-P 1(2,1), P 2(5,-2) , P 3(-3,-14)（3） （2，1）7.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上.（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由.(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，∴ 4=3+m. ∴ m=1. 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴ 4=a(3-1)2,∴ a=1.∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2-2x+1.(2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E=(x+1)-(x 2-2x+1) =-x 2+3x. 即h=-x 2+3x (0＜x ＜3).(3) 存在.解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC.∵ 点D 在直线y=x+1上,∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形.解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE.设直线CE 的函数关系式为y=x+b.∵ 直线CE 经过点C(1,0),∴ 0=1+b,∴ b=-1 .∴ 直线CE 的函数关系式为y=x-1 .∴ ⎩⎨⎧+-=-=1212x x y x y 得x 2-3x+2=0.解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去)∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形.8. 某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．•这些农作物在第10•天、•第30•天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出当x ≤40和x ≥40时y 与x 之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，•那么应从第几天开始进行人工灌溉？解：（1）当x ≤40时，设y ＝kx ＋b ．根据题意，得20001050300030,1500.k b k k b b =+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解这个方程组,得， ∴当x •≤40时，y 与x 之间的关系式是y ＝50x ＋1500，∴当x ＝40时，y ＝50×40＋1500＝3500，当x ≥40•时，根据题意得，y ＝100（x －40）＋3500，即y ＝100x －500． ∴当x ≥40时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500．（2）当y ≥4000时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500，解不等式100x －500≥4000，得x ≥45，∴应从第45天开始进行人工灌溉．9. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x图象交于A （－2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．解析：（1）求反比例函数解析式需要求出m 的值．把A （－2，1）代入y ＝mx 中便可求出m ＝－2．把B （1，n ）代入y ＝2x-中得n ＝－2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x 的取值范围．解：（1）y ＝－2x，y ＝－x －1 （2）x ＜－2或0＜x ＜110. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？解：（1）设此一次函数表达式为y ＝kx ＋b ．则⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k ，解得k ＝－1，b ＝40，•即一次函数表达式为y ＝－x ＋40．（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元w ＝（x －10）（40－x ）＝－x 2＋50x －400＝－（x －25）2＋225．产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 点评：解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．11. 已知点A （0，－6），B （－3，0），C （m ，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．解：设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则130,6,k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得k 1＝－2，b ＝－6．•所以直线AB 的解析式为y ＝－2x －6．∵点C （m ，2）在直线y ＝－2x －6上，∴－2m －6＝2，∴m ＝－4，即点C 的坐标为C （－4，2），由于A （0，6），B （－3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C （－4，2），设经过点C 的反比例函数的解析式为y ＝2k x．则2＝24k -， ∴k 2＝－8．即经过点C •的反比例函数的解析式为y ＝－8x ．12. 某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：•该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，•你有何感想（不超过30字）？解：（1）设y ＝kx ＋b ，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320，∴400480,:3205720k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解之得 ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－80x ＋720．（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y ＝380时，380＝－80x ＋720，得x ＝4.25．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25＋780＝2395（元），显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W ＝xy ＝x （－80x ＋720）＝－80（x －92）2＋•1620．∴当x ＝92时，W 最大值＝1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥W最大值＋780，•即50a•≥1620＋780．解之得，a≥48．所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．13 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；•它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）解：（1）设y1＝mx＋n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），∴0 5.150 2.1nm n+=⎧⎨+=⎩解得：m＝－350，n＝5.1，∴y1＝－350x＋5.1（0≤x≤50）．（2）又由题目已知条件可设y2＝a（x－25）2＋2．因其图象过点（15，3），∴3＝a（15－25）2＋2，∴a＝1100，∴y2＝1100x2－12x＋334（或y＝1100（x－25）2＋2）（0≤x≤50）（3）设第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1－y2＝－1100（x2－44x＋315）（0≤x≤55）．依题意：y1－y2＝0，即x2－44x＋315＝0，∴（x－9）（x－35）＝0，解得：x1＝9，x2＝35．所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱。