高等数学A1---教学大纲
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《高等数学A1》课程教学大纲
课程代码：090011039
课程英文名称：Advanced Mathematics A1
课程总学时：72 讲课：72 实验：0 上机：0
适用专业：全校各适用专业
大纲编写（修订）时间：2017.11
一、大纲使用说明
（一）课程的地位及教学目标
本课程是一门重要公共基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学好其它理工学科课程的重要基础。
本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。
内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求
通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
（三）实施说明
1．本大纲适用于学习公共基础课《高等数学》科目的全校各适用专业的本科生。
2．因教学学时所限，课堂教学要做到突出重点，精讲难点，有针对性地解决理论与实际应用中可能遇到的基本数学问题。
教师在授课中可酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。
3．注意知识的内在联系与融合贯通，注意采用课堂讲授、讨论、多媒体教学相结合的教学方式，启发学生自学并不断积累学科前沿最新知识，学会独立思考，独立提出问题与独立解决问题的能力。
4．对于与其它课程交叉部分的内容，要分工明确，突出本课程在课程设置中的地位、作用与特色。
（四）对先修课的要求
本课程对先修课没有要求，学生只需具备初等数学知识。
（五）对习题课、实践环节的要求
习题的选取应体现本课程的基本概念、基本原理，并应结合实际的应用，使学生理解和消化所学的知识，考察并提高掌握知识的质量与解决问题的能力。
（六）课程考核方式
1.考核方式：考试
2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用高等数学的解题思想去解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。
3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩占20%，平时成绩包括作业，出勤，小考及课堂表现；期末考试（闭卷）成绩占80%。
（七）参考书目
《高等数学》上册（第五版），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2002
《高等数学》上册（第六版），同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007
二、中文摘要
《高等数学》是高等学校理工科各专业的一门必修的公共基础课程。
通过学习本课程，可以使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，熟悉和掌握抽象的、严格的数学方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。
三、课程学时分配表
四、教学内容及基本要求
第1部分函数与极限
总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0
具体内容：
1）理解函数、复合函数及分段函数的概念；
2）理解极限、左极限与右极限的概念；
3）理解无穷小、无穷大的概念；
4）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）；
5）掌握基本初等函数的性质及其图形；
6）掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则；掌握利用两个重要极限求极限的方法；掌握无穷小的比较方法；
7）了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；了解反函数及隐函数的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；
8）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理和介值定理）；会建立简单应用问题中的函数关系式。
重点：
会利用极限存在的两个准则求极限；会用等价无穷小求极限；会判别函数间断点的类型；会应用闭区间上连续函数的性质。
难点：
会利用极限存在的两个准则求极限；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理和介值定理）。
习题：
此部分应布置至少八道题的课后习题，内容可覆盖利用极限存在的两个准则求极限；用等价无穷小求极限；利用两个重要极限求极限；判别函数间断点的类型；应用闭区间上连续函数的性质等。
第2部分导数与微分
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
具体内容：
1）理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系；理解导数的几何意义；理解函数的可导性与连续性之间的关系；
2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；了解导数的物理意义；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；了解微分在近似计算中的应用；3）了解高阶导数的概念；会求平面曲线的切线方程和法线方程；会用导数描述一些物理量；会求函数的微分；会求简单函数的n阶导数；会求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
重点：
掌握导数的四则运算和复合函数的求导；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数，简单函数的n阶导数，平面曲线的切线方程和法线方程。
难点：
复合函数的求导；隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。
习题：
此部分应布置至少两次至少十道题的课后习题，内容可覆盖隐函数求导、由参数方程所确定的函数求导等。
第3部分微分中值定理与导数的应用
总学时(单位：学时):14 讲课:14 实验:0 上机:0
具体内容：
1）理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；
2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；
3）了解柯西中值定理；会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理；
4）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直渐近线。
重点：
用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法；用洛必达法则求未定式极限的方法；罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理；判断函数图形的凹凸性和拐点。
难点：
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
习题：
此部分应布置至少两次至少十道题的课后习题，内容可覆盖未定式极限、中值定理的应用等。
第4部分不定积分
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
具体内容：
1）理解原函数、不定积分的概念；
2）掌握不定积分性质；掌握不定积分的基本公式；
3）掌握换元积分法与分部积分法；
4）会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
重点：
掌握不定积分的基本公式；掌握换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
难点：
第二类换元积分法，会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
习题：
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖换元积分法与分部积分法、三角函数有理式及简单无理函数的积分等。
第5部分定积分
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
具体内容：
1）理解定积分的概念；
2）理解变上限定积分定义的函数及其求导公式；
3）掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式；
4）掌握定积分的换元积分法与分部积分法；
5）了解广义积分的概念并会计算广义积分。
重点：
掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；计算广义积分。
难点：
掌握牛顿－莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；计算广义积分。
习题：
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖牛顿－莱布尼茨公式、掌握定积分的换元积分法、分部积分法、计算广义积分等。
第6部分定积分的应用
总学时(单位：学时):6 讲课:6 实验:0 上机:0
具体内容：
1）掌握定积分的元素法；
2）掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等）。
重点：
掌握定积分的元素法；掌握用定积分表达和计算一些几何量。
难点：元素法；计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积。
习题：
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等。
