新编文档-曲率及其曲率半径的计算-精品文档

y0.8x,y0.8
y x0 0,y x0 0.8
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
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曲线C在点M处的曲率
K lim
s0 s
在limd存在的条 , K件 d下 .
s0 s ds
ds
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
设y f(x)二阶 可 , t导 an y,
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
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泰山医学院信息工程学院 刘照军
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一、弧微分***
设函数 f (x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数
基点 :A(x0,y0), M(x, y)为任意一, 点
y
N
T
A
M
y
x R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区 [a,间 b]使所求的根是位于这个 区间内的唯一实间 根[a． ,b]区 称为所求实 根的隔离区间．
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如图，精确 y画 f(x)出 的图形，然后从 定出它 x轴 与交点的大概位置．

这说明椭圆在点
处曲率
计算驻点处的函数值:
最大.
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做
曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
相应的曲率中心
曲率中心公式可看成渐
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
屈线的参数方程(参数为x).
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
显然, 砂轮半径不超过
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
例2. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
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说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为

当 x ( b ) 愈大，即愈远离顶点，K 的值愈小. 2a
例 4 求正弦曲线y sin x 在区间0, π 上各点处的
曲率.
解 y cos x, y sin x.
K
sin x 3
sin x 3 ,0 x π.
(1 cos2 x)2 (1 cos2 x)2
在 x 0及 x π 处，K 0 ，即在点(0,0)及点(π,0) 的邻
2a
3
1 (2ax b)2 2
抛物线方程可以写成 y a(x b )2 (c b2 ),
2a
4a
抛物线顶点为 A( b ,c b2 ).所求曲率 K 可以写成 2a 4a
2a
K
3
1
4a
2
(
x
(
b 2a
))
2
2
在顶点 A 处， x ( b ) 0, K 的分母最小，因而 K 最大； 2a
所以
y
A M’
R
M
1 O
s R
x 图3-14
从而
lim 1
s0 s R
这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处
处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯曲愈甚.
再推导曲率的计算公式.若曲线 C 的方程为
y f (x)，且 f (x)具有二阶导数，此时f (x) 必为连续函
数，即曲线 C 是光滑的.切线斜率tan y ，两端对 x
M M
s0 s
由导数定义得
K d
(2)
ds
例1 求直线上各点的曲率 .
解 直线上各点处切线的倾斜角为常量， 0,所以 0 ，于是 0 .即直线不弯曲.
s
例 2 求半径为 R 的圆上任一点处的曲率.

.
′(t )ψ′′(t ) ′′(t )ψ′(t )
[′2(t ) +ψ′2(t )]
3 2
山东农业大学
高等数学

主讲人： 苏本堂
例2 计算等边双曲线xy=1在 点(1, 1)处的曲率. 解
K=
y′′ (1+ y′ )
2 32
1 由y= , 得 x ′ = 1 , y′′ = 2 . y x3 x2 因此y′|x=1=1, y′′|x=1=2. 曲线在点(1, 1)处的曲率为
2 32
| 2a| . K= 2]3 2 [1+(2ax+b) 显然, 当2ax+b=0时曲率最大. 曲率最大时, x= b , 对应的点为抛物线的顶点. 2a 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大, 此处K=|2a|.
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例4. 求椭圆 在t=0处的曲率. 解:
′(t) = a sin t ; ′′(t) = acost
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曲率K 曲率 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由
得
tanα = y′ (设 <α < ) 2 2 α =arctan y′ dα = (arctan y′)′ dx
π
π
dα K= ds
又 故曲率计算公式为
K=
y′′ (1+ y′ )
2 32
ψ ′(t) = b cost ;
ψ ′′(t) = bsin t
故曲率为
K=
′(t)ψ′′(t) ′′(t)ψ ′(t)
[′ (t) +ψ′ (t)]
2 2 3 2