(完整版)指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次

方根，其中n >1，且n ∈N *

． 当n 是奇数时，

a a n

n =，当n 是偶数时，

⎩⎨

⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n

n 2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1*

>∈>=

=

-

n N n m a a

a

a

n

m

n

m n

m

3．实数指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；

（2）rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；

（3）s

r r a a ab =)(

),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，

记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；

0>b ）

． 利用换底公式推导下面的结论

（1）b m

n

b a n a m log log =；

（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函

数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5

1a = （2）3

2

a

-

=

2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3

4y x = （2）)0(2>=m m

m

3、求下列各式的值

（1）2

325= （2）32

254- ⎛⎫

⎪⎝⎭

=

4、解下列方程

（1）13

1

8

x

-

= （2）151243

=-x 指数函数

1、函数)1,0(1

2≠>=-a a a

y x 的图象必过定点 。

2、如果指数函数x

a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ）A 、2a C 、21<

3、下列关系中，正确的是 （ ）

A 、51

31)21()21(> B 、2.01.022> C 、2

.01.022--> D 、115311()()22

- - >

4、比较下列各组数大小：

（1）0.5

3.1 2.3

3.1 （2）0.3

23-⎛⎫

⎪

⎝⎭

0.24

23-⎛⎫

⎪

⎝⎭

（3） 2.5

2.3

-

0.10.2-

5、函数x

x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。

6、函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象与x

y -⎪⎭

⎫

⎝⎛=31的图象关于 对称。

7、已知函数)1,0(≠>=a a a y x

在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的

值 。

8、已知函数)(x f =1

22+-x x a

是奇函数，求a 的值 。

对数（第11份）

1、将下列指数式改写成对数式

（1）1624

= （2）205=a

答案为：（1） （2） 2、将下列对数式改写成指数式

（1）3125log 5= （2）10log 2a =-

答案为：（1） （2） 3、求下列各式的值

（1）64log 2= （2）27log 9 = （3）0001.0lg = （4）1lg = （5）9log 3= （6）9log 3

1= （7）8log 32=

4、已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求n

m a +2的值。

5、若)1(log 3a -有意义，则a 的范围是

6、已知48log 2=x ，求x 的值

对数（第12份）

1、求下列各式的值

（1）)42(log 5

3

2⨯=__________（2）125log 5=__________

（3）1

)01.0lg(10lg 2lg 25lg 2

1-+++=__________

（4）5log 38log 9

32

log 2log 25333-+- =__________

（5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________

（6）1lg 872lg 49lg 2

1

67lg

214lg +-+-=__________ （7）50lg 2lg )5(lg 2

⋅+=__________ （8）5lg 2lg 3)5(lg )2(lg 3

3

⋅++=__________ 2、已知b a ==3lg ,2lg ，试用b a ,表示下列各对数。 （1）108lg =__________ （2）25

18

lg

=__________ 3、（1）求32log 9log 38⨯的值__________；

（2）8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432⨯⨯⨯⨯⨯=__________ 4、设3643==y

x

，求

y

x 1

2+的值__________。 5、若n

m 1

10log ,2lg 3==，则6log 5等于 。

6、已知函数x y a )1(log -=在),0(+∞上为增函数，则a 的取值范围

是 。

7、设函数)1(log 2-=x y ，若[]2,1∈y ，则∈x 8、函数0(3)3(log >+-=a x y a 且)1≠a 恒过定点 。

9、已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在]4,2[∈x 上的最大值比最小值多1，求实数a 的值 。

幂函数（第15份）

1、下列函数中，是幂函数的是（ ）