07 立体与立体相交-相贯线

第7章 立体与立体相交Chapter 7 Intersection of Solids复杂零件往往是由两个或两个以上的立体组成，两立体表面的交线，称为相贯线。

因为立体分为平面立体和曲面立体，所以相贯线又有三种情况：1．平面立体与平面立体相交，如图7-1（a ）所示；2．平面立体与回转体相交，如图7-1（b ）所示；3．回转体与回转体相交，如图7-1（c ）所示。

（a ） （b ） （c ）图7-1 常见立体相贯类型本章主要通过实例介绍两平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、两曲面立体相交及求相贯线的方法。

相贯线的性质：1．相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线也就是两立体表面的共有线，具有共有性；2．由于立体有一定的范围，所以相贯线一般是闭合的空间图形，具有封闭性。

既然相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线是两立体表面的共有线，即相贯线上的每一点，既在甲形体的表面上，也在乙形体的表面上。

求相贯线的一般步骤为：（1）根据两相交立体的表面形状不同（平面或曲面），分析相贯线的性质。

平面体与平面体或曲面体相交时的表面交线，组成相贯线的各截交线段都是平面曲线或直线；两曲面立体相交时的相贯线一般是闭合的空间曲线。

（2）选定合适的方法求相贯线上的特殊点和中间点。

（3）根据相贯线的性质依次连线。

（4）判断相贯线的可见性，并补全立体的投影。

本章主要学习任务：1．掌握立体表面相交时交线的作图方法。

2．灵活运用辅助平面法求相贯线。

3．熟练掌握相贯线特殊情况的画法。

117§7-1平面体与平面体表面相交［Intersections of Plane Solids］两平面立体的相贯线一般是空间闭合折线，相贯线上的每一线段是两平面体相应面的交线，而折点则是一个立体的棱线对另一立体的贯穿点。

求作两平面立体的相贯线，通常采用下面两种方法：（1）折点法 即求出甲立体上参与相交的各棱与乙立体表面的交点（即相贯线上的折点），再求出乙立体上参与相交的各棱与甲立体表面的交点，然后顺序地连接各交点，即可得到相贯线。

相贯线是立体相交 的公共线投影在平 面上形成交点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线与截面法的联系
相贯线是立体几何中的重要概念表示两个立体相交时产生的公共线。 截面法是研究立体几何的重要方法通过截面可以直观地看到立体的形状和结构。 相贯线与截面法密切相关截面法可以帮助我们更好地理解和分析相贯线。 相贯线与截面法的结合可以更好地解决立体几何中的问题如立体的体积、表面积等。
立体相贯线的应用实例
第四章
圆柱与圆柱的相贯线
相贯线：两个圆柱体相交时其公共 部分的边界线
相贯线的性质：相贯线是圆柱体的 公共边界线也是圆柱体的截面线
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应用实例：两个圆柱体相贯时相贯 线是它们的公共边界线
相贯线的计算：通过计算两个圆柱 体的半径和角度可以计算出相贯线 的长度和位置
投影法需要掌握立体投影的基 本原理和技巧
截面法
截面法原理：通过截面将立体 相贯线转化为平面问题
截面选择：选择合适的截面如 垂直于相贯线的平面
截面求解：在截面上求解相贯 线的投影得到相贯线的方程
相贯线求解：根据截面求解的 结果求解立体相贯线的方程
辅助面法
辅助面法的定义： 通过添加辅助平 面使立体相贯线 在辅助平面上投 影从而求解立体 相贯线
平面相贯线：两个 平面相交形成的相 贯线
曲面相贯线：两个 曲面相交形成的相 贯线
空间相贯线：两个 空间相交形成的相 贯线
组合相贯线：多个 立体相交形成的相 贯线

第5章 立体与立体相交——相贯线
一）两圆柱相交
相交两回转体的相互位置不同可分为正交、偏交、斜交。 例1：如图示，求两圆柱正交的相贯线。 作图：求特殊点：a'、b' 就是两圆柱表面共有点的 a' b' a" b 1" (2 ") 分析：两圆柱体轴线垂直相 " 正面投影，也是相贯线的 • • • •• 交，其轴线分别为铅垂线和 • 最高点、最左点、最右点。 • c" d"• • 2' 侧垂线，因此小圆柱的水平 1' c' (d') 从侧面投影轮廓线的交点
a'
a" 4" • •3" •c" d" • 2" • • •1"
b" •
b'
2 d • •• 4 b• •a
• ••3 1c
连相贯线，判别可见性。
第5章 立体与立体相交——相贯线
完成后的相贯线三视图
第5章 立体与立体相交——相贯线
例2：求作圆台与部分球面相交的相贯线
第5章 立体与立体相交——相贯线
注意：
辅助球的大小不能超出相贯线的范围。
第5章 立体与立体相交——相贯线
例题：求作圆柱与圆锥的相贯线。
第5章 立体与立体相交——相贯线
分析： 1、特殊点：
用辅助正平面可求得最高点1点； 最低点2点。 2、一般点：用辅助球面法求。 1）求与圆锥轴线离得最近的点3、4 两点（辅助球与圆锥相切）。
2）求5678四个一般点。 求910两一般点 3、连线并做相贯线的水平投影。 正投影面中依次连接点得到相贯线的 正面投影。
相贯线为两个相同 的椭圆，椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。

6 56 5 b 45
2
[例]已知同坡屋顶的四周屋檐的H面投影和V面投影，以及屋面 的倾角α,完成同坡屋顶的H面投影和屋檐呈水平线的V面投影。
分析：屋顶的V面投影作法：
由水平方向的屋檐的H 面投影， 再作屋面及交线的V面投影。 作图时，首先从垂直于V面的 屋面着手，因为它们的积聚投 影能反映屋面的倾角α；再画 出与相邻的屋面上的边线即交 1 线的V面投影。于是以同样的 方法依次作出所有交线的V面 投影，即得每个屋面的V面投 影，于是完成整个同坡屋面的 V面投影。
二、同坡屋顶
同坡屋顶：对水平面的倾角相同，且房屋四周的屋檐高度 相同的屋面所构成的屋顶，称为同坡屋顶。
已知同坡屋顶的屋檐的H面投影和屋面的倾角， 求作屋面 的交线来完成同坡屋顶的投影图，可视为特殊形式的平面立体 相贯。
1、屋面交线的投影特性
2、求同坡屋面交线的步骤
1、屋面交线的投影特性
（1）屋檐平行的两屋面必交成水平的屋脊，称为平脊。它的H面 投影，必平行于屋檐的H面投影，且与两屋檐的H投影等距。 分析： 由两屋面屋檐的V面投影可知P、Q 为同坡屋顶，两屋面交成的为平 脊为B。显然，B∥C∥D △b’b1’c’ ≌△b’b1’d’
G
B R J g b Q
P、Q两屋面的交线AB；
则B点必为P、Q、R三面的共点， R、Q两屋面的交线BJ应通过B点.
A
a
j
H
2、求同坡屋面交线的步骤
先根据屋面的H面投影，按交线的投影特性，求出交线的H 面投影，即完成同坡屋顶的H面投影。再根据屋檐的V面投影高 度、屋面的倾角，由屋顶的H面投影，完成屋顶的V 面投影。
c’ p’ α l b1’ b’ q’ α l d’
c p