2015高考数学二轮复习热点题型专题二十九 数列的概念与简单表示法

高中数学基础之数列的概念及表示法数列在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度不高，以考查a n与S n的关系为主．1．数列的有关概念n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类考点一 数列的有关概念及通项公式例1 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) 答案 C解析 数列0，23，45，67，…的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)，故选C.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝10，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 C解析 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝10，令n ＝1，m ＝9，代入可得S 1＋S 9＝S 10，即S 1＝S 10－S 9，故a 1＝a 10＝10，故选C.总结：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．考点二 a n 与S n 的关系及其应用例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a n 等于( ) A ．3×4nB ．3×4n ＋1C ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 D ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2＋1，n ≥2 答案 C解析 由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2).两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n (n ≥2)，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又由a 1＝1，得a 2＝3a 1＝3，a 2≠4a 1，所以当n ≥2时，a n ＝a 2×4n －2＝3×4n －2.所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.故选C. 例4 已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝4n －1D ．a n ＝4n ＋1 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，整理，得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1，因为a n >0，所以a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －34－⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2n －1＋12a n －1－34＝14a 2n －14a 2n －1＋12a n －12a n －1，整理，得a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以a 1＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，故选B.总结：对含有a n 与S n 的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n ”都换成“n －1”，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题．(2)转化为和和关系：借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 或a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解．考点三 由递推关系研究数列的周期性例5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－11＋a n ，则a 2021＝( )A ．1B ．－12 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 当n ＝1时，a 2＝－11＋a 1＝－12，当n ＝2时，a 3＝－11＋a 2＝－2，当n ＝3时，a 4＝－11＋a 3＝1，当n ＝4时，a 5＝－11＋a 4＝－12，所以数列{a n }的周期为3，因为2021＝3×673＋2，所以a 2021＝a 2＝－12.故选B.例6 若P (n )表示正整数n 的个位数字，a n ＝P (n 2)－P (2n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2021＝( )A ．－1B ．0C ．1009D ．1011 答案 C解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝5，a 6＝4，a 7＝5，a 8＝－2，a 9＝－7，a 10＝0，a 11＝－1，a 12＝0，…，所以数列{a n }为周期数列，且周期为10，因为S 10＝5，所以S 2021＝5×202＋(－1)＝1009，故选C.总结：(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性． 考点四 数列的单调性及数列的最大(小)项例7 若a n ＝2n 2＋tn ＋3(t 为常数)，n ∈N *，且数列{a n }为递增数列，则实数t 的取值范围为( )A ．t <－2B ．t >－2C ．t <－6D ．t >－6 答案 D解析 因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n ，在n ∈N *时恒成立．所以a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋3]－(2n 2＋tn ＋3)＝4n ＋2＋t >0，即t >－4n －2在n ∈N *时恒成立，而n ＝1时，(－4n －2)max ＝－6，所以t >－6.故选D.总结：(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性．(2)求数列最大项的方法：设数列{a n }中的第n 项最大，建立不等式组求解即可得出结果． 提升篇例8 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n (n ≥2)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为( )A ．294 B ．223 C ．213 D ．436答案 A解析 因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，所以1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，因为数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n＝2n －1(n ≥2)，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n （2n －1＋1）2＝n 2，当n ＝1时也成立，所以b n ＋13n ＝n 2＋13n ＝n ＋13n .设f (x )＝x ＋13x ，x ∈[1，＋∞)，则f ′(x )＝1－13x 2＝x 2－13x 2.所以函数f (x )在(1，13)上单调递减；在(13，＋∞)上单调递增．而f (3)＝3＋133＝7＋13，f (4)＝4＋134＝7＋14，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为294.故选A.例9 设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，3]B ．(1，3)C ．(2，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 答案 C解析 因为a n ＝f (n )，f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，所以a n ＝⎩⎨⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n >7.因为数列{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 2>18－7a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－9，即2<a <3.故选C. 综上，数列需要学生达到的标准为：1．能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式．3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．。

解：由 a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23， a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想 an＝2n(n∈N*)． 证明如下： 由 a1＝2，an＋1＝2an，
得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1＝2·2·…·2·2＝2n. 又当 n＝1 时，a1＝21＝2 成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
跟踪练习
1.已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归 纳出各数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1
＝12[(n－1 1－n＋1 1)＋(n－1 2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋ 1＝12(－n＋1 1－1n＋12＋1)＋1

第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)考情分析考点新知理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.1. (必修5P32习题1改编)一个数列的前四项为－1，12，－13，14，则它的一个通项公式是________．答案：a n＝(－1)n1n2. (必修5P31练习2改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n＋12n＋3，则这个数列的第5项是________．答案：a5＝6133. (必修5P44习题8改编)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，则a6＋a7＋a8＝________．答案：48解析：a6＋a7＋a8＝S8－S5＝88－40＝48.4. (必修5P32习题6改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋5，这个数列的最小项是________．答案：－11解析：由a n ＝(n －4)2－11，知n ＝4时，a n 取最小值为－11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数． 2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列． 项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1，2，3，…)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f(n)(n ＝1，2，3，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[备课札记]题型1 由数列的前几项写通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，… (2) 1，0，13，0，15，0，17，…(3) a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，… (5) 1，22，12，24，14，… 解：(1) a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)． (2) a n ＝1－（－1）n2n.(3) a n ＝（－1）n ＋1（a －b ）＋a ＋b2.(4) a n ＝1－110n .(5) a n ＝(2)1－n .变式训练写出下列数列的一个通项公式： (1) －12，2，－92，8，－252，…(2) 5，55，555，5555，… (3) 1，3，6，10，15，… 解：(1) a n ＝(－1)nn 22. (2) a n ＝59(10n －1)．(3) a n ＝n （n ＋1）2.题型2 由a n 与S n 关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n . (1) S n ＝3n －1； (2) S n ＝n 2＋3n ＋1.解：(1) n ＝1时，a 1＝S 1＝2. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，a n ＝1符合上式． ∴ a n ＝2·3n －1. (2) n ＝1时，a 1＝S 1＝5. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2. 当n ＝1时a 1＝5不符合上式．∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)的导函数f′(x)＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值．解：由题意可知：∵ f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，∴ f ′(x)＝2ax ＋b ，由f′(x)＝－2x ＋7对应相等可得a ＝－1，b ＝7，∴ 可得f(x)＝－x 2＋7x.因为点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n＝－n 2＋7n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，a 1＝6适合上式， ∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 题型3 数列的性质 例3 如下表定义函数f(x)：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f(a n －1)，n ＝2，3，4，…，求a 2 008.解：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n .所以a 2008＝a 4＝2. 备选变式（教师专享）已知数列{}a n 的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求数列前30项中的最大项和最小项．解：∵a n ＝1＋99－98n －99，∴当n ≤9时，a n 随着n 的增大越来越小且小于1，当10≤n ≤30时，a n 随着n 的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a 10，最小项为a 9.1. 已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是________． 答案：a n ＝n解析：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n .∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1.∴ a n ＝n.2. 设a ＞0，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．答案：2＜a ＜3解析：由{a n}是递增数列，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，a 8＞a 7，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ＜－9或a ＞2，∴ 2＜a ＜3.3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2解析：由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.4. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ，则a 3＝________．答案：－116解析：当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116.5. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．答案：4解析：设最大项为第k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k ≥（k ＋1）（k ＋5）⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k≥（k －1）（k ＋3）⎝⎛⎭⎫23k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10，∴ k ＝4.1. 若a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．答案：(－3，＋∞)解析：解法1：(函数观点)因为{a n }为单调递增数列，所以a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞n 2＋λn ＋3，化简为λ＞－2n －1对一切n ∈N *都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2：(数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，所以a 1＜a 2，要保证a 1＜a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx ＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2＜32，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．2. 已知a n ＝n ×0.8n (n ∈N *)． (1) 判断数列{a n }的单调性；(2) 是否存在最小正整数k ，使得数列{a n }中的任意一项均小于k ？请说明理由． 解：(1) ∵a n ＋1－a n ＝4－n5×0.8n (n ∈N *)，∴n ＜4时，a n ＜a n ＋1；n ＝4时，a 4＝a 5；n ＞4时，a n ＞a n ＋1.即a 1，a 2，a 3，a 4单调递增，a 4＝a 5，而a 5，a 6，…单调递减．(2) 由(1) 知，数列{a n }的第4项与第5项相等且最大，最大项是4554＝1024625＝1399625.故存在最小的正整数k ＝2，使得数列{a n }中的任意一项均小于k.3. 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．(1) 设数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2) 在“凸数列”{a n }中，求证：a n ＋3＝－a n ，n ∈N *；(3) 设a 1＝a ，a 2＝b ，若数列{a n }为“凸数列”，求数列前2011项和S 2 011.(1) 解：a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，故S 6＝0.(2) 证明：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋3，所以a n ＋3＝－a n .(3) 解：由(2) 的结论得a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，即a n ＋6＝a n . a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ， ∴S 6＝0.由(2)得S 6n ＋k ＝S k ，n ∈N *，k ＝1，…，6， 故S 2 011＝S 335×6＋1＝a 1＝a.4. 已知数列的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)．(1) 求{a n }的通项公式；(2) 令T n ＝⎝⎛⎭⎫45nS n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)，① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n. 整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得S n ＝n(n ＋1)，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫45n(n 2＋n)． 故T n ＋1＝⎝⎛⎭⎫45n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1，T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n ＋1[（n ＋1）2＋（n ＋1）]，⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n －1[（n －1）2＋（n －1）]，即⎩⎨⎧n ≥45（n ＋2），45（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有T n ≤T m ， 此时m ＝8或m ＝9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．3. 通项a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

a2 a1
－1)·…·f(3)·f(2)，即an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n).
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根据下列条件，确定数列{an}的通项公式. (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2. [思路点拨]
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[课堂笔记] (1)∵an＋1＝3an＋2，

n 1, Sn1 n ≥
2
,
[特别警示] 在应用此关系式求通项时，要分n＝1和n ≥2
两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表
示，若能，将n＝1的情况并入n ≥2时的通项an；若不能， 就用分段函数表示.
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(2009·安徽高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2 n2＋2 n ，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝an2 ·bn，证明：当且仅当n ≥3时，cn＋1＜cn.
解析：数列的通项公式是an＝ 2n 1 ，令3 5 ＝
，
解得2nn ＝ 123，所以3 答案：B
是这个数列5 的第23项.
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3.已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2 ， n ∈N*，则a100
＝
()
A.3198
B.3199
C.3200
D.3201
解析：a100＝
T100 T99
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1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
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1.数列的概念 按照一定顺序 排列着的一列数称为数列，一般用 {an}表 示，数列中的每一个数叫做这个数列的项.