直线与圆相交弦长问题
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二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离d A 2+B 2
<r ; 性质2:由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax +By +C =0?x -a ?2+?y -b ?2=r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ>0;
性质3:若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,设弦心
距为d ,半径为r ,弦长为|AB |,则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |
22
+
d 2=r 2,
二、典例练习
[例] 已知圆的方程为x 2+y 2=8,圆内有一点
P (-1,2),AB 为过点P 且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB 的长;
(2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程.
解析:法一:
法二:
[练习]已知圆C 和y 轴相切,圆心C 在直线x -3y =0上,且被直线y =x 截得的弦长为27,求圆C 的方程. 解析:
[练习已知某圆圆心在x 轴上,半径长为5,且截y 轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. 解析: 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图1,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,设弦心距为d ,圆的半径为r ,弦长为|AB |,则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22+d 2=r 2,即|AB |=2r 2-d 2. (2)代数法:如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=?x 1-x 2?2+?y 1-y 2?2=1+k 2|x 1-x 2|=1+1k 2|y 1-y 2|(直线l 的斜率k 存在).
二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离d A 2+B 2<r ;
性质2:由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax +By +C =0?x -a ?2+?y -b ?2=r 2消元得到一
元二次方程的判别式Δ>0;
性质3:若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,设弦心距为d ,半径为r ,弦长为|AB |,则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |
22
+
d 2=r 2,
二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2+y 2=8,圆内有一点P (-1,2),AB 为过点P 且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB 的长;
(2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程.
[解] (1)法一:(几何法)如图所示,过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k =tan 135°=-1,
∴直线AB 的方程为y -2=-(x +1), 即x +y -1=0. ∵圆心为(0,0),
∴|OC |=|-1|2=2
2.∵r =22,
∴|BC |=8-⎝ ⎛⎭⎪⎫222
=30
2,∴
|AB |=2|BC |=30.
法二:(代数法)当α=135°时,直线AB 的方程为y -2=-(x +1),即y =-x +1,代入x 2+y 2=8,
得2x 2-2x -7=0.∴x 1+x 2=1,x 1x 2=-7
2,
∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =?1+1?[?x 1+x 2?2
-4x 1x 2]=30.
(2)如图,当弦AB 被点P 平分时,OP ⊥AB , ∵k OP =-2,∴k AB =12, ∴直线AB 的方程为y -2=12(x +1),即x -2y +5=0. [练习已知圆C 和y 轴相切,圆心C 在直线x -3y =0上,且被直线y =x 截得的弦长为27,求圆C 的方程. 解:设圆心坐标为(3m ,m ).∵圆C 和y 轴相切,得圆的半径为3|m |,∴圆心到直线y =x 的距离为|2m |2=2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2=7+2m 2,∴m =±1,∴所求圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. [练习已知某圆圆心在x 轴上,半径长为5,且截y 轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. [解] 法一:如图所示,由题设|AC |=r =5,|AB |=8,∴|AO |=4.在Rt △AOC 中,|OC |= |AC |2-|AO |2 = 52-42=3.设点C 坐标 为(a,0),则|OC |=|a |=3, ∴a =±3.∴所求圆的方程为(x +3)2+y 2=25,或(x -3)2+y 2=25. 法二:由题意设所求圆的方程为(x -a )2+y 2=25. ∵圆截y 轴线段长为8,∴圆过点A (0,4).代入方程得a 2+16=25,∴a =±3.∴所求圆的方程为(x +3)2+y 2=25,或(x -3)2+y 2=25. 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图1,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,设弦心距为d ,圆的半径为r ,弦长为|AB |,则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22+d 2=r 2,即|AB |=2r 2-d 2. (2)代数法:如图2所示,将直线
方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
?x1-x2?2+?y1-y2?2=1+k2|x1-x2|=
1+1
k2
|y1-y2|(直线l的斜率k存在).