云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』1z i =+，∴z 对应的点为(1,1)， ∴点位于第一象限，故选：A.『点睛』本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）．A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A.1-B. 1C. 12-D.12『答案』A『解析』因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-又tan()3αβ-=，tan 2β=， 故5tan -116α==-. 故选：A.5.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.3B.C.2D.4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C.D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V=⨯⨯⨯=．故选：B．7.执行如图所示的程序框图，若输出65S=，则输入的N可以是（）A. 3B. 4C. 5D. 6『答案』B『解析』依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：1,1k S ==，第一次循环： 112,1S =+=1N >不成立，第二次循环：112k =+=，111,22S =+=，、2N >不成立； 第三次循环：213k =+=，114,133S =+=3N >不成立；第四次循环：314k =+=，311,44S =+=4N >不成立；第五次循环：415k =+=， 116,155S =+=5N >成立输出65S =.据此可得：4N =. 故选：B.8.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『答案』C『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.9.已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. b c a >>D. b a c >>『答案』D 『解析』ln31b =>，433log 31,log 12a c =<=<， ∴b 最大，343,32a c ==，∴2142323a c a c -=⋅⇒=， 考察函数2xy =与3xy =图象，可得2110c a c a a <-⇒-<-<，∴a c >， ∴b a c >>，故选：D.的10.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDCC. PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A11.设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』B『解析』①()()f x f x -=是偶函数，①正确；②()f x π-|sin()|cos()x x ππ=-+-|sin |cos x x =-()f x ≠, 故()f x 的图象不关于直线2x π=对称，②错误；③去绝对值，则sin cos ,[2,2]()sin cos ,[2,22]x x x k k f x x x x k k πππππππ+∈+⎧=⎨-+∈++⎩)cos ,[2,2]4()),(2,22]4x x x k k f x x x k k πππππππππ++∈+=⎨⎪-∈++⎪⎩故[2,2]x k k πππ∈+，则()[f x ∈-，(2,22x k k ππππ∈++，则()(f x ∈-，综合得()[f x ∈-，即()f x 的最小值为1-，③错误；④由x ∈(,0)π-，化简()|sin |cos f x x x =+sin cos x x =-+)4x π=-，令4t x π=-，则5sin ,(,)44y t t ππ=∈--， 此时sin y t =有且仅有一个极小值点，故()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点. ④正确. 故选：B12.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A.B. C. 3D.32『答案』C『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ,准线l 与x 轴交于点E ，如图：在Rt FED 和Rt FEC ∆中，由勾股定理得：222222112DF EF ED p y p px =+=+=+， 222222222CF EF EC p y p px =+=+=+，又因为DF =，所以2211222222322DF p px p x p px p x CF++===++. 由抛物线定义知，11222x p p FA x +=+=，22222x p p FB x +=+=， 所以12232FA x pFBx p+==+.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=______．『答案』1『解析』如图所示：12AE AB AD =+，DB AB AD =-，所以()22111222⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪⎝⎭AE DB AB AD AB AD AB AD AB AD ， 因为AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=，又2AB =，1AD =，所以2AB =，1AD =， 代入数据可得14112⋅==⨯-=AE DB . 故答案为：114.已知ABC 内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且a =b =4B π=，则c =_____．『答案』3『解析』因为a =b =4B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-可得2522c =+-⨯， 化简可得223=0c c --，解得3c =或-1c =（舍）. 故答案为：3.15.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从两个条件：①3nn n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q 或3q =-（舍去），故2q ，由321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点．（2）连接,,DE NE PO ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥，因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点，PO AD ⊥ 所以PO ⊥平面ABCD ．设AB x =，则363P ABCD V x -==，解得2x =，则PO 1ON =，所以111232D ONE N ODE V V --==⨯⨯⨯=，设D 到平面OEN 的距离为d ，12112OENS=⨯⨯=，所以13d =d =即点D 到平面α 19.经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =． （1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）22:12x C y +=∴椭圆:C 长轴长2a =，半焦距1c =．点M 在C 上，∴122MF MF a +==1||MF MP =，∴2212||r PF MP MF MF MF ==+=+=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 根据题意画出图象：如图A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥∴22121110AF AF x y ⋅=+-=，又221112x y +=， 解得10x =，11y =±，若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得224,313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若11y =-，同理可求得2ABF 的面积：43S =． 综上所述，2ABF 的面积为：43． 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．①求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； ②以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率； （2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大． 解：（1）①当天的销售量12n ≥时，利润12(500300)2400y =⨯-=；当天的销售量12n <且n N ∈时，利润500123005003600y n n =-⨯=-； 所以当天的利润y 关于销售量n 的函数解析式为5003600,12,()2400,12,n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩．②记“当天的利润不低于1900元”为事件A ，由50036001900n -≥，解得11n ≥， 所以事件A 等价于当天的销售量不低于11箱； 所以263022181053()15075P A ++++==，即当天的利润不低于1900元的概率为5375． （2）若当天的进货量为11箱时，日销售量为8箱的利润为700元，日销售量为9箱的利润为1200元，日销售量为10箱的利润为1700元，日销售量不低于11箱的利润为2200元则日平均利润为：11[700101200141700202200(2630221810)]1940150y =⨯+⨯+⨯+⨯++++=（元）若当天的进货量为12箱时，日销售量为8箱的利润为400元，日销售量为9箱的利润为900元，日销售量为10箱的利润为1400元，日销售量为11箱的利润为1900元，日销售量不低于12箱的利润为2400元，则日平均利润为：215720[40010900141400201900262400(30221810)]1503y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++=（元）由于12y y >，所以小李今后应当每天购进11箱基围虾． 21.已知1()22xf x e x =--． （1）证明：()0f x >；（2）对任意1x ≥，sin 21ln 0x e x ax x +--->，求整数a 的最大值． （参考数据：sin10.8,ln20.7≈≈）解：（1）1()22xf x e x =--，则()2x f x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =， 当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增． 所以min 13()(ln 2)22ln 22ln 2022f x f ==--=->，所以()0f x >． （2）由sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >， 由ln 2sin10.812333e e =<<<=，得整数2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明对任意1x ≥，sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立即可． 由（1）知122xe x >+，则有sin 12sin 2xex >+， 由此可得：sin 2221121ln 2sin 21ln 2sin 2ln 22x e x x x x x x x x x x x +--->++---=+---， 令212sin 2)l (n 2x x x x x g =+---，则1()2cos 22g x x x x'=+--， 又21()22sin 0g x x x''=+->，所以()g x '单调递增， 当1x >时，()(1)2cos112cos103g x g π''>=->-=，()g x 在(1)+∞上单调递增．故当1x ≥时，3()(1)2sin102g x g ≥=->，所以sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立， 综上所述：整数a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4—4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=，由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4—5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->.当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x > 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞.因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
