高考数学一轮复习 探究课1 文

高考数学统考一轮复习新人教版：第一节集合【知识重温】一、必记3个知识点1．元素与集合(1)集合中元素的特性：________、________、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作________，若b不属于A，记作________.(3)集合的表示方法：________、________、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________2.集合间的基本关系(1)集合相等：若集合A与集合B中的所有元素________，则称A与B相等．(2)子集：若集合A中________________________均为集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A，________是任何集合的子集．(3)真子集：若集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中⑮________________不是集合A中的元素，则称A是B的真子集，记作A B或B A.(4)空集是任何集合的子集，是任何________集合的真子集．(5)含有n个元素的集合的子集个数为________，真子集个数为________，非空真子集个数为________.3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|______}{x|______}{x|________}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合元素的互异性，否则很可能会因为不满足互异性而导致解题错误．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( )(3)方程x －2 018＋(y ＋2 019)2＝0的解集为{2 018，－2 019}．( )二、教材改编2．集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |2≤x <4}B ．{x |3≤x <4}C ．{x |2<x <4}D ．{x |3<x <4}3．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝________.三、易错易混4．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}5．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －3，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋13，x ∈R }，则A ∩B ＝________.四、走进高考6．[2020·山东卷]设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点一 集合[自主练透型]1．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0 D ．0或983．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2}，则集合A ∩B 的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8悟·技法解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[提醒] 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.考点二 集合间的基本关系[互动讲练型][例1] (1)[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]已知集合M ＝{x |x 2－5x －6≤0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫16x ，x ≥－1，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ⊆(∁R N )(2)[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知集合A 满足{0,1}⊆A {0,1,2,3}，则集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)判断两集合关系的3种常用方法(2)根据两集合的关系求参数的方法[提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·广州市高三学情调研]已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．22．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是() A．a≥2 B．a>2 C．a<0 D．a≤0考点三集合间的基本运算[分层深化型][例2](1)[2020·全国卷Ⅱ]已知集合U＝{－2，－1,0,1，2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A. {－2,3}B. {－2,2,3}C. {－2，－1,0,3}D. {－2，－1,0,2,3}(2)[2021·合肥市高三调研性检测]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，则A∩B＝()A．{x|x>1或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|x>2} D．{x|x>1}悟·技法[同类练]——(着眼于触类旁通)3．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x<1}，则有()B ．A ∩B ＝{x |－1<x <1}C ．A ∪B ＝{x |－1<x <1}D ．A ∪B ＝{x |－1<x <2}4．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{3}D ．{1}[变式练]——(着眼于举一反三)5．[2021·武汉部分学校质量检测]已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |x ≤－1或x ≥2}6．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －3x －1≥0，N ＝{}x | y ＝2－x ，则(∁R M )∩N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3][拓展练]——(着眼于迁移应用)7．[2021·山西省六校高三阶段性测试]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－4<0，x ∈Z }，集合B ＝{x |x 2－2x －3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{0,1,3}B ．{－2,0,1,2,3}C ．{0，－1，－3}D ．{－1,0,1,3}8．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，B ＝{x |x 2≥9}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．[2,3)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞)第一节 集合 【知识重温】①确定性 ②互异性 ③a ∈A ④b ∉A ⑤列举法 ⑥描述法 ⑦N ⑧N *(或N ＋) ⑨Z ⑩Q ⑪R ⑫都相同 ⑬每一个元素 ⑭空集 ⑮至少有一个元素 ⑯非空 ⑰2n ⑱2n －1 ⑲2n －2 ⑳x ∈A 或x ∈B ○21x ∈A 且x ∈B ○22x ∈U 且x ∉A 【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)×2．解析：∵A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |x ≥3}，答案：B3．解析：A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}．答案：{x |x ≤2或x ≥10}4．解析：∵B ⊆A ，当B ≠∅，即a ≠0时，B ＝{x |x ＝－1a}， ∴－1a∈A ，即a ＝±1； 当B ＝∅，即a ＝0时，满足条件，综上可知实数a 所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D.答案：D5．解析：A ＝{y |y ＝(x －1)2－4，x ∈R }＝{y |y ≥－4}．B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋14，x ∈R }＝{y |y ≤14}．∴A ∩B ＝{y |－4≤y ≤14}．答案：{y |－4≤y ≤14}6．解析：A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝{x |1≤x <4}，选C.答案：C课堂考点突破考点一1．解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.答案：C2．解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98.所以a 的值为0或98.故选D 项． 答案：D3．解析：解法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4y ＝－x 2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝3y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－1，则集合A ∩B ＝{(0,2)，(3，－1)，(－3，－1)}，有3个元素，其真子集的个数为23－1＝7，故选C.解法二 分别作出圆x 2＋y 2＝4与抛物线y ＝－x 2＋2，如图．由图可知集合A ∩B 中有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7，故选C.答案：C考点二 例1 解析：(1)由x 2－5x －6≤0得－1≤x ≤6，即M ＝[－1,6]；由y ＝⎝⎛⎭⎫16x ，x ≥－1得0<y ≤6，即N ＝(0,6]，所以N ⊆M ，故选B.(2)由题意可知A 可能为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}，则满足条件的集合A 的个数为3，故选C. 答案：(1)B (2)C变式练1．解析：由x 2＋ax ＝0，得x (x ＋a )＝0，所以x ＝0或x ＝－a .所以由已知条件可得－a ＝1，所以a ＝－1.答案：A2．解析：∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2.答案：A考点三例2 解析：(1)∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2}，又∵集合U ＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{－2,3}，故选A.(2)通解 因为A ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |x >2}，故选C.优解 因为32∉A ，所以32∉(A ∩B )，故排除A ，B ，D ，选C. 答案：(1)A (2)C同类练3．解析：由题意可得A ＝{x |－1<x <2}，故A ∩B ＝{x |－1<x <1}，选B.答案：B4．解析：B ＝{x |0<x <2}，A ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝{1}，故选D.答案：D变式练5．解析：通解 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}＝{x |－1<x <2}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，选D.优解 显然0∈A ，所以0∉∁R A ，排除A ，B ；又2∉A ，所以2∈∁R A ，排除C.选D. 答案：D6．解析：因为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x <1或x ≥3}，所以∁R M ＝{x |1≤x <3}．又N ＝{x |y ＝2－x }＝{x |x ≤2}，所以(∁R M )∩N ＝[1,2]，故选B.答案：B拓展练7．解析：由题意知A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,3}，则A ∩B ＝{－1}，A ∪B ＝{－1,0,1,3}，于是阴影部分表示的集合为{0,1,3}，故选A.答案：A8．解析：A ＝{x |y ＝log 2(x －2)}＝(2，＋∞)，∵B ＝{x |x 2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B ＝(－3,3)，则A ∩(∁R B )＝(2,3)，故选B.答案：B。

第4节 变量间的相关关系与统计案例考试要求 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^__，则b ^＝, a ^=y －-b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y 轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心(x －,y －). 3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.（2）样本点的中心:对于一组具有线性相关关系的数据（x 1, y 1）(x 2, y 2),…，（x n, y n ）, 其中(x －,y －)称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R 2＝.其中是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 4.独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c dc ＋d总计a ＋cb ＋d a ＋b ＋c ＋d则随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本点的中心(x －，y －).2.根据回归方程计算的y ^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.3.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( )(2)通过回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计预报变量的取值和变化趋势.( ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( ) (4)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.(易错题)(2022·兰州模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，n ∈N *，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A.－1 B.0C.12D.1答案 D解析 由题设知，所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，可知这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.3.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R 2为0.98 B.模型2的相关指数R 2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，拟合效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.4.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋b e xD.y＝a＋b ln x答案 D解析由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D. 5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.答案 5%解析 K 2的观测值k ≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.6.(2022·银川模拟)某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (min)62a758189若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则a 的值为________. 答案 68解析 x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋a ＋75＋81＋895＝61＋2＋a 5，所以61＋2＋a5＝0.67×30＋54.9， 解得a ＝68.考点一 相关关系的判断1.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是( ) A.利润率与人均销售额成正相关关系 B.利润率与人均销售额成负相关关系 C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系 答案 A解析 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C 和D ；其属于正相关关系，A 正确，B 错误.2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.r 2<r 4<0<r 3<r 1B.r 4<r 2<0<r 1<r 3C.r 4<r 2<0<r 3<r 1D.r 2<r 4<0<r 1<r 3 答案 A解析 由散点图知图①与图③是正相关，故r 1>0，r 3>0， 图②与图④是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图①与图②的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1，故选A. 3.(2022·合肥模拟)根据如下样本数据，得到回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，则( )x 3 4 5 6 7 8 y－3.0 －2.00.5－0.52.54.0A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0答案 C解析 作出散点图(图略)，由散点图可知，a ^<0，b ^>0. 感悟提升 判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r |越趋近于1，相关性越强. 考点二 回归分析 角度1 线性回归方程及应用例1 (2021·成都诊断)某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x (单位：年)与失效费y (单位：万元)的统计数据如下表所示：使用年限x (单位：年) 1234567失效费y (单位：万元)2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.90(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(精确到0.01)(2)求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2.线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距最小二乘估计计算公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑7i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝14.00， ∑7i ＝1(y i －y －)2＝7.08，198.24≈14.10.解 (1)由题意，知x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y －＝2.90＋3.30＋3.60＋4.40＋4.80＋5.20＋5.907＝4.30，∑7i ＝1(x i －x －)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， ∴r ＝14.0028×7.08＝14.00198.24≈14.0014.10≈0.99.因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)∵b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1 （x i －x －）2＝1428＝0.5， ∴a ^＝y －－b ^x －＝4.3－0.5×4＝2.3.∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋2.3.将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.5×10＋2.3＝7.3， ∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元. 角度2 非线性回归方程及应用例2 (2022·郑州调研)人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB(1 TB ＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB ＝1 024 TB)，EB(1 EB ＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB ＝1 024 EB)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB ，2009年数据量为0.8 ZB ，2010年增长到1.2 ZB ，2011年数据量更是高达1.82 ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：表中z i ＝ln y i ，z －＝16∑6i ＝1z i . (1)根据上表数据信息判断，方程y ＝c 1·e c 2x (e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(c 2精确到0.01)；(2)有人预计2022年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据(1)中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由. 参数数据：e4.56≈95.58，e4.58≈97.51，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑n i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx －2， a ^＝y －－b ^x －.解 (1)由y ＝c 1·e c 2x 得ln y ＝c 2x ＋ln c 1， 即z ＝c 2x ＋ln c 1，∴c 2＝∑6i ＝1（x i －x －）（z i －z －）∑6i ＝1（x i －x －）2＝6.7317.5≈0.38.又∵z －＝c 2x －＋ln c 1，0.38×3.5＋ln c 1＝2.85，ln c 1＝1.52. ∴ln y ＝0.38x ＋1.52，即y ＝e 0.38x ＋1.52为所求的回归方程. (2)根据(1)知回归方程为y ＝e 0.38x ＋1.52.当x ＝9时，y ＝e 0.38×9＋1.52＝e 4.94>e 4.56≈95.58，95.581.82≈52.52.据此可以判断2022年全球产生的数据量超过2011年的50倍，因此，这种判断是准确的.感悟提升 回归分析问题的类型及解题方法 (1)求回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关. ②利用公式，求出回归系数b ^.③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a ^.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.训练1 下面给出了根据我国2015～2021年水果人均占有量y (单位：kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图.(2015年～2021年的年份代码x 分别为1～7)(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得∑7i ＝1y i ＝1 074，∑7i ＝1x i y i ＝4 517，求y 关于x 的线性回归方程；(精确到0.01)(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果. 附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2， a ^＝y －－b ^x －.解 (1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当x 由小变大时，y 也由小变大，所以y 与x 之间具有线性相关关系，且是正相关. (2)由题意可知，x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y －＝17∑7i ＝1y i＝1 0747， ∑7i ＝1x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140， ∴b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x － y －∑7i ＝1x 2i －7x －2＝4 517－7×4×1 0747140－7×42＝22128≈7.89，∴a ^＝y －－b ^x －＝1 0747－7.89×4≈121.87，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝7.89x ＋121.87.(3)由残差图可以看出历年数据的残差均分布在－2～2之间，且图中各点比较均匀地分布在数值0所在直线附近，带状区域很窄，说明对应的回归直线拟合效果较好.考点三 独立性检验例3 (2021·武汉质检)有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展，行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯，该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1 000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到统计图如图所示.(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄； (2)根据所给的数据，完成列联表：是否佩戴头盔是否(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解 (1)该市电动自行车骑乘人员平均年龄为25×0.25＋35×0.35＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.05＝39(周岁). (2)完成2×2列联表如下：(3)K 2的观测值k ＝1 000×（60×540－60×340）2600×400×880×120＝12522≈5.682<6.635.故没有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关.感悟提升 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0. |ad －bc |越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad －bc |越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）计算K2的观测值k；(3)通过比较观测值k与临界值的大小关系来作统计推断.训练2 (2022·南宁模拟)第五代移动通信技术(5G技术)是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并根据得分划分成“不太了解”或“比较了解”两类后整理得到如下列联表：(1)补全列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对5G的了解程度与性别有关”；(2)从“不太了解”的学生中按性别分层抽取6人，再从这6人中随机选取2人参加“5G”知识讲座，求抽到的2人中恰有1名女生的概率.附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n＝a＋b＋c＋d). 临界值表：解(1)补全的列联表如下：不太了解 比较了解 总计 男生 25 33 58 女生 5 37 42 总计3070100所以K 2的观测值k ＝100×（25×37－33×5）258×42×30×70≈11.291>10.828，故有99.9%的把握认为“学生对5G 的了解程度与性别有关”. (2)“不太了解”的男生有25人，女生有5人，按性别分层抽样从中抽取6人，则男生应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，女生应抽取1人，记为x ，再从这6人中随机抽取2人共有15种情况：xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，抽到恰有1名女生有5种情况：xa ，xb ，xc ，xd ，xe ， 所以所求的概率为515＝13.1.为调查中学生近视情况，测得某校在150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( ) A.回归分析 B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率答案 C解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断. 2.对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v ，有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 答案 C解析 由题图(1)可知，y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关，由题图(2)可知，u 随v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与v 正相关. 3.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越接近于1，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案 D4.(2022·昆明诊断)下表是关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)的统计表：x 2 3 4 5 6 y3.44.25.15.56.8由表可得线性回归方程y ^＝0.81x ＋a ^，若规定：维修费用y 不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( ) A.7B.8C.9D.10答案 D解析 由已知表格，得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4， y －＝15×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因为回归直线恒过样本点的中心(x －，y －)， 所以5＝0.81×4＋a ^，解得a ^＝1.76， 所以回归直线的方程为y ^＝0.81x ＋1.76，由y ≤10，得0.81x ＋1.76≤10，解得x ≤82481≈10.17，由于x ∈N *，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值为10.故选D. 5.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：附表：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参照附表，得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别无关C.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关D.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关 答案 A解析 ∵K 2的观测值k ＝55×（20×20－5×10）225×30×30×25≈11.978＞10.828，所以有99.9%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关. 6.下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线：y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2的观测值k ＝6.665，则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中P (K 2≥6.635)＝0.010)， 其中错误的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，残差越小，拟合效果越好，∴①正确；对于②，回归方程y ^＝3－5x 中，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，∴②错误；对于③，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)，∴③正确； 对于④，在2×2列联表中，由计算得k ＝6.665，对照临界值得，有99%的把握确认这两个变量间有关系，∴④正确. 综上，其中错误的命题是②，共1个，故选B.7.已知x 和y 的散点图如图所示，在相关关系中，若用y ＝c 1e c 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21，R 22中较大的是________.答案 R 21解析 由散点图知，用y ＝c 1e c 2x 拟合的效果比y ^＝b ^x ＋a ^拟合的效果要好，所以R 21>R 22，故较大者为R 21.8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2的观测值k ≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________. ①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%. 答案 ①解析 k ≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆.9.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是________(填序号).①人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%； ②人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%；③人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%； ④人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%. 答案 ②解析 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.10.(2022·河南名校联考)某学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x (单位：百人)与食堂向食材公司购买所需食材(原材料)的数量y (单位：袋)，得到如下统计表：(1)根据所给的5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)已知购买食材的费用C (单位：元)与数量y (单位：袋)的关系为C ＝⎩⎨⎧400y －20，0<y <36（y ∈N ），380y ，y ≥36（y ∈N ），投入使用的每袋食材相应的销售单价为700元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1 500人到食堂餐厅就餐，根据(1)中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L ＝销售收入－原材料费用)参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝1 343，∑5i ＝1x 2i ＝558，∑5i ＝1y 2i＝3 237. 解 (1)由所给数据可得x －＝13＋9＋8＋10＋125＝10.4，y －＝32＋23＋18＋24＋285＝25，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝1 343－5×10.4×25558－5×10.42＝2.5，又a ^＝y －－b ^x －＝25－2.5×10.4＝－1， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2.5x －1. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x ＝15时，y ＝36.5，即预计需要购买食材36.5袋. 因为C ＝⎩⎪⎨⎪⎧400y －20，0<y <36（y ∈N ），380y ，y ≥36（y ∈N ），所以当y <36时，利润L ＝700y －(400y －20)＝300y ＋20，y ∈N ， 此时当y ＝35时，利润L max ＝300×35＋20＝10 520(元)；当y ≥36时，根据线性回归方程预测需要购买食材36.5袋，并且剩余的食材只能无偿退还，此时当y ＝36时，利润L ＝700×36－380×36＝11 520(元)， 当y ＝37时，利润L ＝700×36.5－380×37＝11 490(元).综上，食堂应购买36袋食材，才能获得最大利润，最大利润为11 520元. 11.(2022·“四省八校”开学考试)据我国一项专题调查显示，某市高级职称的中年知识分子中竟有高达75.3%的人处于亚健康状态，更令人担忧的是85%以上的企业管理者处于慢性疲劳状态或亚健康状态，这是由他们所处的特殊工作及生活的环境和行为模式所决定的.亚健康是指非病非健康的一种临界状态.如果这种状态不能及时得到纠正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司为了了解亚健康与性别的关系，对本公司部分员工进行了不记名问卷调查，该公司处于正常工作状态的员工(包括管理人员)共有8 000人，其中男性员工有6 000人，女性员工有2 000人，从8 000人中用分层抽样的方法随机抽取了400人作为样本进行健康状况的调查.(1)求男性员工、女性员工各抽取多少人？(2)通过调查得到如图所示的统计图，其中a＝0.2，b＝0.1.根据统计图，完成下面2×2列联表，健康亚健康总计男员工女员工总计400问是否有97.5%的把握认为人处于亚健康状态与性别有关？参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：P(K≥k0)0.050.0250.0100.005k0 3.841 5.024 6.6357.879解(1)由题意知样本容量与总体的比值为4008 000＝120，∴男性员工抽取了6 000×120＝300(人)，女性员工抽取了2 000×120＝100(人).(2)由统计图可知，样本中男员工处于亚健康状态的人数为300×0.2＝60，样本中女员工处于亚健康状态的人数为100×0.1＝10，2×2列联表为健康 亚健康 总计 男员工 240 60 300 女员工 90 10 100 总计33070400则K 2的观测值k ＝400×（240×10－60×90）2300×100×330×70≈5.195>5.024，∴有97.5%的把握认为人处于亚健康状态与性别有关.12.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的为________(填序号). 答案 ①解析 由散点图知，各点大致分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.13.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－12附近波动.经计算∑6i ＝1x i ＝12，∑6i ＝1y i ＝14，∑6i ＝1x 2i ＝23，则实数b 的值为________. 答案 1723解析 令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －12， 此时t －＝∑6i ＝1x 2i 6＝236，y －＝∑6i ＝1yi 6＝73，代入y ＝bt －12，得73＝b ×236－12，解得b ＝1723.14.近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：(1)求y 关于x 的线性回归方程(计算结果保留两位小数)；(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)依题意得，x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝8＋10＋13＋25＋245＝16，故∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47， ∑5i ＝1(x i －x －)2＝4＋1＋1＋4＝10，则b ^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1 （x i －x －）2＝4710＝4.7，a ^＝y －－b ^x －＝16－4.7×3＝1.9.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4.7x ＋1.9. (2)依题意，女性不愿意参与管理的人数为50， 计算得K 2的观测值为k ＝300×（150×50－50×50）2200×100×200×100＝300×5 000×5 000200×100×200×100＝18.75>10.828， 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.。

专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。

§1．1 集合的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1．集合的含义与表示了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,1;2017课标全国Ⅲ,1;2016某某,1选择题★★☆2．集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义Ⅱ2013某某,3 选择题★★☆3．集合间的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算Ⅱ2017课标全国Ⅱ,1;2017,1;2016课标全国Ⅰ,1;2016课标全国Ⅱ,1;2016课标全国Ⅲ,1选择题★★★分析解读1．掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系．2．深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念．熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质．能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．3．本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法．4．本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题．命题探究五年高考考点一集合的含义与表示1．(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B2．(2016某某,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=（）A．{1,3} B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}答案A3．(2015课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案DA．⌀B．{2} C．{0} D．{-2}答案B5．(2013某某,2,5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=（）A．4 B．2C．0 D．0或4答案A教师用书专用(6—8)6．(2015某某,10,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A ⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30答案C7．(2014某某,1,5分)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=（）A．{-1,0} B．{0,1}C．{-2,-1,0,1} D．{-1,0,1,2}答案D8．(2013课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=（）A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}答案A考点二集合间的基本关系(2013某某,3,5分)若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16答案C考点三集合间的基本运算1．(2017课标全国Ⅱ,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=（）A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4}答案A2．(2017,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=（）A．(-2,2) B．(-∞,-2)∪(2,+∞)C．[-2,2] D．(-∞,-2]∪[2,+∞)答案CA．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}答案B4．(2017某某,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=（）A．(-1,1) B．(-1,2) C．(0,2) D．(1,2)答案C5．(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=（）A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}答案B6．(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=（）A．{-2,-1,0,1,2,3} B．{-2,-1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}答案D7．(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=（）A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}答案C8．(2016,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=（）A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5}C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5}答案C9．(2016某某,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=（）A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案A10．(2016某某,2,5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3答案B11．(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=（）A．(-1,3) B．(-1,0) C．(0,2) D．(2,3)答案A12．(2015某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=（）13．(2015某某,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)·(x-3)<0},则A∩B=（）A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)答案C14．(2014某某,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}答案D15．(2013课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=（）A．{-2,-1,0,1} B．{-3,-2,-1,0}C．{-2,-1,0} D．{-3,-2,-1}答案C16．(2017某某,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为____．答案1教师用书专用(17—40)17．(2016某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=（）A．{1} B．{3,5}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}答案C18．(2015,1,5分)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=（）A．{x|-3<x<2} B．{x|-5<x<2}C．{x|-3<x<3} D．{x|-5<x<3}答案A19．(2015某某,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=（）A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(-∞,1]答案A20．(2015某某,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=（）A．[3,4) B．(2,3] C．(-1,2) D．(-1,3]答案A21．(2015某某,2,5分)若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于（）22．(2014某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=（）A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案C23．(2014某某,1,5分)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于（）A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}答案A24．(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=（）A．(-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3)答案B25．(2014某某,2,5分)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（）A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)答案C26．(2014某某,1,5分)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=（）A．(-∞,5]B．[2,+∞)C．(2,5) D．[2,5]答案D27．(2014大纲全国,1,5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案B28．(2014某某,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=（）A．[0,1] B．(0,1)C．(0,1] D．[0,1)答案D29．(2013,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=（）A．{0} B．{-1,0} C．{0,1} D．{-1,0,1}答案B30．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（）A．[-4,+∞)B．(-2,+∞)31．(2013某某,2,5分)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B=（）A．{-2,-1} B．{-2} C．{-1,0,1} D．{0,1}答案A32．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=（）A．{0} B．{0,2} C．{-2,0} D．{-2,0,2}答案A33．(2013某某,1,5分)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A∩B=（）A．⌀B．{2}C．{-2,2} D．{-2,1,2,3}答案B34．(2013某某,1,5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=（）A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}答案B35．(2013某某,1,5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=（）A．(-∞,2]B．[1,2] C．[-2,2] D．[-2,1]答案D36．(2013某某,1,5分)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁R M为（）A．(-∞,1)B．(1,+∞)C．(-∞,1]D．[1,+∞)答案B37．(2013某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=（）A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}答案D38．(2015某某,11,5分)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=______．答案{1,2,3}39．(2014某某,11,5分)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=_______．答案{3,5,13}40．(2013某某,10,5分)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁U A)∩B=__________．答案{6,8}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组1．(2018某某师大附中11月模拟,1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为（）A．无数个B．3 C．2 D．1答案C2．(2017某某某某高中毕业班4月调研,2)已知集合A={1,3},B=,则A ∪B=（）A．{1,3} B．{1,2,3} C．{1,3,4} D．{1,2,3,4}答案B3．(2016某某某某一模,1)集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}答案B考点二集合间的基本关系4．(2017某某某某一模,2)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是（）A．M=N B．M∩N=N C．M∪N=N D．M∩N=⌀答案B5．(2016某某某某二模,1)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=⌀C．M⊆N D．M∩N=R答案C6．(2018某某某某调研,13)设集合A={1,},B={a},若B⊆A,则实数a的值为______．答案07．(2017某某八市联考,13)已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若A⊆B,则实数a的取值X围是_____．答案[2,+∞)考点三集合间的基本运算8．(2018某某重点中学11月质检,1)已知集合A={x|3x>3},B={x|3x2-2x-5<0},则A∩B=（）A．B．(-1,1) C．(-1,+∞)D．9．(2018某某重点中学期中联考,1)已知集合A=,B={x|(x+2)(x-1)>0},则A∩B等于（）A．(0,2) B．(1,2)C．(-2,2) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)答案B10．(2018某某某某一模,1)若集合A={x|1≤x≤5},B={x|log2x<2},则A∪B等于（）A．(-1,5] B．(0,5] C．[1,4) D．[-1,4)答案B11．(2017某某百校联盟4月质检,1)已知集合A={x|2x2-7x+3<0},B={x∈Z|lg x<1},则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B12．(2017某某某某三模,1)已知全集U=R,集合M={x||x|<1},N={y|y=2x,x∈R},则集合∁U(M∪N)等于（）A．(-∞,-1] B．(-1,2)C．(-∞,-1]∪[2,+∞)D．[2,+∞)答案A13．(2017某某襄阳五中模拟,1)设集合U={1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-5x+4<0},则∁U A等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,4} D．{1,3,4}答案B14．(2016中原名校四月联考,1)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=（）A．(2,3] B．(-∞,1]∪(2,+∞)C．[1,2) D．(-∞,0)∪[1,+∞)答案DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1．(2018某某南开中学月考,1)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B=（）A．{1,2,4} B．{4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2．(2018某某浏阳三校联考,1)设A={x|y=},B={y|y=ln(1+x)},则A∩B=（）A．{x|x>-1} B．{x|x≤1}C．{x|-1<x≤1}D．⌀答案B3．(2018某某某某重点高中联考,2)已知集合M=,N=,则M∩N=（）A．⌀B．{(3,0),(0,2)}C．[-2,2] D．[-3,3]答案D4．(2018某某五校协作体9月联考,2)已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值X围是（）A．(-2,+∞)B．(4,+∞)C．(-∞,-2] D．(-∞,4]答案C5．(2017某某某某、某某等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4答案C6．(2017某某某某第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为（）A．a=B．a≤C．a=-D．a≥答案C7．(2016某某某某瑞安八校联考,1)已知集合A={x|ax=1},B={0,1},若A⊆B,则由a的取值构成的集合为（）A．{1} B．{0} C．{0,1} D．⌀答案C二、解答题(每小题10分,共20分)8．(2018某某某某四校联考,17)已知三个集合:A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1},B={x∈R|=1},C={x∈R|x2-ax+a2-19>0}．(2)已知A∩C≠⌀,B∩C=⌀,某某数a的取值X围．解析(1)∵A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1}={x∈R|x2-5x+8=2}={2,3},(2分)B={x∈R|=1}={x∈R|x2+2x-8=0}={2,-4},(4分)∴A∪B={2,3,-4}．(5分)(2)∵A∩C≠⌀,B∩C=⌀,∴2∉C,-4∉C,3∈C．(6分)∵C={x∈R|x2-ax+a2-19>0},∴(7分)即,解得-3≤a<-2．(9分)所以实数a的取值X围是[-3,-2)．(10分)9．(2017某某某某、某某联考,18)已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=(-1≤x≤0)的值域为B．(1)求A∩B;(2)若C=[a,2a-1],且C∪B=B,某某数a的取值X围．解析(1)要使函数f(x)=有意义,需log2(x-1)≥0,解得x≥2,∴A=[2,+∞)．对于函数g(x)=,∵-1≤x≤0,∴1≤g(x)≤2,∴B=[1,2],∴A∩B={2}．(2)∵C∪B=B,∴C⊆B．当2a-1<a,即a<1时,C=⌀,满足条件．当2a-1≥a,即a≥1时,要使C⊆B,则解得1≤a≤．综上可得,a∈．C组2016—2018年模拟·方法题组方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1．(2018某某某某一中11月模拟,2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠⌀,若A∪B=A,则（）A．-3≤m≤4B．-3<m<4 C．2<m<4 D．2<m≤4答案D2．(2017豫北名校联考,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}=（）A．M∩N B．(∁U M)∩(∁U N)C．(∁U M)∪(∁U N) D．M∪N答案B3．(2016某某蓟县期中,1)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B=（）A．B．C．D．答案A方法2解决与集合有关的新定义问题的方法4．(2018某某某某三校联考,4)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个__________．答案175．(2016某某中原名校3月联考,14)当两个集合中一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”．对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为___________．答案{0,1,4}。

考案1第一.二编复习质量检测题本考案分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.返回第I 卷（选择题共50分）:本大题共10个小题■每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•函数，=yio gi (3^2)的定义域是 pA- [1, + 8)B. / — ♦ +91. D(由 log-L (3x — 2)孑 0,得＜ z £ 1. 故应选D.)9 -C . 4a2.下列同时满足条件;①是奇断数;②在［0,1］上是増臥数;③*［0,1］上啟小值为0的两数是 （）2. B （由条件①排除D 选项；由条件③排除A ；又，=牡=一 1 +占'故，=1_夢［0,1］上是减函数，排除C. 故应选B ）3. 下列两数在其定义域内既是奇函数又是增除数的是A ・y = W （0, + °°）） B. j = 3x （x £ R>C, y = （x e R ）D ・）=lg 丨匚丨（工 H 0）B, y = simr + 2x C” =1-2工 1 4-"3・C（函数y = xT<xe（o,十8））』=沪（尢€R），，=lg| x |均不是奇函数，函数y =R）是奇函数且为增函数.故应选C.）4.如图1为南数y = m+bgQ的图像，其中皿皿为敢数,则下列结论正确的是A. < 0,并 A 1E./Z1 > 0,力〉1C.m > 0,0 < n < 1D.m<Q,0<n < 14.D（当工=1时Q=加，由图形易知m<0; 又函数是减函数，所以0 <九< 1・故应选D.）5.巳知函数y = f（H）=公+卫工2+与的图像与H轴切于苗原点的一点，且皿小位= —4,那么卫,g的值分別为（）A.6,9 B, 9,6 C. 4,2 D. 8,65.A(y = 3JC2 +2foc + q9令切点为(a,0)山工0, 则fS =尤(久2 +p^ + q) = 0有两个不相等实根ar0(a #= 0) »•*.x2+ pjc + q = (x — a)2 ,= x(x — a)29^(x) = (x 一a)(3x一a) »令/（X）= 0,得尤或丄=当X = a时JO) = 0 工一4 ,• •x2 +如 + g =(无十3)2 ,=6，g = 9. 故应选A.)6.已知不$ O Q玄0口 + 3丁 = 9,则x^y的域大值为A. 36B. 18C.256.A(由JC+ 3y = 9,得jy = 3 -------- 才上0,•；O W k冬9.<0.当JC = 6时，〃取极大值.又当无=0时2 = 0,当金=9时* = 0.当x = 6时皿=*3/取最大值36. 故应选A.)7.已知 g 是以2为周期的偶函数，且当工€ (0,1)时，fO) = 2*-bm/Clog212)的值为 ( )A.-|B.-|C.2D. 1将：y = 3 —冷"，代入u =无幼,令2? = 0,得亦=6或无=0・当0 <工V 6时,/ > 0；当6 o V 9时,/D. 427.A(/(log212) = /(2 + log23) = /(logz3)4=/(—log23) = /(2—log23) = f log2丁)：=2 V — 1 = - — 1 ：=・1 ■3 3 3 •故应选A.)8 •设偶隔数代工)浦足/<r) =/—8QM0儿则{工| /(工一2>>0}= ( )A. {无I x V— 2 或^>4}B.&I^V 0 或疋>4}C・ & | $ V 0 或 & > 6} D. & | z V— 2 或z > 2}& B(V f(x) = x3 - 8(JC 0)且心)是偶函数，. f r3— 8山 $ 0,")= {_ —8*0,,严一2二0 砖严—2V0• •((工一2户一8〉0或(一Q— 2严一8 > o严》2 严＜；2 尤＞4或*0解得x＞ 4或无＜0・故应选B.)9.南数fU)的图線如图2所示，下列数值排序正确的足A.0</(2) </(3) </(3)-/(2)B.0< /(3) < /(3)-/C2) </(2)C.0< /(3) < f ⑵ < f ⑶-f⑵D.0 V /(3) -/(2) < /(2) V 尸⑶9. B(/(2)，十⑶为x分别为2,3时对应图象上点的切线斜率J⑶一f(2) = Cf⑵, -/<2)为图象上工为2和3时对应两点连线的斜率.故应选B.)m 2X^T > 0,io. C (解法一二①若 a>0,则一 a <0， ■ 1 1/• lpg2 a > k )g£ Q=4og2a > log2 ——“Q > ——=>a >1・②若a < 0,则一a>0, log* (— a) > log 2 (— a)=>>—a=^a 2 < l=>a G (— 1 > 1). 又 Va<0, A - l<a<0. 由①②可知 a e (-1,0) U <l,+oo)t 解法二:特殊值验证.令 a = 2^/(2) = log22 = 1» — 2) = log± [― <—2)] =— 1, 满足/(a) > /<- a),故排除A,H 令 a =— 2,/(— 2) = log!E — (— 2)] =— 1, A- (—2〉] = f(2) = l,不满足/<a) > /(- a),故排除B. 故应选CJ10.设西数fCz)=若/U) 实数a 的取值范旧是A. <-l,0) U <C,1>c,(-1,0)U (1,+x)B. (-00,-1) U (X + x) D, (-00,-1) U (0,1))> log2 <—a)=> —fx 2 + 加：+ CM £0, 2口好数心若，则关升的方程心y 的解的个数为A.1B.2C.3 D 416 — 46 + c = c 、. 4 — 26+ G =— 2, •(2 当为00时，方程为工2+虹+2 = 4即11- C( V5 = 4, e = 2, + 4x + 2 (z M 0), (工 >0)，3工 + 2 = 0.•:无=—1或无=—2. 当乂 >0时，方程为工=2. ：•方@/a> = 丁有三个解./. /(log 23) = y (Log 23 + l) = /(log 23 + 2) =/(log 23 + 3)・ Vlog 23+3>4,A /(log 23) = /(log 2 3 + 3)=(1 log? 2411=(T ) = 2^14=^.)第n 卷(非选择题 共％分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把笞案填在题中横线上.13.已知更数/(^) = , 2丿则y (i og23)的值为 ________14.对正整数m设曲线y= £”（1 —工）在工=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a”，则数列立：】｝的lltf n 顼和的公式是__ .14. S n = 2小—2(y r = \_n — (?2 + l)w],:.切线方程为y+2n =-2^(n + 2)a-2). 令攵=0得尙=2w(n+ 1>3:. 命 =2” ,・'・｛命｝的前咒项和9 = 2 十"十…十2" = 2小-2.)15.令P(x)：ar24-2x + l> 0,若对Vx 6 R,F&〉是真命题,则实数a的収值范惘是___________15.a>l(V 对V^e R,P(x)是真命题二对V H€ R,^2+2x+l> 0 恒成立，当2 = 0时,不等式为2工+1>0不恒成立，当a工0时，若不等式恒成立，则F A°'\A=4-4a<0>16•若函数/(x)=戸务在区间(m2m+ 1)上是单调递增函数，则实数皿的収值范圉是______16.<-l,0](/(x)=4A 1 —分=4t <^ + 1)2>・•・/&)的单调增区间为E-iaim Z— 12观+1 = 1=> — 1<加=0.) 2m + 1 > 皿三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.17, （本小题満分12分）已知甬数/（^） = X 3 —十& + c ・（1） 若/U ）在（一 8, +8）上是增两数，求b 的収値范厨；（2） 若才Or ）在丄=1处取得极值, ILx€ ［一］,2］时,心）＜?恒成立，求c 的取值 范围.17»(1) f (x) = 3X 2 — x+6»因 /*Cr)在(—8,+ 8)上是增函数，则/(x) ^0.即3 x2-x + &>0,• •b $力一3JC 2在(一8, + x)上恒成立，设 g(j?)=攵一3K 2 .(2)由题意知/(I) = 0,即3 — 1十方=0, ••』=—2.无W ［— 1,2］时,/(x) V c 2上恒成立，只需 g 在［一 1,2］上的最大值小当"■4"时，gQ )max 0于c2即可.因/ Q) =3JC2—JC—29令f (JC) = 0,得无=1 或攵= 拿. ••丁⑴一务卄』(一£)=||+cj(—l) = ~Y~ + c,/(2) = 2 +c9•• /(max = /(2) = 2 + 6 .I 2 + Q V C2^ 解得c> 2或C<—1.••・c的取值范围为(-oo,-l) U(2.+oo).18.(本小懸满分12分)设pg) = 一4)3 —小在(-oo,-2)和(2,+ 8)上是单调增两数旳;不等式[(2/—2)山><?的解集为R.如果力与g 有且只有一个正确，求«的取值范围.18. 命题pt 由原式得f(x') = sc i —ax 2 一4工+ 4d,/z (r) — 3r 2 — 2ar — 4,/的图像为开口向上且过点(0,-4)的抛 物线. 由条件得/(-2) ^0且f (2)^0,・・•该不等式的解集为R,・・・o<— 1. 当P 正确q 不正确时，一 当〃不正确q 正确时卫V —2・•・"的取值范围是(-oo,-2) U [― 1，2]・19.(本小题满分12分)役直线工=1是函数fCc)的图像的一条对称轴，对于任倉工W R,/(x + 2) =—/(工)，半一 1□n (4a+ 8 上 0,, 即｛ —4aA0・…—2 W a 冬 2. o=护 一 2H =(0— 1)2 — 1〉Q .时,/(x) = X®.(1)证明JQ)是奇两数$(2)当工€ [3,7]时,求礦数/(x)的解析式.19.(1)证明:Vx = 1是只鼻)的图像的一条对称轴，••JQ+2) = f(-jc).又・・•/" +2) =-/(x),・・・/(’)=-/(x + 2) =-/(-x),即 /(—Q=—・・ja)是奇函数.(2)TfQ+2) =— /(x),・・J(H+4) = /[0 + 2)+ 2] =—2) = /(JT),T = 4.若n G [3,5],则兗一4 6 [―匚门，・・J(z—4) = Q —4)J又V/(jr-4) = g,fix) — (x —4)3& [3,5]・若无 W (5,7],则无一4€ (1，3]?/(x — 4)=/<r).由h = 1是/(x)的图像的一条对称轴可知A2-(r-4)] = /(x-4).且2 —Q —4) = (6 —JC) C [—1,1],故/(JC)=一4) = /(6 —无)=(6 3=—(x一6)'・20,（本小题满分12分）设a" W R,且定义在区间（一。