北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

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用树状图或表格求概率

学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

重点：用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

难点：正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

必然事件事件确定事件不可能事件概率随机事件列表法概率计算树状图法用频率估计概率

一、用树状图求概率

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用树状图．

重点注意：画树状图时，每个“分支”的意义不同，但它们具有相同的等可能性，因此不能忽略任何一种情况，更不能遗漏任何一种情况(不重不漏)．

二、用表格求概率

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，当一次试验要涉及两个因素（例北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

2 / 11 如摇两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率．

重点注意：用表格求概率的适用范围是：

（1）某次试验仅涉及两个因素；

（2）可能出现的结果数目较多．

用树状图与表格求概率的联系与区别

联系：用树状图或表格求概率的共同前提是：

(1)各种情况出现的可能性是相等的；

(2)某事件发生的概率公式均为P(A)=各种种情况出现的次某事件发事件发生；

(3)在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．

区别：当随机事件包含两步时，尤其是转盘游戏问题，当其中一个盘被等分成2份以上时，选用表格比较方便，当然此时也可用树状图；当随机事件包含三步或三步以上时，用树状图方便，此时难以列表．

注意：在用表格求随机事件发生的概率时，要注意列表时数据或事件的顺序不能相互混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件，尽管在有些情况下它们的意义或结果是相同的．

如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？

小明的做法：总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为93，即31．

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3 / 11 小亮的做法：也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于4的概率为31．

第一张牌的牌面数

第二张牌牌面数 1 2 3

1 （1，1） （1，2） （1，3）

2 （2，1） （2，2） （2，3）

3 （3，1） （3，2） （3，3）

考点1 用树状图求概率

【例1】 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从3个口袋中各随机地取出1个小球．

（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

【变式1】经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

（1）三辆车全部继续直行

（2）两辆车右转，一辆车左转

（3）至少有两辆车左转

在用树形图时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求． 北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

4 / 11 【变式2】 某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛，八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛组合，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

练1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字之积为偶数的概率是( )

A.14 B.12 C.34 D.56

练2．某中学为迎接建党九十八周年，举行了以“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．那么九年级同学获得前两名的概率是( )

A.12 B.13 C.14 D.16

练3．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )

A.38 B.58 C.23 D.12

练4．有两部不同的电影A，B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看．

(1)求甲选择A部电影的概率；

(2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率(请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果)．

考点2 用表格求概率

【例2】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

(1) 两个骰子的点数相同；

(2) 两个骰子的点数的和是9；

(3) 至少有一个骰子的点数为2． 北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

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【变式1】某联欢会上，组织者为活跃气氛设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．选择2名同学分别转动A、B两个转盘，停止后指针所指数字较大的一方为获胜者，另一方需表演节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．

【变式2】在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6 填写表格过程中，注意数对的有序性．

4

5 7

游戏转盘B 1

6 8

游戏转盘A

A 北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

6 / 11 练1．某校决定从两名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的同学恰为一男一女的概率是( )

A.13 B.23 C.49 D.59

练2．小亮、小莹、大刚三名同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( )

A.12 B.13 C.23 D.16

练3．今年某市为创评“全国文明城市”，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部的姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

(1)该班男生“小刚被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为________．

(2)请用列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．

考点3. 频率估计概率类型

【例3】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计袋中白球个数，采用如下办法：从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球1000次，其中200次摸到黑球．根据上述数据，小明估计袋子中白球有________个．

【变式1】为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞125条，发现其中2条有标记，那么由此可估计湖里大约有___________条鱼

【变式2】在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）

A、15个 B、20个 C、30个 D、35个

练1.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率

7 / 11 后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 .

练2.一只不透明的袋中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：

摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450

“和为7”的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150

“和为7”的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33

解答下列问题：

(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；

(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．

练3.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 ( )个黄球．

考点4. 几何频率

【例4】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是________．

练1.如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ．