广东河源中学高一数学培优资料(周期性和对称性)

高一数学第十四周培优资料

函 数 周期性和对 称 性 的 探 究

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的周期性和对称性是函数的基本性质，周期性和对称性不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用周期性和对称性往往能更简捷地使问题得到解决，周期性和对称性还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性和周期性这几个方面来探讨函数与周期性和对称性有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f

(2a－x) （证明略）

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

二、不同函数对称性的探究

定理3.函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理4.①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、周期性的几个结论

1.若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期；

2.若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期； 3.若f（x+a）＝ （a≠0，且f（x）≠0），

则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.

四、对称性的几个结论

1.若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；

2.若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.

3.若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝ b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期；

4.若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期；

5.若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.

五、三角函数图像的对称性列表

函 数

对称中心坐标 对称轴方程

y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2

y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ

y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无

注：上表中k∈Z

六、函数周期性和对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A) 2ab2ab1fx例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例3.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）

(A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+

∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －故选(A)

例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

例5.已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；

②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.其中正确的命题序号是 .

【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t)与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

例6. (2005年·福建) f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( )

A．2 B、3 C．4 D．5

【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，

∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.

例7. 已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是 （ ） A．［ ，+∞） B．（1，］C．［ ，+∞） D．（1， ］

【解析】 由f（x+1）为奇函数得f（－x+1）＝－f（x+1），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（－∞，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+∞）上的图象，由图象易知，f（x）在［ ，+∞）上单调递减，故应选C.

例8． (2005年·广东)对函数f（x）， 当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.

（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.

【解】 （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.y＝f（x）是非奇非偶函数；

(2)由f（4－x）＝f（14－x） f（x）＝f（x+10），

从而知y＝f（x）的周期是10.f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.

7474745454补充题

1．函数xbxaxfcossin)(图象的一条对称轴方程是4x，则直线0cbyax的倾斜角为（B）

A、4 B、43 C、3 D、32

2．若函数)(,)0,4()4sin()(xfPxyxfy则对称的图象关于点的图象和的表达式是（ B ）

A．)4cos(x B．)4cos(x C．)4cos(x D．)4cos(x

3．函数f ( x ) = Asin (x +)( A＞0，>0)的部分图象如图

所示，则f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( 2 006 )的值等于（ B ）

A．0 B．2

C．2 +2 D．2–2

4．(本题满分14分)

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy, 点(11)T，在AD边所在直线上．

（I）求AD边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

解：（I）因为AB边所在直线的方程为360xy，且AD与AB垂直，