几何画板(实验十)

《几何画板》教程——从入门到精晓之袁州冬雪创作用几何画板做数理实验首先请下载装置好几何画板软件，打开几何画板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如图所示：图1-0.1我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在此后的学习过程中将学会使用.案例一四人分饼有一块厚度平均的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分？图1-1.1思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分.方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）.如图1-1.2.图1-1.2方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3.图1-1.3用几何画板验证：第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件.说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”“新绘图”，也可以新建一个绘图文件.第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具；图1-1.4(2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段.如图1-1.4.注意：在几何画板中，点用一个空心的圈暗示.第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如A B 图1-1.5：注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做：用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中停止修改，(本例中我们不做修改).如图1-1.6在后面的操纵中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A 重合，按左键拖动画出线段AC ；(2)画线段BC ，标出标签C ，如图1-1.7.注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便.ABC图1-1.7第五步：(1)用“选择”工具单击线段AB ，这时线段上出现两个正方形的黑块，暗示线段处于被选取状态；(2)由菜单“作图”→“中点”，画出线段AB 的中点，标上标签.得如图1-1.8.注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈.在几何画板中，选取线段是不包含它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以按Shi f t 键后用左键再次单击该对象取消选取.AB CD第六步：用同样的方法画出其它双方的中点.得如图1-1.9.技巧：最快的方法是：按住Shift 不放，用“选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由“作图”→“画中点”(或按快捷键Ctrl+M)，便可以同时画好三条边的中点.AB C D EF图1-1.9第七步：用“画线段”工具保持DE 、EF 、FD ，得如图1-1.10：技巧：画线段的另外一方法，在包管画线工具出现的是“画线段”按钮(不必选取)的前提下.选取两点后，由菜单“作图”→“画线段”，(或按快捷键Ctrl+L),可以画出保持两点的线段. 本例最快的做法：1、选取“画点”工具，按住Shift 键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都坚持选取状态2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边而且三边同时被选取；3、按Ctrl+M ，可以同时画出三边中点且三中点同时被选取；4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可. ABCDEF第八步：(1)按住Shift 键不放，用“选择“工具选取点A 、D 、F ；(2)由菜单“作图”→“多边形外部”填充多边形外部；(3)坚持外部的选取状态，由菜单“度量”→“面积”，可以量出ADF 的面积，如图1-1.11.1.11第九步：(1) 用同样的方法，填充并度量三角形BDE 、ECF 、DEF ；(2) 选取DEF 的外部，由菜单“显示”→“颜色”，选择其它颜色，如蓝色，得到如图1-1.12.注意：在制作过程中，要常常保管文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每个例子都是这样，不再加以说明. 归纳结论：拖动顶点A 、B 、C 中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察分歧情况下，四部分的面积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？说明：这是通过实验来验证数学规律，不克不及包管结论一定是正确，一般来讲，有一些成果颠末了人类的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的成果仍然需要停止推理证明.那末，实验有什么用呢？实验可以帮忙我们认识规律，更容易承受知识，而且常常可让我们找到处理问题的方向.如有问题，请到几何画板分版，下载案例一供参考. 操练：1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，第一步：(1)选取“画射线”工具；(2)移动鼠标到与点A 重合，按住左键拖动，画出一条以点A 为端点的射线AD ，得如图1-1.13.第二步：(1)选取“画点”工具，移动鼠标到射线AD 上，在接近点A 处单击画出一个点E ，得如图1-1.14； (2)按住Shift 键不放，用“选择”工具，依次选取点A 、E ，由菜单“变换”→“标识表记标帜向量A-E”.说明：标识表记标帜了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，包管出现若干段相等的线段，标识表记标帜向量时，一定要注意选选择点的先后顺序.第三步：(1)用“选择”工具选取点E ，由菜单“变换”→“平移…”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点Ｅ’；(2)选取Ｅ’，做同样的操纵可以得Ｅ’’，……，这样做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图1-1.15.E'''E''DABCEE'图1-1.15第四步：(1)保持B Ｅ’’’；（2）同时选取线段B Ｅ’’’、点E 、Ｅ’、Ｅ’’，由菜单“作图”→“平行线”，画出了一组平行线，如图1-1.16.ABCDEE'E''E'''图1-1.16第五步：(1) 用“选择”工具单击平行线和AB 相交处，得到三个四等分点； (2) 选取所有平行线、射线AD 及AD 上的点(除A 外)，由菜单“显示”→“隐藏 对象”，可以隐藏制作过程中的辅助线.得如图1-1.17. 以下只要保持点C 和三个四等分点就好了，……注意：在最后成果中不需要看到的对象，一般是把它隐藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点也会消失，这是因为这些点是受辅助线节制的，隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用.隐藏和删除是分歧的. 如有问题，请到几何画板分版，下载案例一的操练供参考.ABC图1-1.17３、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪类方法方便？，在需要其它等分的情况下，哪类方法更具有一般性？案例二 三角形的内角和现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个华侈比较小而且便于施工的方案.思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图1-2.2：图1-2.2那末，如何知道拼成的一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来讲明.方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和.如果对于任意的三角形，总有内角和是1800，那末说明拼成的一定是一个半圆形.用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件.画出三角形ABC第二步：(1) 选取“选择”工具，按住Shift不放，依次选取点B、A、C；(2)由菜单中的“度量”→“角度”，量出∠BAC的度数，用同样的方法度量其它两个角.如图1-2.3说明：由于每个人画的图分歧，度数纷歧定和图1-2.3一样）.注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选.A BCBAC = 45.0?ABC = 74.6?ACB = 60.4?图1-2.3第三步：由菜单“度量”→“计算”弹出一个计算器，依次点击“∠BAC=…”、“+”、“∠ABC=…”“+”、“∠ACB=…”、“确定”，如图1-2.4.说明：“∠BAC=…”在本例中是“∠BAC=45.00”，这里用省略号暗示，是因为每个人画的图分歧，量出的度数有能够分歧，以后近似的问题都这样来暗示.技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量”→“计算”；(2) 双击工作区中的任一度量值，如“∠BAC=…”；(3) 在工作区中击鼠标右键，由“度量”→“计算”.ABC BAC = 45.0?ABC = 74.6?ACB = 60.4?BAC + ABC + ACB = 180.0?图1-2.4归纳结论：请按要求操纵后填写下表：序号操纵现象三个角的和等于1 观察∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______2 用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成钝角三角形∠BAC=______∠ABC=______∠ACB=______3 用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成直角三角形∠BAC=______∠ABC=______∠ACB=______4 用鼠标拖动其中一个顶点任意改变三角形的形状三个内角的和总是结论三角形的内角和总是________如有问题，请到几何画板分版，下载案例二供参考.操练：1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是3600.如有问题，请到几何画板分版，下载案例二操练1供参考.2、用“选择”工具同时选取点A、B，由菜单“度量”“间隔”，可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的双方之和大于第三边，三角形的双方之差小于第三边”.如有问题，请到几何画板分版，下载案例二操练2供参考.案例三最佳行走道路如图1-3.1：你身在草原上，现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走道路.图1-3.1思路：把人所处位置看做一个点，公路看做一条直线，行走的道路看做线段，由垂线段最短可以找到最佳行走道路.方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短.用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件.第二步：(1)按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图1-3.2.A BC图1-3.2第三步：(1) 按Shift键，用鼠标选取点C和直线AB，(不要选取点A和B)；(2)由菜单“作图”→“垂线”，画出了过点C垂直于AB的直线，如图1-3.3说明：虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没有选取直线上的点，在后面的学习中，如果要求选取直线、线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点. A BC第四步：(1) 用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签D；(2)选取垂线CD(不要选取点C、D)、点A、B，由“显示”→“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签j；(3)选“画线段”工具，保持线段CD，如图1-3.4.说明：点A、B是节制直线AB的点，通过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线颠末这两个点，可以在制作完成后把它隐藏.3.4第五步：(1) 选取“画线段”工具；(2)移动鼠标到点C处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j上时松开，如图1-3.5.技巧：CE是直线j的斜线段，所以要包管一个端点是C，另外一个端点E只能在直线j上移动，怎样才干包管呢？，在画图的过程中，移动鼠标到点C时，注意观察状态栏中有“从点C”，这时按下左键可以包管一个端点为C，移动鼠标到直线j 时，状态栏中有“到点位于直线j”时松开，这样点E一定在直线上，不克不及拖到直线外.在几何画板中，状态栏的作用非常重要. jCD E第六步：同时选取点C 、D ，由“度量”→“间隔”，量出CD ，同理量出CE ，如图1-3.6.jCDCD = 1.68 cm CE = 2.16 cm图1-3.6归纳结论：拖动点E 在直线j 上移动，观察CD 与CE 的大小，什么时候CE=CD ？，除了这个位置外的其它位置CD 与CE 哪个比较大？以上操纵说明：从直线处一点引直线的所有线段中，_________最短，因而最佳行走道路是走点到直线的垂线段.如有问题，请到几何画板分版，下载实例三供参考. 操练：1、在图1-3.6的基础上，增加一个点F ，通过度量∠CDF 、∠CEF ，如图1-3.7，拖动点E ，观察什么情况下两个角相等，除了CD 外，CE 在其它位置能和直线j 垂直吗？j CDEFCD = 1.68 cm CE = 2.16 cmCDF = 90?CEF = 51?图1-3.7如有问题，请到几何画板分版，下载案例三操练供参考.案例四如图1-4.1，一个三角形屋架，屋面的宽度是13米，立柱长5米，那末横梁有多长？思路：这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那末，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系？方案：大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用分歧的方法来重新认识一下这个老朋友.用几何画板画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不竭改变图形的大小形状(但坚持直角不变)，验证定理是否总是成立. 用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件.第二步：在工作区中画一条线段AB ，如图1-4.2.BA图1-4.2第三步：(1) 按住Shift ，用“选择”工具选取点A 和线段AB ；(2) 由菜单“作图”→“垂线”，作出点A 垂直于线段AB 的直线.如图1-4.3注意：不要选别的一个端点B ，那样过B 点也会有一条直线与AB 垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线.技巧：只有这样画的图才干在你拖动点改变图形的大小和形状时总是坚持垂直的关系，如果只是画出一条自己看上去“垂直”的直线，就不克不及在改BA变形状时坚持垂直关系.第三步：(1) 选“画点”工具；(2) 移动鼠标到垂线上单击，如图图1-4.4注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面.A BC第三步：(1) 选取垂线CD ，由“显示”→“隐藏直线”，把垂线隐藏； (2) 用画线段工具画出线段AC 、线段BC ，如图1-4.5.技巧：最后的图中应该是线段，但为了包管变更过程中坚持垂直关系，必须先画辅助垂线，最后在不需要时把它隐藏.A BC第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图1-4.6所示，jm nABC第五步：用“文本”工具双击标签n ，在弹出的对话框中作如下改动：如图1-4.7.用同样的方法改j 为c ，改m 为b ，如图1-4.8.说明：这样做是为了照顾我们的数学习惯，或者是题目自己的要求，这种改点或线的标签的方法，在操纵过程中会经常常使用到.cbaABC 第七步：同时选取线段a 、b 、c ，由菜单“度量”→“长度”第八步：弹出计算器，依次点击“b=…”、“^”、“2”、“+”、“c=…”、“^”、“2”，然后按“确定”，可以计算出b 2+c 2的值；同样可以算出a 2的值， 得到如图1-4.10，说明：这里“^”暗示乘方运算.归纳结论：序号 操纵现象 b 2+c 2与a 2相等吗？1 观察b 2+c 2=____ a 2=_____ 2用鼠标拖动点B 到另外一位置.b 2+c 2=____ a 2=_____可以看到，总是有两直角边的平方和等于斜边的平方，本例中的横梁用勾股定理算得一半为12米，全长为24米.如有问题，请到几何画板分版，下载实例四供参考. 操练：1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余.如有问题，请到几何画板分版，下载案例四操练1供参考.2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图1-4.11，这里只是把D.1-4.11（1）选取点D 和线段AB ，由“作图” “平行线”，画出过D 平行AB 的直线；（2）选取点B 和直线AD ，同样画出过点B 平行于AD 的直线；（3）用“选择”识表记标帜标签为C ；如图1-4.12（4）隐藏三条直线，画出线段AD 、DC 、CB ，即得矩形ABCD ，如图1-4.13.说明：拖动点A 、B 可以改变矩形的大小和位置并可以旋转一定的角度；拖动点D 只能改变矩形在纵向上的大小，拖动点C 不会改变矩形的大小，但可以改变矩形的位置，但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以通过度量角和边来证实这一点.1-4-133、先画出如图1-4-14的图形，然后用近似于第2题的方法画一个平1-4-14案例五 三角形的高三角形的高能够出现在哪些位置？思路：应该对于直角、锐角、钝角三种分歧类形的三角作分歧的回答.方案：如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来讲明，现在借助几何画板，我们可以动态地改变三角形的形状，使分歧类形的三角形的高可以动态改变.用几何画板验证：第一步：(1) 选取“画点”工具画三个点；(2) 选取“画直线”工具后，什么都不必做；(3)选取“选择”工具，在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；( 4) 由菜单“作图”→“画直线”(快捷键是Ctrl+L) ，可以画出过这三点的三条直线，标上标签，如图1-5.1.技巧：(1) 如果要选取的对象比较多，可以用“选择”工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象，这时能够会多选了一些你其实不想选的，可以按Shift键后，单击该对象取消选择状态；(2) 上面第二步选“画直线”工具的操纵会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项，如果你没有做这一步，菜单中通常出现“画线段”，也就是说，几何画板中的有些菜单饬令和按钮的显示状态是相关的.第二步：过点A作直线BC的垂线，并单击垂足，定义出垂足D，用同样的方法作出垂线BE和CF，如图1-5.2，第三步：按住Shift键，用“选择”工具选取所有的直线，注意不要选到点；由菜单“显示”→“隐藏直线”第四步：(1) 同时选取点A、B，(2) 选取“画线段”工具，然后按Ctrl+L，画出线段AB;(3)用同样的方法画出线段BC、AC、AD、BE、CF，得到如图1 -5.4.技巧：上面说Ctrl+L是画直线，但当你先画了“画线段”的工具后，它的功能会自动变边画线段.注意：为什么纷歧开端就画三条线段组成三角形呢？这是本例的要点，因为如果一开端画的是线段，点D、E、F被定义为垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变成钝角三角形，垂线和线段没有交点，这样会导致有两条高消失.现在的点D、E、F分别是垂线和直线的交点，再拉动三角形成钝角三角形时，高不会消失.第五步：(1) 拖动点A，使∠ACB变成钝角，（如图1-5.5）；(2)选取点C和D，按Ctrl+L，画出线段CD；(3) 坚持线段CD的选取状态，由菜单“显示”→“线型”→“虚线”，改CD为虚线，符合通常的习惯，用同样的方法画线虚线段CE，第六步：拖动点A使使∠AB CDEF 归纳结论；序号操纵三角形三条高的位置三条高（或高的延长线）交于一点吗？1 观察2 用鼠标拖动点C到另外一位置.使△ABC仍为锐角三角形，再观察，3 用鼠标拖动点A到另外一位置.使△ABC变成直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点A到另外一位置.使∠ABC为钝角，再观察结论三角形的三条高或高的延长线___________.如有问题，请到几何画板分版，下载案例五供参考.操练：观察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系.其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”“中点”（或按Ctrl+M）可以作出线段的中点，接着便可以画中线了；画角平分线的方法：如按Shift，依次点选点B、A、C，可以作出∠BAC的平分线，确定角平分线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就好了.1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实序号操纵三角形三条中线的位置三条中线交于一点吗？1 观察2 用鼠标拖动点C到另外一位置.使△ABC仍为锐角三角形，再观察，3 用鼠标拖动点A到另外一位置.使△ABC变成直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点A到另外一位置.使∠ABC为钝角，再观察结论三角形的三条中线___________.2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求序号操纵三角形三条角平分线的位置三条角平分线交于一点吗？1 观察2 用鼠标拖动点C到另外一位置.使△ABC仍为锐角三角形，再观察，3 用鼠标拖动点A到另外一位置.使△ABC变成直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点A到另外一位置.使∠ABC为钝角，再观察结论三角形的三条角平分线___________.案例六挂画的学问要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的间隔相等，应该如何钉上挂钉？思路：这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题.方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两头的间隔应该相等，思索到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就好了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可.下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两头的间隔相等”.用几何画板验证：A B第二步：(1) 用选择工具选取线段AB，(2) 由菜单“作图”→“中点”（快捷键是Ctrl+M注意：不要多选其他对象，如果你多选了其他对象，“中点”这个选项是灰色的不成用，一般来讲，只要选择的对象不符合要求的条件，就不成能使用相应的菜单项. A BC第三步：(1)用“选择”工具按住左键拉一个框颠末点C和线段AB（但不要框住A、B两点），这样可以同时选取点C和线段AB，(2) 由菜单“作图”→“垂线”注意：如果你画的图不是这样，过点A或B也有了垂线，那是因为你多选了点A或点B. A BC第四步：选取“画点”A BCP第五步：(1) 画出线段PA、PB；(2)选取点P、A，由菜单“度量”→“间隔”，量得PA，同样量出PB.第六步：(1) 同时选取点P和中垂线；(2)由菜单“编辑”→“操纵类按钮”→“动画”这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时，点P会在直线上双向地移动.便于我们动态地观察.最后成果如图1-6.7.注意：不要多选其它对象，这里只需要点P在中垂线上运动. A BCPPA = 2.59 cmPB = 2.59 cm动画归纳结论：序号操纵现象结论(是否相等)1 拖动点P到另外一位置，这时PA=____PB=____PA____PB2 拖动点P到第二个位置这时PA=____ PA____PB如有问题，请到几何画板分版，下载案例六供参考. 操练:1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质.第七步：(1) 选取垂直平分线，将它隐藏；(2) 画出线段PC.得到如图1-6.8.第八步：用量间隔的方法量AC 、BC ，量∠PAB 、∠PBA 、∠APB 、∠PCB 、∠APC 、∠BPC 的度数，得到如图1-6.9.归纳结论：如有问题，请到几何画板分版，下载案例六操练1供参考.2、学画一个菱形，接第1题，先画出如图1-6.10的图形，由于点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以PA=PB.（1）选择线段AB ，由“变换”→“标识表记标帜镜面…”，标识表记标帜AB 为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个方框.说明：标识表记标帜镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形.技巧：标识表记标帜镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射线）后用快捷键Ctrl+G.（2）同时选取点P 、线段PA 、PC 、PB ；（3）由“变换”→“反射”，得到如图1-6.11.（4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图1-6.12. 说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种，但不管用哪类方法，都要符合图形的几何关系，也就是当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形.BAC P CAO DB如有问题，请到几何画板分版，下载案例六操练2供参考.案例七 抽水房的位置在一条河的同一旁有两个村庄A 和B ，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，才干使所用的水管的钱最少?思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在暗示河流的直线上找一个点C ，使AC+BC 最小.方案：作点A 关于河流的对称点A ’，连A ’B 交河流于C ，计算AC+CB ；在河流上另取一点D ，计算AD+DB ，通过拖动点D 在直线上移动，验证AC+CB 最小，从而说明C 为最佳点. 用几何画板验证：。

数学 实验 的 开展 是 要 结合 数 学 教 材 以及 当前数 学教 学 主 流 思想的， 因此 ， 如果数学实验模式已经不适合 当地教学发展 ， 那就 定要抛弃这种教学实验， 选择更为合适的模式。不能为了实验 而实验， 一定要结合新课 程改革中的数学教学要求 ， 将数学实验 与数学 教 材相 配衬 ， 充分 体 现 实 验 来源 于 课 本 ， 并且 为课 本 知 识 点 配套 服务 的宗 旨。 （ －） 基于 几何 画板 的 高中数 学实验 教学 类型 根据教学经验并结合相关理论研究 ， 基于几何画板的高中数 学 实验 教学 可分 为三 种类 型 ： １ 、 观察 型实 验 这 种实 验主 要是 引 导 学 生利 用 几 何 画板 对 一 些 函数 图 像 进 行描 点 、 观察 ， 培养 学 生敏锐 的数 学视 角 ， 激 发学 生 动 手实 践 的 欲 望 。例如 在 Ｙ ＝ Ａ ｓ ｉ ｎ （ ｏ Ｊ ｘ ＋ ） 函数 、 指数 、 对数 函数 、 圆锥 曲线 函数 的讲解中， 让学生利用几何画板观察、 绘制相应曲线， 提高数学 观
一
、
深对概念规律的理解。例如， 在讲解椭圆的离心角和旋转角时， 学生 普遍反 应两 者 容 易记 忆 混 淆 ， 通 过 几 何 画板 的综 合 应 用 ， 图 文并茂 ， 模 拟两种 角 的定 义 和判定 过程 ， 从 而有利 于学生 的记忆 。
二、 提 高几何 画板在 数 学实验 应用 水平 的策 略
基 于几何 画板 的高 中数学 实验设 计理 念 （ 一） 基 于 几何 画板 的高 中数学 实验 教学原 则 为了更好 的提 高高中数 学实 验教学水平 ， 以几何 画板 为平 台， 培养学生数学学习兴趣 ， 高中数学实验教学中， 应遵守 以下四 方 面 原则 。 １ 、 学生 的 主体 性原则 在 建构 理 论 中 ， 学 生是 教 学 的主 体 ， 这种 理 念 与 我 国新 课 程

制作： １绘制新函数 ｙ ｌ ３ ） ＝ 。 ５ 的图象 ， ｘ轴上任意取 两点 Ａ， 。 在 Ｂ
２ 新 建参数 ｎ 作为 区『 【 Ｂ 的等分线段 数。计算 ｎ １ ） ， 日 Ａ， ］ ］ 一 和
１ ／ｎ。
来的关键 ；三动 ，几何 画板》发展完善应是一个 动态完善 的过 《 程 。基 于对《 几何 画板》 的理 解 ， 者认 为只要发挥我们 的创造 笔 力， 可以让画板为我们表现 出丰富多堡
（ ）在点 ｃ处切 线方程 ｇ ｘ＝ （ Ｃ）ｘ ｘ ＋ Ｃ， ｘ （ ）ｆ Ｘ （— Ｃ）Ｙ 作切 线 ｇ ｘ （）
＝
然而最大 ４ ０ ０ ０次的迭代 ， 已足 以使我们对“ 以有 限逼 近无限” 的 思想更为理性的认识。
ｆ （ Ｃ） ｘＸＣ ＋ Ｃ的 图 象 并 隐藏 切 线 方 程 ｇ （ ）ｆ Ｘ ） Ｘ （— ）Ｙ Ｘ ＝ｌ Ｃ （
（－ Ｃ）Ｙ ；７ 将 Ｂ点在 Ｘ轴上移动 ， ｘＸ ＋ Ｃ （ ） 观察 ｆ Ｘ ） 区间上 取 （Ｃ在 值的正负情况及 函数 “Ｘ 图象在对应 区间上 的单 调递增 （ ） ） 减 情
况 可 起 到 验 证该 定 理 的 目的 。
定积分概念涉及 近代微积分思想——“ 以直代 曲 ， 以有 限逼
构 ” 以往 这部分 内容 的教学 是引导学生展开 “ ， 想象” 但对那些 ，
想象能力相对薄弱的学生来说 ， 其中的困难可想而知 。采用《 几
５ 分别作线段 Ａ Ｆ ’ ） Ｅ，Ｂ， 过点 Ｅ作 ｘ轴 的平行线 ， Ｆ ’ 交 Ｂ 于 点 Ｇ， 隐藏平行线， 作线段 Ｅ ， 中点 Ａ Ｅ ＧＢ， Ｇ选 ， ， ，’ 单击 ＜作 图 ／ 四
满 曲边梯形 。
３ 用几何 画板 的“ 形 结合” 造 一条便 捷通 道 ， 它 数 创 用

几何画板制作“用圆柱逼近半球”演示实验软体昆明市第十四中学 杨家武一、实验的准备实验所需的硬件条件为中等以上配置的计算机，软件平台为几何画板5.0以上版本．实验软体的准备过程相对复杂，少见有人做过这方面的工作．为此，我把软体制作过程分三个阶段详细叙述如下：第一阶段：对半球进行“等距离切片”，分为三步．第一步：（1）新建几何画板5.0文件，取名为“高中新课程球体体积公式推导的数学实验”；（2）打开该文件，新建参数8n =、1k =，计算1k +、1n -、k n 、1k n+；（3）作点O 、点A ，构造线段OA ，以点O 为中心，分别逆时针和顺时针旋转点A ，得到点B C 、，依次选中O C B 、、三点（顺序不要弄错），构造半圆弧 CAB，并保存文件； 第二步：（1）标记比值k n，以点O 为中心，缩放点A 得到点1A ，过1A 作OA 的垂线1l ，交弧 CAB于11B C 、两点，构造线段11B C ，并在线段11B C 上取点E ；（2）以1A 为中心，1A E 为短半轴长，11AC 为长半轴长构造“虚实椭圆”，并隐藏辅助对象；下面说明虚实椭圆的作法：①先后选中点1A 、1C 、1B 三点，点击“构造――圆上的弧”，得到以11B C 为直径的半圆弧，以点1A 为圆心，1A E 为半径作1A ；②在以11B C 为直径的半圆弧上任取点P ，构造线段1A P ，交1A 于点Q ； ③过点P 作OA 的平行线，过点Q 作OA 的垂线，构造两直线交点为G ；④选中点G 、P ，点击“构造――轨迹”，让轨迹以虚细线显示，隐藏辅助对象，得到“半个”虚线椭圆；⑤用同样的方法作另外“半个”实线椭圆，注意此时作以11B C 为直径的另一半圆弧时，应先后选中三点1A 、1B 、1C ，顺序不要弄错．至此，虚实椭圆构造完成．第三步：（1）点击“文件――文档选项”，在“增加页”项中选择“复制1”，修改页名称1为“等距离切片”，修改页名称2为“备用1”，确定；（2）修改参数k 的值为0（这一步是必需的），先后选中参数1k n -、（顺序不要弄错），按住Shift 键，点击“变换――深度迭代”，使1k k →+，在“结构”选项中取消“生成迭代数据表”，在“显示”选项中选择“所有对象的象”，确定并保存文件，得到切片效果如下：第二阶段：用等高圆柱从外部逼近半球，也分为三步．第一步：点击“文件――文档选项”，在“增加页”项中选择“复制――备用1”，修改页名称为“从外部逼近半球”，点击确定，并修改参数k 的值为3；第二步：（1）标记比值1k n+，以点O 为中心，按标记比值缩放点A 得到点2A ，过2A 作OA 的垂线2l ，交弧 CAB 于两点22B C 、．通过“文档选项”复制本页，并取名为“备用2”，点击确定； （2）转到“从外部逼近半球”页，分别过点11B C 、作2l 的垂线，交2l 于点2M 、2N ，隐藏两垂线，再构造线段22M B 、21M B 、22N C 、21N C ，并以细实线显示；（3）先后选中点1A 、2A ，标记向量12A A ，选中点E ，按标记向量12A A平移点E 得到点2E ；以点2A 为中心，22A E 为短半轴长，22A C 为长半轴长构造“虚实椭圆”，并隐藏辅助对象； 第三步：（1）修改参数k 的值为0，隐藏除O E A 、、以外的点及多余的辅助对象；（2）先后选中参数k 、1n -，按住Shift 键，点击“变换――深度迭代”，使1k k →+，在“结构”选项中取消“生成迭代数据表”，在“显示”选项中选择“所有对象的象”，确定并保存文件，得到等高圆柱从外部逼近半球的效果，效果图如下：第三阶段：用等高圆柱从内部逼近半球．从内部逼近半球的制作方法与从外部逼近半球的制作方法类似．关键是制作离心率相等的虚实椭圆环．简要叙述如下：第一步：通过“文档选项”复制“备用2”页，并取名为“从内部逼近半球”，点击确定； 第二步：（1）分别过点22B C 、作1l 的垂线，交1l 于点1M 、1N ，分别构造线段11M B 、12M B 、11N C 、12N C ，虚细线显示；（2）先后选中点1A 、1C 、E ，点击“变换――标记比”，标记比值111A EA C ，隐藏点E ；以点1A 为中心，缩放点1N 得到点1E ；以点1A 为中心，11A E 为短半轴长，11A N 为长半轴长构造虚实椭圆，并隐藏多余的辅助对象，这个椭圆与原先构造的椭圆形成“虚实椭圆环” ；第三步：显示点E ，修改参数k 的值为0，其余步骤同第二阶段第三步．效果图如下： 至此，完成“用圆柱逼近半球”演示实验软体的设计制作．值得一提的是，作“虚实椭圆”的过程，也可以提前做成几何画板工具，在需要时进行调用．不过，这个工具所作椭圆的离心率应是可调控的．关于工具的作法，这里不再赘述．。