第 7章 线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义
数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：
σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质
设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,
,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,
,ααα线性无关，那么()()()12s ,,
,σασασα
也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，
如果：
11111221221122221122s s
s s m m m ms s
c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++
+
记：
()()112111222
2121212,,,,,
,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
于是，若()dim V n =，12,,
,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,
,m βββ是
V 中任意一组向量，如果：
()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n
b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++
+
记：
()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=
那么：
()()1121112222121212,,,,,
,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
设112111222
212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是
12,,
,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()
12
,r
i i i
σβσβσβ就是
()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的
秩等于秩()B 。
4. 线性变换举例
（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。
零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈。
幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使
得σ
=m
0，就称σ为幂零变换。
幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果2
σσ=，就称σ为幂等
变换。
（2）n
V P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ，令：
1112
22n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。 （3）[]V P x =，()()
()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈。 （4）n n
V P
⨯=，()
ij A a =是V 中一固定矩阵，()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈。
二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法
（1） 定义： 设V 是数域P 上的线性空间，,στ是V 的两个线性变换，定义它们的和
στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈
()()()()στασατα+=+，()()()()στασ
τα=
任取k P ∈，定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈
()()()k k σασα=
σ的负变换-σ为：对任意的V α∈
()()()-=-σασα
则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换。
（2）()L V ={σ
σ为V 的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线
性空间。
2. 线性变换的矩阵
（1）定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,
,n ααα是V 的
一组基，如果：
()()()11111221221122221122n n n n n n n nn n
a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=++
+
那么称矩阵11
2111222212n n n
n
nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵。
此时：()()()()()()121212,,
,,,,
,n n n A σααασασασαααα==
