数学大一轮复习课件热点专题三 三角函数与解三角形的热点.ppt

xcos
x＋1(x∈R)，当函数
y
取
最大值时，求自变量 x 的集合．
12/11/2021
【解】 (1)①因为 tanπ4＋α＝11－＋ttaann αα＝12，
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝1＋12－12×17 17＝13>0，所以
π 0<α<2.
又因为 tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－2×31312＝34>0，
12/11/2021
所以 0<2α<π2， 所以 tan(2α－β)＝1t＋anta2nα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. 因为 tan β＝－17<0， 所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
所以 0<α＋β<π3或23π<α＋β<π；
又由 cos α＝17<12且 α 为锐角得π3<α<π2，
所以23π<α＋β<π，
于是 cos(α＋β)＝－1114，sin α＝4 7 3，故 cos β＝12.
12/11/2021
3．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan A·tan B，则 C π
12/11/2021
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin

【总结反思】 三角函数式的化简常用方法 (1)善于发现角之间的差别与联系，合理 对角拆分，恰当选择三角公式，能求值 的求出值，减少角的个数． (2)统一三角函数名称，利用诱导公式切 弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.
sin7° ＋cos15° sin8° (1)求 的值； cos7° －sin15° sin8° (2)求 tan20° ＋4sin20° 的值．
π π 3 4 解析： ∵ cosα ＝－ 5 ， α ∈ 2，π ，∴ sinα ＝ 5 ，∴ sin α＋3 ＝
π π 4 1 3 3 4－3 3 sinαcos3＋cosαsin3＝5×2＋ －5 × 2 ＝ 10 .
4－3 3 答案： 10
∴ 2＋2cosθ＝
θ θ 又(1＋sinθ＋cosθ)sin2－cos2 θ θ θ θ 2θ ＝2sin2cos2＋2cos 2sin2－cos2 θ 2θ θ 2θ ＝2cos2 sin 2－cos 2 ＝－2cos2cosθ.
π . 2sinα± 4
答案 1．2sinαcosα 1－2sin2α cos2α－sin2α 2cos2α－1
2tanα 1－tan2α 1－cos2α 2
1＋cos2α 2．(1) 2
tan7.5° 4．计算： ＝________. 1－tan27.5°
tan7.5° 1 2tan7.5° 解析： ＝ × 1－tan27.5° 2 1－tan27.5° －tan30° 1 1 1 tan45° ＝2tan15° ＝2tan(45° －30° )＝2× 1＋tan45° tan30° 3 1－ 3 2－ 3 1 ＝2× ＝ 2 . 3 1＋ 3
1．sin75° 的值为________．

的长为 1 .
5. 在△ ABC 中， AB ＝3 6 ， AC ＝6，∠ B ＝45°，则 BC
＝ 3 ＋3或3 －3 .
⁠
⁠
第4题图
易错点·综合点
6. (2024·浙江)如下图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 是 BC 边上
的中线， AB ＝10， AD ＝6，tan∠ ACB ＝1.
例2 (2023·长沙) 如下图，神舟十六号载人飞船在发射的过程
中，飞船从地面 O 处发射，当飞船到达 A 点时，从位于地面 C
处的雷达站测得 AC 的距离是 8 km，仰角为30°；10s 后飞船到
达 B 处，此时测得仰角为 45°.
(1) 求点 A 离地面的高度 AO ；
解：在Rt△ AOC 中，
(2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度.(结果保留根号)
OA ＝ 4 km

V平均速度＝
S AB ＝ OB － OA
( 10 )
OB ＝ OC
解：在Rt△ AOC 中，
∵∠ AOC ＝90°，∠ ACO ＝30°， AC ＝8km，
OC ＝ AC cos30°

∴ OC ＝ AC ＝4 km.

∴ OE ＝
＝ ＝4 .
∠

∴ OB ＝ OE ＋ BE ＝(4 ＋4)海里.
∴观测站与灯塔 B 之间的距离为(4 ＋4)海里.
易错点·综合点
4. 如下图，在△ ABC 中，∠ B ＝45°，∠ C ＝60°， AD ⊥ BC
于点 D ， BD ＝ 3 .若点 E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 EF

在Rt△ BOC 中，∵∠ BOC ＝90°，∠ BCO ＝45°，

(1)函数 y＝2cos2x－π4 －1 是(
)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
π C．最小正周期为 2 的奇函数
π D．最小正周期为 2 的偶函数
(2)(2016·吉林实验中学二模)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任
意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x，则 fπ6 等于(
(1)(2014·课标全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．
(2)当 x∈ π6 ，76π时，函数 y＝3－sin x－2cos2x 的值域是 ________．
解析：(1)∵f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)， ∴f(x)max＝1.
(2)由π6 ≤x≤7π 6 ，知－12≤sin x≤1. 又 y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1 ＝2sin x－412＋78， ∴当 sin x＝14时，ymin＝78， 当 sin x＝1 或－12时，ymax＝2. 答案：(1)1 (2)78，2
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
解析：由图象知，周期 T＝254－14＝2， ∴2ωπ＝2，∴ω＝π.

的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为 答案 解析
A.2
B.3
√C.4－2ln 2
D.3－2ln 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6.(2016·浙江四校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a>0，b∈R)，若对
任意x>0，f(x)≥f(1)，则 答案 解析
√A.ln a<－2b
解答
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥
k x＋1
恒成立，求实数k的取值范围.
解答
引申探究 本题(2)中，若改为存在x0∈[1，e]，使不等式f(x)≥ 的取值范围. 解答
k 成立，求实数k x＋1
当
x∈[1，e]时，k≤x＋1x1＋ln
x 有解，
x＋11＋ln x
令 g(x)＝
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合. 解答
思维升华
(1)利用导数研究函数的单调性，可以和零点存在性定理相结合判断零 点个数. (2)利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数 的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋 势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.
跟踪训练2 (2016·郑州模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，
且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|
的零点个数为 答案 解析
A.4
B.3
C.2
D.1
题型三 利用导数研究恒成立或有解问题
1＋ln x 例 4 已知函数 f(x)＝ x . (1)若函数 f(x)在区间(a，a＋12)上存在极值，求正实数 a 的取值范围；

1 2．[2018· 全国卷Ⅲ]若 sinα＝3，则 cos2α＝( 8 7 A.9 B.9 7 8 C．－9 D．－9
)
12 7 1 2 解析：∵sinα＝3，∴cos2α＝1－2sin α＝1－2×3 ＝9.故选 B. 答案：B
3 1 3．已知 tanα＝－4，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为( 2 2 A．－11 B.11 11 11 C. 2 D．－ 2 1 1 解析：因为 tan(π－β)＝2＝－tanβ，所以 tanβ＝－2， tanα－tanβ 2 则 tan(α－β)＝ ＝－11. 1＋tanαtanβ 答案：A
4．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＋β α－β α＝(α＋β)－β；β＝ 2 － 2 ； α－β β α α＋ － ＋β. 2 2 2 ＝
二、必明 2 个易误点 1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝ 2 所对应的角 α＋β 不是唯一 的．
【小题热身】 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立．( √ ) tanα＋tanβ (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋ 1－tanαtanβ β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × ) (4)存在实数 α，使 tan2α＝2tanα.( √ )
)
5．[教材改编]sin15° ＋sin75° 的值是________．
解析：sin15° ＋ sin75° ＝sin15° ＋ cos15° ＝ 2sin(15° ＋ 45° )＝ 2 6 sin60° ＝2. 6 答案： 2

突破考点 02
给角求值
（重点得分型——师生共研）
【调研 2】 (1)化简ssiinn1155°°csoins99°°－＋csions6666°°的结果是(
)
A．tan9°
B．－tan9°
C．tan15°
D．－tan15°
【解析】
sin15°cos9°－cos66° sin15°sin9°＋sin66°
第三章
三角函数、解三角形
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考纲下载 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正 切公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
17 D.50
【解析】 因为 0<α<π2，cosα＋π6＝45，所以 sinα＋π6＝35，
sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2245，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－
1 ＝ 275 ， 所 以
sin2α
请注意 本节主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角 函数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降低，应适 当控制其难度.
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
三角函数公式的基本应用
（基础送分型——自主练透）
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ； tan(α±β)＝1t∓antaαn±αttaannββ.

第七页，共45页。
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.

证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看

对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。

如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2， BC＝2 3，点 D 在 BC 边上，∠ADC ＝75°，则 AD 的长为________．
解析：
过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， 则在 Rt△ABE 中， cosB＝BAEB＝12ABBC＝ 23，故 B＝30°.
在△ABD 中，∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°
必考部分
第三章
三角函数、解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲考情] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题．
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
内容 ________________＝2R
余弦定理 a2＝_________ b2＝_________ c2＝_________
答案：2
在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直 角
图形
关系式 解的 个数
a＝bsinA bsinA<a<b
____
____
a≥b ____
a>b a≤b ____ ____
答案 一解 两解 一解 一解 无解
3．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三
解决
①已知三边，求各
①已知两角和任一边，求另一
解斜
角；
角和其他两条边．
三角
②已知两边和它们
②已知两边和其中一边的对
形的
的夹角，求第三边
角，求另一边和其他两角．
问题
和其他两个角.
答案