第二章随机变量及其分布章末复习PPT课件

函数在理论和应用中都是很重要的,为此,我们有以 下定义：
定义2.1.2 设定义在样本空间 上的随
机变量 ，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意 分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定 为1和0，即：
1, 0,
当出现H时 当出现T时
一旦实验的结果确定了， 的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的 结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验 的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数 量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言 会出 现 何种结果，因而也就无法确定它会取什么 值，即它的取值具有随机性，我们称这样的 变量 为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质， 反过来还可以证明任一个满足这三个 性质的函数 一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2） ；
4）极限性：
lim F（x） F（ ） 0，lim F (x) F () 1
x
x

第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。

2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt

x
2.概率密度 f(x)的性质:
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标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件

= {儿童的发育情况 } X ( ) — 身高
Y ( ) — 体重
Z ( ) — 头围 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能 没有关系—— 即 相互独立
课件
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随机变量的分类 离散型随机变量
非离散型随机变量 — 其中一种重要的类型为 连续性随机变量
引入随机变 量重要意义
◇ 任何随机现象可 被 随机变量描述
P(0 X 1/ 3) F(1/ 3) F(0) 2 / 3 1/ 3 1/ 3
P(0 X 1/ 3) P(X 0) P(0 X 1/ 3) 1/31/3 2/3.
பைடு நூலகம்
课件
22
§2.3 离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
课件
14
再如，用随机变量
X
(
)

1, 0,
正面向上 反面向上
描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则
( X () 1) — 正面向上
也可以用
Y
(
)

0, 1,
正面向上 反面向上
描述这个随机试验的结果
课件
15
例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往 需要多个指标，例如，身高、体重、头围等
解 P(1 X 3) P(X 2) P(X 3)
0.42 0.6 0.43 0.6 0.1344
或 P(1 X 3) F (3) F (1)
0.42 0.6 0.43 0.6 0.1344
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P(X 2) 1 P(X 2)

P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx