九年级数学上册23.3.4相似三角形的应用1学案新版华东师大版

23.3.4 相似三角形的应用一、知识回忆：相似三角形有哪些性质：1、相似三角形对应边成___ _,对应角______ .2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角平分线的比都等于_ .3、相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________.4、如果两个三角形的相似比为1︰3，那么它们的对应中线之比是，对应高之比，周长之比，面积之比是。

学了相似三角形后，你知道它可以帮助我们做些什么吗？二、探索新知例1、为了测量金字塔的高度OB，先竖一根高度的竹竿DE，比拟竹竿的影长CD与金字塔的影长AB，却可近似地算出金字塔的高度OB，如果DE=1米，CD=2米，AB =274米，求金字塔的高度OB。

假设你就是泰勒斯，你会用什么方法来测量呢？请与同桌交流一下。

练一练：1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，些时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB 。

例3、如图，△ACB 的边AB 、AC 上的点，且ADE=∠C ，求证：AD·AB=AE·AC 。

练一练; 1、如图，△ABC 内接正方形DEFG ，AM ⊥BC 于M, 交DG 于H,假设AH 长4cm,正方 形边长6cm,求BC2、如图，△ABC 内接正方形DEFG ，AM ⊥BC 于M,交DG 于H,〔1〕假设BC 长12cm, AM 长8 cm,求正方形边长〔2〕假设BC 长12cm, AM 长8 cm, 内接矩形DEFG 中，DG=2DE ，求DE 边长C B〔3〕假设BC长12cm, AM长8 cm, 内接矩形DEFG中，边长DE多少时，面积为640/3〔4〕假设BC长12cm, AM长8 cm, 内接矩形DEFG中，边长DE多少时，面积为最大.。

相似三角形的应用1 / 32 / 3理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO ．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A 、B 之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案一：先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A 、O 、D 在同一条直线上．那么A 、B 之间的距离是多少？学做思三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝6cm 和CD ＝12m ，两树的根部的距离BD ＝5m ．一个身高1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，它交AB 、CD 于点H 、K ．视线FA 、FG 的夹角∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域I 和II 都在观察者看不到的区域（盲区）之内．达标检测1．如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED 。

2．图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD 方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH ＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB 的高度(精确到0.1米)．3如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，DC O B AIIIIABD CE3 / 3。

课题参与者数学组成员课型新授课使用时间教者学习目标1、进一步巩固相似三角形的知识。

2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的高度。

3、以探究的思想，培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的应用价值。

重难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的高度．难点：如何把实际问题抽象为数学问题。

教法探索式、启发式教学学法教学准备1．教师准备：收集与本节有关的资料、制成教学课件． 2．学生准备：复习相似三角形的性质，•预习本节课内容。

．教学过程（主要环节）集体备课教师活动学生活动个性展示创设情境激趣导入1．相似三角形的性质有哪些?2．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?引导回顾学生思考提出疑问探索新知1、如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF， DE⊥BF，AC∥DF，(1) △DEF与△ABC相似吗?为什么?(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?2、例6:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l， A′教师引导、分析，设置问题，分组活动，指导探究。

理解探究讨论方法小组交流B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ，合作 交流 尝试练习例7、为了估量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一岸上选点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选点E ，使EC ⊥BC ，用眼睛测视确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB 。

引导应用，分析解答。

解答交流，展示成果。

联系实际应用拓展 1、 P74的练习1、2.2、用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。

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相似三角形的应用学习内容相似三角形的应用学习目标1、学习利用三角形相似的知识进行实际测量.2、会用三角形相似进行一些等积式的证明。

3、会综合运用三角形相似的知识解决实际问题.学习重点如何探寻三角形相似的条件.学习难点如何运用相似三角形的知识解决问题。

导学过程复备栏【温故互查】1、相似三角形有哪些判定定理？2、相似三角形有什么性质？【设问导读】1、思考:如何知道学校的国旗旗杆的高度？请写出你的测量或者计算方法：2、快速阅读课本52页例6思考：本题主要用了哪个知识点来解决问题？在这里我们所指的太阳光是平行光线，请完成下面的问题：已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱。

AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m。

（1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2)在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长.3、阅读课本例7，总结本题中的主要测量方法:完成下列问题：如图，有一河流。

请你设计一个方案测量这条河流的宽度。

(1）、写出方案,画出示意图;(2）、指出要测量的线段，并用字母表示;（3)、根据测量的数据求出河的宽度。

24.3.4 相似三角形的应用（1）【学习目标】会应用相似三角形的有关性质解决实际问题. 【基础知识演练】1. 相似三角形的有关知识在生活、生产中有着广泛的应用.如：（1）利用阳光下的影子测高度. 如图，人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BCADAB EA =可得BC = ，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.（2）利用标杆测高度. 如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC . 因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB ，由DGDHGC FH =得GC = ，∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD . 2. 如图，高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.3. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，求树（AB ）的高度.（精确到0.1米）.4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？5. 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？【思维技能整合】6. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（）A.56m B.67m C.65m D.103m7. 如图，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高（）A.11.25米B.6.6米C.8米D.10.5米8．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米9. 如图，若OA∶OD=OB∶OC=n，则x=________（用a,b,n表示）.10. 如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O/P/=l,两灯柱之间的距离OO/=m.(l)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；(2)若李华在两路灯之间行走．．．．．．．，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值？请说明理由；(3)若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以1v 匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度2v .【发散创新尝试】11. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在BMC AMD ∆∆和地带种植单价为10元/米2的太阳花，当AMD ∆地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在BMC ∆地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.【回顾体会联想】12. 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如运用相似三角形的原理来进行测量等.请你想一想：利用相似形的性质与识别还可以解决哪些问题?参考答案1. （1）EA AD BA ⋅；（2）DHDGFH ⋅ 2. △ABC ∽△A ′B ′C ′，所以B A AB ''=C B BC ''，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m. 3. 5.6米 4. 4.8 cm.5. （1）狮子能将公鸡送到吊环上．当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt △PHQ ，AB ＝1.2（米）.∴QH ＝2.4＞2（米）．（2）支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（PA ＝31PQ ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图，△PAB ∽△PQH ，31＝＝PQ PA QH AB ∴QH ＝3AH ＝3.6（米）6. C7. C 8．D 9.2nba - 10. （1）AC=h l ah -；（2）DA+AC=hl mh-是定植；（3）2v =h l lv -111. 梯形ABCD 中AD//BC AMD ∆⇒∽BMD ∆，AD=10，BC=20，41)2010(2==∆∆BMC AMD S S .∵22200)(5010500m S m S BMC AMD =∴=÷=∆∆，还需要资金200×10=2000（元）， 而剩余资金为2000－500=1500＜2000， 所以资金不够用.。

相似三角形的应用【知识与技能】会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【过程与方法】通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.【情感态度】让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.一、情境导入，初步认识复习1.相似三角形有哪些性质？2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）二、思考探究，获取新知第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较木棒的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ，如果O ′B ′=1米,A ′B ′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A ′O ′B ′∽△AOB ，从而求得OB 的长度. 解：∵太阳光是平行光线即O ′A ′∥OA,∴∠OAB=∠O ′A ′B ′.又∵∠ABO=∠A ′B ′O ′=90°,∴△OAB ∽△O ′A ′B ′.答：金字塔的高度OB 为137米.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一这一边上选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD ∽△ECD （两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=6050120⨯=⨯CD EC BD =100（米）. 答：两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例3 如图，已知D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD ·AB=AE ·AC.【分析】把等积式化为比例式ABAC AE AD =,猜想△ADE 与△ABC 相似，从而找条件加以证明. 证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE ∽△ACB （两角分别相等的两个三角形相似）.∴ABAE AC AD , ∴AD ·AB=AE ·AC.三、运用新知，深化理解1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE ∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC 的长.2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C 、D ，然后测出两人之间的距离CD=1.25m ，颖颖与楼之间的距离DN=30m （C 、D 、N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【答案】1.24m 2.20.8m【教学说明】过点A 作MN 的垂线段，构造相似三角形.四、师生互动，课堂小结这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.。

23.3.4相似三角形的应用教学目标：（1）进一步巩固相似三角形的知识.（2）能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题.（3）通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.教学重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 教学方法：动手实践、自主探索、小组讨论、合作探究.教学提纲：（1）判断两个三角形相似有哪些方法？（2）相似三角形有哪些性质？（3）怎样利用三角形的相似测量高度和距离？情境导入：小小旅行家走近金字塔：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约23０多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了1０万人花了2０年时间.原高1４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？知识点一：利用三角形相似测量高度交流展示1：1.借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.AC E小组讨论得出结论：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.2.你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？解法一：身高、平面镜等解法二：用镜面反射（如图，点A 是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）.反馈矫正1：1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?【答案】36米知识点二：利用三角形相似测量宽度交流展示2：例.如图，已知： D.E 是△ABC 的边AB.AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ．求证： AD ·AB ＝AE ·AC ．【答案】证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．∴AB AE AC AD ，∴ AD ·AB ＝AE ·AC ．达标检测:1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m 时,长臂端点升高多少m.【答案】8m.2.小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)【答案】1.6m.归纳提升：我对自己说——收获：我对同学说——提醒：我对老师说——困惑：C A BD O。

24.3.4相似三角形的应用
【学情分析】对相似三角形的判定与性质的综合应用，对于学生有一定的难度。

【学习内容分析】本节通过几个例题体现相似三角形在实际问题中的应用，综合运用相似三角形的判定与性质。

【学习目标】
会应用相似三角形的有关判定与性质，求出简单的物体的高度或宽度。

【重难点预测】
重点：利用相似三角形解决简单问题
难点：综合运用相似三角形的判定与性质解决简单问题。

【知识链接】
1、相似三角形的判定方法：（几何语言）
2、相似三角形的性质：（几何语言）
【学习过程】
一、明确目标、自学指导
[学习目标]
会应用相似三角形的有关判定与性质，求出简单的物体的高度或宽度。

【自学指导】认真看P52－53的内容，思考：
1、在例6、7、8中，应注意：要运用两个三角形的对应边成比例，需要这两个三角形
2、在例8中，“四条边的等积式：AD·AB=AE·AC”应转化为对应边的比例式：
4分钟后，比谁能正确地做出相关习题。

二、自主学习，检测练习。

1、学生看书，教师巡视，确保人人紧张看书。

2、检测练习：P54练习1、2，
三、合作探究、成果展示
1、个人独立自学后，小组内个人展示、交流。

2、全班展示：学生板演练习，学生自由更正，教师巡视，师生评价。

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