轨迹方程专题讲座(培优五)

|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为( B )
2
2
A.x +(y-2) =20
[解析]
2
2
B.x +(y+2) =20
2

2
由椭圆方程x +
5
2
2
C.x +(y-2) =5
2
2
=1,得a =5,b =1,∴c=
2
2
−
2
2
D.x +(y+2) =5
=2,则A(0,-2),B(0,2)为
椭圆的两个焦点,∴|DA|+|DB|=2a=2 5 ,又|PD|=|BD|,∴|PA|=|PD|+|DA|=
2
1
线与曲线C的两个交点,A1A2的中点为E(x0,y0),可得൝ 2
2
= 41 ,
两式相减得出答案.
= 42 ,
增分微课(四)
解:因为|MI|+1=|MF|=|MH|+1,所以点M的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛
2
物线,所以曲线C的方程为y =4x.
设点A1(x1,y1),A2(x2,y2)为其中任意一条斜率为-2的直线与曲线C的两个交点,
0 = (,).
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨
迹方程.
增分微课(四)
变式题
2 2
(1)设P为双曲线 -y =1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,
4
则点M的轨迹方程是
2
2
A.x -4y =1
( A )
2
2
B.4y -x =1
2

卜人入州八九几市潮王学校金海岸高三数学复习专题讲座曲线轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其本质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化〞将其转化为寻求变量间的关系重难点归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法假设动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹〞与“轨迹方程〞是两个不同的概念典型题例示范讲解Array例1如下列图，P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程此题主要考察利用“相关点代入法〞求曲线的轨迹方程知识依托利用平面几何的根本知识和两点间的间隔公式建立线段AB中点的轨迹方程错解分析欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，假设学生考虑不深入，发现不了问题的本质，很难解决此题技巧与方法对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例2设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线此题主要考察“参数法〞求曲线的轨迹方程 知识依托直线与抛物线的位置关系错解分析当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论 技巧与方法将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )(x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a 由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa ,x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2=－y 1y 2 所以244apa a p =⇒=故x =my +4p ,用m =－y x代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k那么OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1ky x p k=--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上〔O 点除外〕故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三设M (x ,y )(x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k那么OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得 M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆222220xy pk x pky +-+=……②上〔O 点除外〕，①2k ⨯+②得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的HY 圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号HY 圆柱，问这两个HY 圆柱的直径为多少？此题考察“定义法〞求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的才能 知识依托圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 解设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如下列图的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,那么 |PA |+|PO |=(1+r)+(15－r)=25∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长25的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+- 故所求圆柱的直径为76cm 例4A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的间隔比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线解建立坐标系如下列图， 设|AB |=2a ,那么A (－a ,0〕,B (a ,0) 设M (x ,y 〕是轨迹上任意一点那么由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴)(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0〕为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆 学生稳固练习1椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，假设延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是()A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线2设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为()A 14922=+y xB 14922=+x yC 14922=-y x D 14922=-x y3△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________4高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在程度地面上，且相距10 m ，假设把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________5A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程6双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程7双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线ly =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积获得最大值时，求k 的值参考答案1解析∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的间隔等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆 答案A2解析设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 一共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 一共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案C3解析由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=- 答案)4(1316162222ax a y a x >=- 4解析设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0答案4x 2+4y 2－85x +100=05解设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P 由切线的性质知|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6解设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )7解(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为y =)(11m x mx y ++①A 2Q 的方程为y =－)(11m x m x y --②①×②得y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1此即为M 的轨迹方程(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-8解(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0)|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2故R 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距|OC |=21|2|kak +在Rt △AOC 中，∠AOC =45°， 课前后备注。

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【解析】：由题设
F
(
1 2
,0)
.设
l1
:
y
=
a,
l2
:
y
=
b
，则
ab
≠
0
，且
A(
a2
,
a),
b2 B(
, b),
P(−
1
,
a),
Q(−
1
, b),
R(−
1
,
a
+
b)
.
2
2
2
2
22
记过 A, B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x − (a + b) y + ab = 0 .
（Ⅰ） 由于 F 在线段 AB 上，故1+ ab = 0 .记 AR 的斜率为 k1 ， FQ 的斜率为 k2 ，则
标分别为 ( x1, y1 ) ，
(
x2
,
y2
)
，则联立
{
x2 y=
= 4y kx +1
，得 x2 − 4kx − 4 = 0 ①，易得抛物线 x2 = 4 y 在点 A 处
的切线方程为
y
−
1 4
x12
=
1 2
x1 ( x
−
x1 ) ，同理可得抛物线
x2
=
4y
在点
B
处的切线方程为
y
−
1 4
x22
∥ （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.

即圆心为（
轨迹方程为
1 2 2 1 （x- ） +y = 2 4
1 2
0） 半径为
1 2
（x≠0）
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 解法三： 设Q（x 、y ），P（x、y）则 1 1 y
x1 x 2 y y1 2
求轨迹时常用以下方法
课前热身：
1.到两定点的距离的比等于常数K(k≠0)的轨迹是（ ） A.椭圆 B.抛物线 C.圆 . D 直线或圆
x2 2、设 P 为双曲线 4
D
－y =1 上一动点，O 为坐标原点，
2
M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是：__________
2 2 x －4y ＝1
x1 2 x y1 2 y
0
2
Q
P
C x
(2x-1) +(2y) =1
2 2
又
2 （x1-1） +y1 =1
1 (x2
) +y
2
2
1 = 4
（x≠0）
因 x1≠0
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， y 求所做弦的中点的轨迹方程
解法四：设动弦PQ的方程为y=kx， 代入(x-1)2+ y2=1， 得(x-1)2+k2x2=1
2
1 2 2 1 得： （x- ） +y = 2 4
由点Q不能与原点重合，所以 x≠0
1 MP ＝ OC 2
1 ＝ 2
0
C
x
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 y 解法二： ∠OPC＝900 Q P 动点P在以OC为直径 的圆周上已知OC的中点， 0 C x