2021考研高数0基础C3-6函数图形的描绘

什么是函数的图象怎样画函数的图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．函数的图象概念的基础是有序实数对与坐标平面内的点之间一一对应的原理，概念的实质是建立了函数的解析式与其图象间对应关系，开创了数式与形互相转化的雏型．

函数的图象，以满足函数解析式的每个有序实数对为坐标的点都在函数的图象上；

函数图象上任意一点的坐标，都满足函数的解析式．

于是，根据函数解析式与其图象的相依关系，可以由函数解析式的结构特征研究函数的图象的形状、升降等形态，或利用函数的图象发现、研究函数的一些性质，渗透数形结合的思想方法．

【例1】已知函数＝－23＋1，不作函数的图象，解答：

2若点Ca，17在这个函数的图象上，求a的值．

解：1因为9≠－2×23＋1，所以点A2，9不在函数＝－23＋1的图象上．

2因为点Ca，17在已知函数的图象上，所以17＝－2a3＋1，解得a＝－2．

由函数的解析式画其图象的一般步骤是：

1列表．列表给出自变量与函数的一些对应值，关键是选取自变量的值，通常要求是：在函数自变量的取值范围内，按从小到大的顺序均匀取值；还应根据函数解析式的结构特点，决定自变量取值的对称分布，疏密程度，等等．

2描点．以表中的对应值为点的坐标，在坐标平面内描出相应的点时，要明白、记住自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，顺序不能巅倒横、纵坐标相等例外．必要时需复习一下平面直角坐标系一节，根据坐标找出对应点的知识．

3连线．按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描各点连结起来．其中，“平滑”的意义是根据所描各点之间的变化趋势连成曲线包括直线，从整体看是平滑的，其近似程度也会更好些．如果相邻两点间的变化趋势不太清楚时，可在两点之间再多描几个点．一般说来，描出的点越多，图象就越精确．

以上是由函数解析式画其图象的一般步骤，通过画图，能进一步体会函数的图象的意义，为利用图象研究其性质、解决实际问题作准备．

函数图形

基本初等函数

幂函数（1)

幂函数（2)

幂函数（3)

指数函数（1）

指数函数（2）

指数函数（3）

对数函数（1）

对数函数（2）

三角函数（1）

三角函数（2）

三角函数（3）

三角函数（4）

三角函数（5）

反三角函数（1）

反三角函数（2）

反三角函数（3）

反三角函数（4）

反三角函数（5）

反三角函数（6）

反三角函数（7）

反三角函数（8）

双曲函数（1）

双曲函数（2）

双曲函数（3）

双曲函数（4）

双曲函数（5）

双曲函数（6）

双曲函数（7）

反双曲函数（1）

反双曲函数（2）

反双曲函数（3）

反双曲函数（4）

反双曲函数（5）

反双曲函数（6）

y=sin(1/x) (1)

y=sin(1/x) (2)

y=sin(1/x) (3)

y=sin(1/x) (4)

y = [1/x](1)

y = [1/x](2)

y=21/x

y=21/x (2)

y=xsin(1/x)

y=arctan(1/x)

y=e1/x

y=sinx (x->∞)

绝对值函数 y = |x|

符号函数 y = sgnx

取整函数 y= [x]

极限的几何解释 (1)

极限的几何解释 (2)

极限的几何解释 (3)

极限的性质 (1) (局部保号性)

极限的性质 (2) (局部保号性)

极限的性质 (3) (不等式性质)

极限的性质 (4) (局部有界性)

极限的性质 (5) (局部有界性)

两个重要极限

y=sinx/x (1)

y=sinx/x (2)

limsinx/x的一般形式

y=(1+1/x)^x (1)

y=(1+1/x)^x (2)

lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)

lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)

lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)

e的值(1)

e的值(2)

等价无穷小

函数图形的描绘

在中学时我们用描点法来作函数的图像，这种方法常遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得函数的一些重要性态难以准确地显示出来。在本章前两节我们借助于导数的符号讨论了函数图形的升降和凹凸，以及在什么地方有极值点，什么地方有拐点，这样也就基本掌握了函数的性态，并把函数的图形画得比较准确。此外，为了描绘函数图形在无穷远处的走势，还有必要讨论函数图形在无穷远处的变化趋势，即渐近线。

一、渐近线

1、定义

定义 若曲线)(xfy上一动点沿着曲线无限远去时，该点与某条定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线)(xfy的渐近线（如图153）。

2、分类

渐近线可分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线。

（1）水平渐近线 若函数)(xfy的定义域为无穷区间，且

Cxfx)(lim（或Cxfxx)(lim)(） 图153

则称直线Cy为曲线)(xfy的水平渐近线。

例如，因为01limxx，故直线0y为曲线xy1的水平渐近线；又如，因为2arctanlimxx，2arctanlimxx，故直线2y及直线2y均为曲线xyarctan的水平渐近线。

（2）铅直渐近线 若函数)(xfy在点0x处间断，且

)(lim0xfxx

则称直线0xx为曲线)(xfy的铅直渐近线。

注：铅直渐近线定义式)(lim0xfxx中，0xx可换作0xx或0xx，)(xf亦可换作)(xf或)(xf。

例如，因为xx1lim0，故直线0x为曲线xy1的铅直渐近线；又如，因为xxlnlim0，故直线0x为曲线xyln的铅直渐近线。

*（3）斜渐近线 设有函数)(xfy，若 0)]()([limbaxxfx

第五节 函数图形的描绘

分布图示

★ 引言 ★ 渐近线

★ 函数图形描绘的步骤 ★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 内容小结

★ 课堂练习

★ 习题3-5

内容要点

一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；

二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(xfy的图形，其一般步骤如下:

第一步 确定函数)(xf的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数)(xf;

第二步 求出一阶导数)(xf和二阶导数)(xf在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(xf的间断点和导数)(xf和)(xf不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;

第三步 确定在这些部分区间内)(xf和)(xf的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;

第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;

第五步 算出)(xf和)(xf的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.

例题选讲

求曲线渐近线

例1 作函数1)(23xxxxf的图形.

解 定义域为),,(无奇偶性及周期性.