几种典型力学问题的分析

进入虚拟课堂高三物理总复习教材（第13讲）一、 本讲内容：几种典型力学问题的分析复习要点1．“碰撞过程”的分析2．“人船模型”的研究3．“fd=△E K ”的运用二、 难点剖析1．“碰撞过程”的分析（1）“碰撞过程”的特征.“碰撞过程”作为一个典型的力学过程其特征主要表现在如下两个方面：第一，经历的时间极短，通常情况下，碰撞所经历的时间在整个力学过程中都是可以初忽略的；第二碰撞双方相互作用的内力往往是远大于来自外部物体的作用力（2）“碰撞过程”的规律正是因为“碰撞过程”所具备的“作用时间短”和“外力很小”（甚至外力为零）这两个特征，才使得碰撞双方构成的系统在碰撞前后的总动量遵从守恒定律，即m 1υ1+m 2υ2=m 1u 1+m 2u 2（3）“碰撞过程”的分类。

按照形变恢复情况划分：碰撞过程中所产生的形变能够完全恢复的称为弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变不能够完全恢复的称为非弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变完全不能够恢复的称为完全非弹性碰撞。

按照机械能损失的情况划分：碰撞过程中没有机械能损失的称为弹性碰掸撞；碰撞过程中有机械能损失的称为非弹性碰撞；碰撞过程中机械能损失最多的称为完全非弹性碰撞。

（4）“碰撞过程”的特例.弹性碰撞作为碰撞过程的一个特例，它是所有碰撞过程的一种极端的情况：形变能够完全恢复；机械能丝毫没有损失。

弹性碰撞除了遵从上述的动量守恒定律外，还具备：碰前、碰后系统的总动能相等的特征，即21m 1υ12+21m 2υ22=21m 1u 12+21m 1u 12 由此即可把弹性碰撞碰后的速度u 1和u 2表为 u 1=2121m m m m +-υ1+2122m m m +υ2 u 2=2112m m m +υ1+2112m m m m +-υ2 如对弹性碰撞的速度表达式进一步探讨，还会发现另一特征：弹性碰撞前，碰后，碰撞双方的相对速度大小相等，即u 2－u 1=υ1－υ2完全非弹性碰撞作为碰撞过程的一个特别，它是所有碰撞过程的另一种极端的情况：形变完全不能够恢复；机械能损失达到最大。

正因为完全非弹性碰撞具备了“形变完全不能够恢复”。

所以在遵从上述的动量守恒定律外，还具德：碰撞双方碰后的速度相等的特征，即u 1=u 2由此即可把完全非弹性碰撞后的速度u 1和u 2表为u 1=u 2=212211m m m m ++υυ 而完全非弹性碰撞过程中“机械能损失最大”的特征可以给出如下证明：碰撞过程中机械能损失表为△E=21m 1υ12+21m 2υ22―21m 1u 12―21m 2u 22 由动量守恒的表达式中得u 2=21m (m 1υ1+m 2υ2－m 1u 1) 代入上式可将机械能的损失△E 表为u 1的函数为△ E=－22112)(m m m m +u 12+222111)(m m m m υυ+u 1+[(21m 1υ12+21m 2υ22) －221m ( m 1υ1+m 2υ2－m 1u 1)2] 这是一个二次项系数小于零的二次三项式，显然：当 u 1=u 2=212211m m m m ++υυ 时，即当碰撞是完全非弹性碰撞时，系统机械能的损失达到最大值△E m =21m 1υ12+21m 2υ22－)(2)(2122211m m m m ++υυ （5）“碰撞过程”的制约通常有如下三种因素制约着“碰撞过程”。

①动量制约：即碰撞过程必须受到“动量守恒定律的制约”；②动量制约：即能机械碰撞过程，碰撞双方的总动能不会增加；③运动制约：即碰撞过程还将受到运动的合理性要求的制约，比如，某物体向右运动，被后面物体迫及而碰撞后，其运动速度只会增大而不应该减小。

（6）“碰撞过程”的推广。

相互作用的双方在相互作用过程中系统所受到的合外力为零时，我们可以将这样的过程视为“广义的碰撞过程”加以处理。

2．“人船模型”的研究（1）“人船模型”问题：如图13—1静止于水面，质量为M 的小船长为质量为m （2）“人船模型”的力学特征 人船模型”的力学特征了：量守恒。

（3）①分析“人船模型”运动过程中的受力特征，进而判断其动量守恒，得m υ=Mu②由于运动过程中任一时刻人，船速度大小υ和u 均满足上述关系，所以运动过程中，人、船平均速度大小，υ和u m υ=M umS 1=MS 2S 1+S 2=LS 1=Mm M +L S 2=M m m +L （4）变例1：如图13—2变例2：如图13—3端悬着质量为m 变例3：如图13—4形凹面轨道，今把质量为m 心等高处静止释放，求M 变例4：如图13—5一个质量可忽略的小环，长L 另一端连着质量为M 移动距离. 3．“fd=△E K ”的运用（1）公式“fd=△E K 如图13—6所示，：质量M 平面上，质量为m 若射入的深度为d 相互作用的力f fd=△E K =21m υ02－21(2)公式“fd=△E K ”的依据.实际上公式“fd=△E K ”是过立在动能定理的基础之上的：仍如图13—6所示，对子弹和木块分别运用动能定理可得.―f(s+d)=21m υ2―21m υ02 fs=21M υ2 将此两代劳相加后整理即可得 fd=21m υ02―21(m+M)υ2=△E K . （3）公式“fd=△E K ”的运用如果是两个物体构成的系统运动过程中除了相互作用的滑动摩擦力外，系统的外力为零，则都可以运用公式fd=△E K来制约系统运动中的能量的转多与转化，应该注意的是：当构成系统的双方相对运动出现往复的情况时，公式中的d 就理解为“相对路程”而不应该是“相对位移的大小”。

三、典型例题例1．A 、B 两小球在光滑水平面上沿同一直线同方向运动共动量分别为P A =5kgm/s ，P B =7kgm/s ，若A 追上B 后与B 碰撞，碰后B 的动量为P B / =10kgm/s ，则A 、B 的质量之比可能为A ．1 ：1B ．1 ：2C ．1 ：5D ．1 ：10分析：此例的求解除了运用碰撞的规律外，还需要关注到碰撞的特征与制约碰撞过程的相关因素。

解答：由“动量制约”知：碰撞过程中A 、B 两球的总动量应守恒即：P A +P B =P A /+P B /由此得：碰后A 球动量为P A /=P A +P B －P B /=2kgm/s由“动能制约”知：碰前总动能不小于碰后总动能，即A A m P 22+B B m P 22≥A A m P 212+BB m P 212代入数据有 A m 225+B m 249≥A m 24+Bm 2100 于是可得B A m m ≤177 由“运动制约”知：考虑到碰后运动的合理性，碰后A 球的速度应不大于B 球的速度，即 A A m P /≤BB m P /代入数据又有 A m 2≤Bm 10 于是又可得B A m m ≥51 由此知：此例应选C 。

例2．试将上述“人船模型”的四种变例给出定量解答。

分析：确认了四种变例其物理本质与“人船模型”相同，于是例可以直接运用相应的结论。

解答：（1）变例1中的“人车模型”与“人船模型”本质相同，于是直接得S 2=M m m +L 解答：（2）变例2中的h 实际上是人相对于地的位移S 1，而绳长则是人与气球的相对位移L ，于是由h=Mm M +L 可解得：绳长至少为L=MM m +h 解答（3）：变例3中小球做的是复杂的曲线运动，但只考虑其水平分运动，其模型例与“人船模型”相同，而此时的相对位移大小为2R ，于是物体M 沿水平而向右移动的最大距离为S 2=Mm m +·2R 解答（4）：变例4m →0S 2=M m m +L →0 例3．如图13—7所示，质量M=2kg 光滑的水平面上，盒子长L=1m ，质量为块从盒子的右端以υ0=6m/s 块与盒子底部间动摩擦因数μ=0.5盒子的何处？解答：由动量守恒定律得m υ0=(m+M)υ由公式“fd=△E K ”又可得μmgd=21m υ02－21(m+M)υ2 代入数据可解得：从开始运动到小物块与盒子相对静止的过程中，小物块的相对路程为d=2.4m由此知：小物块最终相对静止于距盒子右端0.4m 处.单元检测一、选择题1．斜向上发射一物体，不计空气阻力，当此物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂成a 、b 两块，质量较大的a 的速度方向仍沿原来的方向. 则（ ）（A ）b 的速度方向一定与原速度方向相反（B ）从炸裂到落地的这段时间里，a 飞行的水平距离一定比b 的大（C ）a ，b 一定同时到达水平地面（D ）在炸裂过程中，a ，b 受到爆炸力的冲量大小一定相等2．如图13—8所示，大小相等，质量不一定相等的A 、B 、C 三只小球排列在光滑水平面上，碰撞前A 、B 、C 三只小球的动量（以kg ·m/s 为单位）分别是8、―13、―5，在三只小球沿一直线共发生了两次碰撞的过程中，A 、B 两球受到的冲量（以N ·S 为单位）分别为－9、1，则C 球对B 球的冲量及C 球碰后动量的大小分别为：（ ）（A ）―1，3 （B ）―8，3 （C ）10，4 （D ）―10，43．三只完全相同的小球A 、B 、C 以相同的速度分别与另外三个不同的静止小球相碰撞，碰撞后，A 小球被反方向弹回，B 小球与被撞小球粘在一起仍沿原来运动方向运动，C 小球恰好碰后静止.则下列说法中正确的是（ ）（A ）被A 球碰撞的球获得动量最大 （B ）B 球损失动能最多（C ）C 球对被碰球作用的冲量最大 （D ）C 球克服阻力做功最多图13—8 图13—9 图13—20 图13—214．一个光滑的带有弧形槽的小车质量为m ，处于静止状态，另有质量也为m 的铁块以速度V 沿轨道向上滑去，至某一高度后再向下返回.如图13—9所示，则当铁块回到右端时，铁块将（ ）（A ）作速度为V 的平抛运动 （B ）静止于小车右端与小车一起运动（C ）作速度小于V 的平抛运动 （D ）作自由落体运动5．如图13—20所示，为甲、乙两物体相互作用前后的υ－t 图像，已知作用前甲的动量是乙的动量的9倍，由图象可判断（ ）（A ）甲、乙的质量比为3 ；2 （B ）甲、乙作用前后总动量守恒（C ）甲、乙作用前后总动量不守恒 （D ）甲、乙作用前后总动能不变6．如图13—21所示，两物体质量为m 1=2m 2，两物体与水平面间动摩擦因数分别为μ1和μ2，当细线烧断后，压缩轻弹簧在弹开两物体过程中系统的总动量守恒，而且弹簧恢复到原长两物体脱离弹簧时速度均不为零，则（ ）（A ）μ 1 ：μ2= 1 ：2（B ）m 1和m 2的最大速度大小之比υ1 ：υ2= 1 ：2（C ）m 1和m 2脱离弹簧后各自移动的最大距离之比s 1 ：s 2 =1 ：2（D ）两者距离最近时，速率都约为0.33m/s ，方向都与甲车后来的速度方向一致7．两根磁铁放在两辆小车上，小车能在水平面上自由移动，甲车与磁铁总质量为1kg ，乙车与磁铁总质量为2kg ，两根磁铁的S 极相对。