空间向量与立体几何
一、知识网络：
二．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②
,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③
题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是
（ ）
()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()
C 1122a b c --+ ()
D c b a +-2121 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a
+++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b
,求y x ,的值.
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.
2、
在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1
相等的向量是
( )。A ．-2
1a ＋2
1b ＋c B ．2
1a ＋2
1b ＋c C ．2
1a -2
1b ＋c D ．-2
1a -2
1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。
第二课时 空间向量的坐标运算
（一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标
例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）
A. a ：|a |=b ：|b |
B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3
C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
D.存在非零实数k ，使a =k b
（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ）
A. －3或1
B.3或－1
C. －3
D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）
A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)
B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)
C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)
D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)
例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.
题型2：数量积
例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____. （2）设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于4π
。(1)
求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。
题型3：空间向量的应用
例4、（1）已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43。
（2）已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功。
（三）、强化巩固训练
1、(07天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2
－4|b |2
中，是真命题的有（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
2、已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．
第三课时 空间向量及其运算强化训练
（一）、基础自测 1.有4个命题：
①若p =x a +y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p =x a +y b ；
③若MP =x MA +y MB ，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若|a |=|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C.若向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，则AB ＞CD
D.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0，则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ，则（ ）。 A.x=1,y=1
B.x=2
1
，y=-2
1
C.x=6
1
，y=-2
3
D.x=-6
1，y=23
OP 上运动，当QA ·QB 4.已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线中，OA =a ,OB =b , 取最小值时，点Q 的坐标是 . 5.在四面体O-ABC
OC =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则OE = (用a ,b ,c
表示).
（二）、典例探析
