一类分数阶差分方程边值问题多重正解的存在性

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性王文倩;马凡婷;孙芮【摘要】文章首先介绍了分数阶微分方及其边值问题研究现状,对分数阶常微分方程边值问题及其研究方法有一个基本的了解,并提出文章所研究的主要内容.其次,利用压缩映像原理研究了一类阶数为2<q≤3的分数阶微分方程,得到了一个解的存在定理,并且给出解的存在性和唯一性的判断依据.最后,举出例子作为文章结论的应用.【期刊名称】《阜阳师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)001【总页数】4页(P8-11)【关键词】分数阶微分方程;压缩映射原理;不动点定理;Riemann-Liouville导数【作者】王文倩;马凡婷;孙芮【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文分数阶微积分是处理任意阶微积分研究及应用的数学分析领域，其微分与积分不再局限于整数，可以是任意的实数或者复数。

1832年Liouville提出了分数阶微分定义，并用该定义成功解决了势理论问题。

1847年Riemann对分数阶微积分定义做了进一步修正和补充。

研究和应用比较多的两种定义是Caputo定义和Riemann-Liouville定义。

目前对分数阶微分方程研究主要集中在初值问题、边值问题、周期解、分数阶微分系统的稳定性、能控性以及微分包含问题等方面[1-9]。

2010年Zhou等考虑如下边界值问题[10]其中，是 Caputo 微分，是实数。

2012年Bashir Ahmad等讨论了分布边界值条件的分数阶微分方程的边值问题[11]其中，是Caputo微分，f是给定的连续函数，且α1,β1,γ1,α2,β2,γ2是实数，α1≠0。

受到上述文献的启发，主要研究下述分数阶微分方程边值问题解的存在性。

其中是Riemann-Liouville型分数导数，且a,b是实数，a≠0f:[0,1]×R→R是给定的连续函数，C[0,1]={x:[0,1]→R,x连续}构成了一个Banach空间，其范数‖x‖:=sup{|x|:t∈[0,1]}。

一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题解的存在性黄燕萍;韦煜明【摘要】该文主要研究一类Riemann-Liouville分数阶微分方程在无穷区间上的多点边值问题,利用Leray-Schauder非线性抉择定理得到边值问题至少存在一个正解的结论.【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】9页(P9-17)【关键词】分数阶微分方程;多点边值问题;非线性抉择定理【作者】黄燕萍;韦煜明【作者单位】广西师范大学数学与统计学院 ,广西桂林 541004;广西师范大学数学与统计学院 ,广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言分数阶导数是整数阶导数的推广.近年来,分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程等领域得到了重要应用,例如已成功应用于粘弹性材料、信号处理、控制、生物等领域.分数阶微分方程的理论研究刚起步,分数阶微分方程边值问题作为分数阶微分方程理论研究的重要分支之一,得到研究者们的重视.[1]分数阶微分方程边值问题近年来成为学者们的研究热点,关于在有穷区间上特别是在区间[0,1]上讨论分数阶微分方程多点边值问题解的存在性的文献相对比较多,如文献[6～11].但是,对于无穷区间上分数阶微分方程多点问题的研究目前相对比较少,有文献[3,4,14].2010年,赵向奎等人在文献[14]中考虑了下面分数阶边值问题：,其中t∈[0,∞),1<α≤2,0<ξ<∞.该文通过不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择定理,获得了边值问题解存在的充分条件.2011年,Liang等人在文献[4]中讨论了如下分数阶边值问题：,其中t∈[0,∞),α∈(2,3],0<ξi<1.此文利用锥上的算子不动点定理,得到了关于多点边值问题在无穷区间上正解存在和多解性的充分条件.2012年,白占兵在文献[3]中研究了如下无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题：,其中t∈[0,∞), 1<α≤2,0<ξ<∞.该文通过Leray-Schauder二择一性来研究在无穷区间上边值问题解的存在性.受到以上文献的启发,本文研究如下一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题：,(1.1)其中和是Riemann-Liouville分数阶导数,本文主要利用Leary-Schauder非线性抉择定理讨论多点边值问题(1.1)解的存在性.在本文中,我们作如下的假设:(A1) f∈C([0,+∞)×R×R)是连续函数,且当u在[0,+∞)上有界时,是有界的;(A2) a:[0,+∞)→[0,+∞)在[0,+∞)上不恒等于零,且设存在Q>0,使得0<a(s)ds<Q<+∞.2 预备知识为了方便,首先给出分数阶微积分的定义.定义2.1[3] 函数f:(0,∞)→R,f∈C(0,+∞)，的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为等式的右端在(0,+∞)有定义.其中Γ(α)是Gamma函数，其定义为Γ(α)=e-ssα-1ds,α>0.定义2.2[3] 连续函数f:(0,∞)→R,f∈C(0,+∞)，的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为等式的右端在(0,+∞)有定义.其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.3[8] 设α>0,则方程在C(0,1)∩L(0,1)有解u(t)=C1tα-1+C2tα-2+… +Cntα-n,Ci∈R,i=1,2,…,n,其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.4[2] 设α>0.若任意的u∈C(0,1)∩L(0,1)有α阶导数,且则对任意的Ci∈R,i=1,2,…,n,成立,其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.5 设h(t)∈C[0,∞),则边值问题(2.1)的唯一解是u(t)=G(t,s)a(s)h(s)ds,其中.(2.2)证明由引理2.3和引理2.4可知,方程(2.1)等价于积分方程其中Ci∈R,i=1,2,…,n.于是的一般解为由边界条件u(0)=0,u(q)=0,可得C2=C3=…=Cn=0,从而-a(s)h(s)ds+C1Γ(α).再将边界条件代入得.故式(2.1)的唯一解为引理2.6 式(2.2)定义的格林函数G(t,s)具有如下性质: (1) 对任意的(t,s)∈[0,+∞)×[0,+∞),G(t,s)≥0且连续;(2) G(t,s)关于第一个变量t是单调递增的.证明 (1) 由于tα-1≥(t-s)α-1>0,Γ(α)>0,故,当0≤s≤min{t,ξi}<∞时,当0≤ξi≤s≤t<∞时,由有当0≤t≤s≤ξi <∞时,当0≤max{t,ξi}≤s <∞时,综上可得,G(t,s)≥0,且由G(t,s)的定义可知,格林函数G(t,s)是连续函数.(2) 由于tα-2≥(t-s)α-2>0,Γ(α)>0,所以当0≤s≤min{t,ξi} <∞ 时,同理可证当0≤ξi≤s≤t<∞时,当0≤t≤s≤ξi <∞时,当0≤max{t,ξi}≤s<∞时,综上,G(t,s)关于t是单调递增的.引理2.7[3] 令M⊆C∞有界,则M是C∞中的相对紧集,如果满足(1) u在[0,+∞)上局部等度连续;(2) V在+∞处等度收敛,即对∀ε>0,∃v=v(ε)>0,使得对任意的u∈V,t1,t2≥0,都有成立.定理2.8[3](Leray-Schauder型非线性抉择定理) 设E为Banach空间,C为E中的闭凸集,假设为C中的有界开子集,0∈Ω,且为连续紧映射,则(1) A在中有一个不动点,或(2) 存在u∈∂Ω,λ∈(0,1),使得u=λAu.3 主要结果定义C∞([0,∞),R,R)为存在,且存在},并赋予范数引理3.1 C∞([0,∞),R,R)是Banach空间.证明令是柯西列且在空间C∞上,则对任意的ε>0,存在N>0,使得对任意的t∈(0,+∞),n,m>N,有因此,一致收敛,即又由定义2.2得根据Beta函数的性质得由勒贝格控制收敛定理和一致收敛,以及得故C∞是Banach空间.考虑定义算子A:C∞→C∞为引理3.2 若假设条件(A1)、(A2)成立,则A:C∞→C∞是全连续算子.证明分四步证明.(1) 证A:C∞→C∞存在.由C∞的定义可知,存在,存在,故A:C∞→C∞存在.(2) 证A:C∞→C∞连续.在C∞中,令un收敛于u(n→∞),则有收敛于假设常数M>0,令则且由Lebesgue控制收敛定理和f的连续性知又因为所以A连续.(3) 证A等度连续.设Ω为C∞的有界子集,则A(Ω)⊂C∞有界且在[0,∞)上局部等度连续.因为Ω有界且f有界,故当u∈Ω时,有又所以A(Ω)一致有界.下证A(Ω)在[0,∞)的任何有界子区间上等度连续.对任意给定的ε1>0,取任意的t1,t2∈[0,+∞),且t2-t1<δ,使得令ε2=max{MQε1,MQδ},则有因此,A(Ω)在∞局部等度连续.(4) 证A(Ω)等度收敛.对任意的u∈Ω,有故A(Ω)在∞处等度收敛.由引理2.8及引理3.1可得,A:C∞→C∞全连续.证毕.定理3.3 假设条件(A1)和(A2)成立,且有(A3) 存在ρ>0,使得成立，则边值问题(1.1)有无界解u=u(t),使得证明考虑微分方程边值问题,(3.1)其中0<λ<1.求解方程(3.1)等价于求解不动点问题u=λAu.令假设存在u∈∂P,使得u=λAu,则由以上可得这与假设条件(A3)矛盾.故存在u∈∂P,使得u≠λAu.由引理3.2及非线性抉择定理可得,边值问题(1.1)有无界解u=u(t),使得参考文献：[1] KILBAS A, SRIVASTAVA A, TRUJILLO H M J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier,2006.[2] 巴哈尔古力,张晓娜,胡卫敏.一类分数阶微分方程多点边值问题的多重正解[J].数学的实践与认识,2013,43(21):290-296.[3] 白占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用[M].北京:中国科学技术出版社,2012:1-210.[4] LIANG Sihua, ZHANG Jihui. Existence of multiple positive solutions for m-point fractional boundary value problems on an infinite interval[J]. Math Comput Model, 2011, 54(5):1334-1346.[5] 李炳宪.高阶分数阶微分方程多点边值问题解的存在性[D].济南:济南大学,2016.[6] 刘姣姣.分数阶微分方程非局部多点边值问题的解[D].曲阜:曲阜师范大学,2011.[7] 陆心怡.几类分数阶微分方程多点边值的正解[D].聊城:聊城大学,2013.[8] 刘文宁,严兴杰.分数阶微分方程多点边值问题解的存在性[J].江苏师范大学学报:自然科学版,2013,31(2):21-24.[9] LIU Yuji. Solvability of multi-point boundary value problems for multiple term Riemann-Liouville fractional differential equations[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012, 64(4):413-431. [10] WEI Suxin. Solutions to boundary value problem of fractional order on unbounded domains in a Banach space[J]. Nonlinear Anal, 2011,74(8):2844-2852.[11] 熊传霞.高阶微分方程多点边值问题正解的存在性[D].武汉：华中科技大学,2006.[12] XI Shouliang, JIA Mei, JI Huipeng. Multiple positive solutions for boundary value problems of second-order on differential equations system on the half-line[J]. Electron J Qual Theory Differ Equ, 2010,17:1-15. [13] 赵臣.几类分数阶微分方程的多点边值问题解的存在性[D].兰州：兰州大学,2012.[14] ZHAO Xiangkui, GE Weigao. Unbounded solutions for a fractional boundary value problem on the infinite interval[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2010, 109(2):495-505.。

几类边值问题解的存在性与多重性非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它的研究成果和方法在计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统等诸多领域有着广泛的应用,尤其是它所建立的各类不动点定理可以广泛应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他类型的方程研究.其中,非线性微分方程边值问题作为有广泛应用背景的数学研究领域,一直是微分方程理论和非线性泛函分析应用研究的重要课题.在过去的几十年,各种阶数的各类非线性整数阶微分方程、差分方程以及时标轴上的动力方程满足两点边值、多点边值、积分边值甚至非线性边值等边值条件的问题得到广泛的研究.尤其是整数阶微分方程的边值问题由于其重要的理论价值和明确的物理背景,一直备受许多研究者的关注,取得了非常丰富的研究成果.分数阶微分方程在控制论、扩散和传输、粘弹性力学、信号处理和非牛顿流体力学等诸多领域得到逐步的应用,已经引起国内外数学及自然科学界的高度重视.对非线性分数阶微分方程的研究受到很大的关注,尤其是数值计算和数值解,成为国际热点研究方向之一本文主要利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理等首先研究了四类非线性微分方程的边值问题解的存在性和多解性.最后,利用单调迭代结合上下解方法研究了一类非线性分数阶微分方程的非线性边值问题极限解的存在性和唯一性,并引入了解的迭代算法和数值计算方法.全文共分六章.第一章简要介绍了非线性泛函分析的历史背景、非线性微分方程边值问题的研究现状,给出本文相关的一些基本概念以及文中多次用到的相关定理等背景知识.第二章研究了如下整数阶高阶脉冲微分方程的积分边值问题正解的存在性、多解性其中(?)u(t)dα(t)和(?)u(t)dβ(t)分别是α和β关于u的Riemann-Stieltjes积分.通过转化为等价积分方程获得该问题的Green函数,利用Green函数的性质构造一个锥.然后,考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值,在与该特征值有关的最优非线性项增长条件下,运用锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得该问题正解的存在性.第三章研究了如下带有脉冲效应的二阶p-Laplacian微分方程的Robin边值问题正解的存在性和多解性通过考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值获得最优非线性项控制条件,在此条件下,借助Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理和Jensen不等式获得该问题正解和多正解的存在性结果.第四章讨论了如下二阶差分方程边值问题系统正解的存在性和多解性其中重点研究非线性项f和9的耦合行为以及在该行为下的解的存在性问题.在两个非线性项通过凹凸函数来刻画的较强耦合条件下,利用Jensen不等式、相关线性算子的第一特征值和锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得至少存在一个和两个正解的结果.第五章研究了如下时标轴上四阶p-Laplacian动力方程边值问题的正解的存在性、多解性在非线性项f次线性增长和超线性增长的条件下,利用经典的利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理,获得了两个和三个正解的存在性结果.第六章研究了如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程的非线性边值问题极限解以及解的迭代数值算法这里在不要求非线性项单调的条件下,通过构造一致收敛到真解的上下解迭代序列,论证了该问题的极限解的存在性和唯一性,然后给出了解的迭代算法和数值计算方法,并通过一个例子说明了算法的可行性,同时也给出了相关的误差以及逼近解的图形.综上所述,在以上问题的解的存在性研究中,通过构造一个相关的线性边值问题的积分算子,获得它的第一特征值,把这个特征值结合Jensen不等式和p-Laplacian算子的性质来获得最优的不等式估计,从而得到非线性项的最优控制条件,在此条件下利用Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得正解和多正解的存在性结果.在对分数阶微分方程的非线性边值问题的研究中,在没有通常的非线性项单调的假定下证明了极限解的存在和唯一性,并引入一致收敛于真解的迭代算法和数值算法,也通过实例验证了该方法的有效性和可行性,这是本部分的创新之处.同时也说明了通过单调迭代结合上下解方法求解该类边值问题的可行性,相关的误差估计也表明该方法是行之有效的.因此,这是一个新的计算带p-Laplacian算子的分数阶微分方程的数值方法,丰富了上下解方法的应用以及分数阶非线性微分方程的数值研究.通过对以上问题的深入研究,在较弱的条件下获得了一些新的深刻的结果,这些结果大都已经发表在国外重要的学术期刊上.。

一类四阶两点边值问题多个正解的存在性闫东明【摘要】两端简单支撑弹性梁的形变可以用四阶常微分方程两点边值问题来描述.由于其在物理中的莺要性,已有许多人研究了该类问题解的存在性,但在实际应用中该类问题正解以及多个正解的存在性更为重要.本文应用锥上的不动点定理,研究了该类四阶常微分方程两点边值问题多个正解的存在性,给出了该类问题多个正解存在的充分条件,本文结果推广和改进了一些已知结果.最后给出一例作为所获结果的应用.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)001【总页数】6页(P133-138)【关键词】四阶边值问题;锥;多个正解;存在性【作者】闫东明【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言四阶两点边值问题正解的存在性已引起人们的广泛关注，并且已经取得了许多深刻的结果，见文献[1-5]。

1995年，文献[1]应用锥上的不动点定理研究了四阶边值问题正解的存在性，其结果依赖于非线性项f(t,u)满足超线性或次线性条件。

随后，在1997年，文献[2]应用锥上的不动点定理研究了四阶边值问题多个正解的存在性。

在2003年，文献[3]应用不动点指数定理研究了四阶边值问题正解的存在性，得出了四阶边值问题(3)有一个正解存在的结果。

受以上工作的启发，本文试图考察四阶边值问题(3)多个正解的存在性。

当α=β=0时，问题(3)退化为问题(1)，当α=β=0,f(t,u)=h(t)f(u)时，问题(3)退化为问题(2)。

因此本文的结果更具有一般性。

本文总假定。

(H1)连续；(H2)2 预备知识及引理设C[0,1]为定义在[0,1]上的连续实值函数构成的Banach空间，其上范数为记引理1[1]设Gi(t,s),i=1,2为线性边值问题的Green函数。

则(i)(iii)其中Ci＞0,δi＞ 0为常数，是λ2+βλ-α=0的两个根。

引理2[1] 设(H2)成立，且h∈C[0,1]。

一类Caputo分数阶微分方程多点边值问题的多解性
黄燕萍;韦煜明
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2018(020)002
【摘要】本文讨论了一类Caputo分数阶微分方程多点边值问题的多解性,通过把分数阶微分方程的边值问题转化成与其等价的积分方程问题求出边值问题的Green函数并得到其格林函数的相关性质,最后利用锥上不动点指数定理研究分数阶微分方程多点边值问题正解和多个正解的存在性.
【总页数】9页(P157-165)
【作者】黄燕萍;韦煜明
【作者单位】广西师范大学数学与统计学院,桂林541004;广西师范大学数学与统计学院,桂林541004
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性 [J], 张福珍;张金陵
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一类分数阶微分方程边值问题解的存在性田丛丛;张梅;刘衍胜【摘要】为考察一类α∈(3,4]阶微分方程边值问题{Dα0+u(t)+f(t,u(t),u′(t))=0 u(0)=0,u′(0)=0 u″(1)=0,u(1)=g(u(1)) 解的存在性问题,运用Schauder不动点定理,得到了该问题一个解的存在性结果.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)019【总页数】3页(P4737-4739)【关键词】边值问题;Caputo分数阶导数;Schauder不动点定理【作者】田丛丛;张梅;刘衍胜【作者单位】山东师范大学数学科学学院,济南,250014;山东师范大学数学科学学院,济南,250014;山东师范大学数学科学学院,济南,250014【正文语种】中文【中图分类】O175.141 引言及预备知识近年来,分数阶微分方程受到越来越多的关注[1,2],且基于四阶微分方程在解决弹性梁问题中的应用[3],本文考虑一类分数阶微分方程解的存在性,其中α∈(3,4]。

并假设f:[0,1]×R×R→R的连续函数,g:R→R的连续函数,Dα0+为Caputo型导数。

本文用到的Caputo型导数的定义可参见文献[1,2]。

引理1[1] α∈(n-1,n],u∈Cn[0,1],则u(t)=u(t)-C1-C2 t-… -Cntn-1,Ci∈R,i=1,2,3,…,n。

引理 2 BVP(1)的解等价于非线性积分方程u(t)=∫G(t,s)f(s,u(s),u′(s))ds+g(u(1))φ(t)的引理 3 存在正实数 p,q,使得2 主要结果及证明I=[0,1],X=C′[0,1],‖ u‖ =为 Banach空间。

记b=g(u(1)),定理(H)=K对一切t∈[0,1]一致成立,则 BVP(1)至少有一个解u(t)。

证明由(H)对一切t∈[0,1]一致成立,令h(x,y)=,存在 R＞0,使得又R时,存在从而取R′＞R,且,则容易得到 U是 X上的有界凸闭集。

一类n阶m点边值问题三个正解的存在性
李甫问
【期刊名称】《德州学院学报》
【年(卷),期】2010(026)002
【摘要】利用Leggett-williams不动点定理研究了一类n阶m点边值问题
{u(n)(t)+f(t,u(t))=0,0<t<1 u(0)=u'(0)=…u(n-2)(0)=u(n-2)(1)-n-2∑k=1kiu(n-2)(ξi)=0三个正解的存在性,其中f∈c([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),ki>0(i=1,2,…,m-2),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,0< kiξi<1.
【总页数】4页(P30-32,48)
【作者】李甫问
【作者单位】济宁学院数学系,山东济宁 273155
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
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1.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋
2.一类二阶常微分方程组两点边值问题三个正解的存在性 [J], 刘杰操;金淑女;李欣桐
3.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋;
4.一类n阶两点边值问题三个正解的存在性 [J], 王峰;费祥历;陈云
5.一类二阶n点边值问题三个正解的存在性 [J], 张小勇;张瑞民;李培峦
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