当前位置：文档之家 › 正余弦定理的应用举例,教案设计

正余弦定理的应用举例,教案设计

  • 格式：docx
  • 大小：20.16 KB
  • 文档页数：12

精品文档 2016 1 / 12

正余弦定理的应用举例,教案设计 正、余弦定理的应用举例（1） 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决. 典例剖析 题型一 距离问题 精品文档 2016 2 / 12

例1.如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结 ，由已知 ， ， ，又 ， 是等边三角形， ，由已知， ， ， 在 中，由余弦定理， ． ． 因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时）．答：乙船每小时航行 海里． 题型二 高度问题 例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 ，沿BE方向前进30，至点处测得顶端A的仰角为2 ，再继续前进10 至D点，测得顶端A的仰角为4 ，求 的大小和建筑物AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 AD中， A=B=30， AD=D=10 ， AD =180 -4 ， = 。 sin4 =2sin2 s2 s2 = ,得 2 =30 =15 ， 在Rt ADE中，AE=ADsin60 =15 答：所求角 为15 ，建筑物高度为15 精品文档 2016 3 / 12

解法二：（设方程求解）设DE= x，AE=h 在 Rt AE中,(10 + x) + h =30 在 Rt ADE中,x +h =(10 ) 两式相减，得x=5 ,h=15 在 Rt AE中,tan2 = = 2 =30 , =15 答：所求角 为15 ，建筑物高度为15 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得 BA= ， AD=2 ， A = B =30 , AD = D =10 在Rt AE中，sin2 = ------ ① 在Rt ADE中，sin4 = , ---- ② ② ① 得 s2 = ,2 =30 , =15 ，AE=ADsin60 =15 答：所求角 为15 ，建筑物高度为15 评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出。 备选题 角度问题 例3．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 处获悉后，测出该渔轮在方位角为 ，距离为 的 处，并测得渔轮正沿方位角为 的方向，以 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 ，时间精确到 ）. 解：设舰艇收到信号后 在 处靠拢渔轮，则 ， ，又 ， . 由余弦定理，得 精品文档 2016 4 / 12

， 即 . 化简，得 ， 解得 （负值舍去）. 由正弦定理，得 ， 所以 ，方位角为 . 答 舰艇应沿着方向角 的方向航行，经过 就可靠近渔轮. 评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。 点击双基 一. 选择题： 1．在△AB中，下列各式正确的是 （ ） A. ab ＝sinBsinA B.asin＝sinB .asin(A＋B)＝sinAD.2＝a2＋b2－2abs(A＋B) 解：根据正弦定理得 ,又 sin=sin(A+B), asin(A＋B)＝sinA 答案： 精品文档 2016 5 / 12

2．海上有A、B两个小岛相距10 nile，从A岛望B岛和岛成60°的视角，从B岛望A岛和岛成75°角的视角，则B、间的距离是 （ ） A.52 nile B.103 nile . 1036 nile D.56 nile 解：根据题意知：AB=10，A=60°,B=75°则=45°, a= = =56 答案：D 3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） ?A. 米? B. 米. 200 米 D. 200米 解：如图，设塔高AB为h， Rt△DB中，D＝200，∠BD＝90°-60°＝30°

在△AB中，∠AB＝∠BD＝30°，∠AB＝60°-30°＝30° ∴ ∠BA＝120° ∴ ∴ （） 答案：A 4．某人以时速a k向东行走，此时正刮着时速a k的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 . 答案：东南 2 a 5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后船沿南偏精品文档 2016 6 / 12

东60°的方向航行30 nile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 解：103 课后作业 1．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2 ，则这个三角形的最大角是 （ ） A.135° B.120° .60° D.90° 解：根据三角形中大边对大角，可知a2＋ab＋b2 所对的角为最大角，设为 ，则 s = =- , 120° 答案：B 2．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A. 、a、bB. 、β、a .a、b、γD.α、β、γ 解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、γ，利用余弦定理 可求AB的长度。 答案： 3. 海上有A、B、三个小岛，已知A、B之间相距8 n ile，A、之间相距5 nile，在A岛测得B岛和岛的视角为60°，则B岛与岛相距的n ile数为 ( ) 精品文档 2016 7 / 12

A.7 B.6 .5 D.4 解：根据题意知：AB=8，A=5,∠A=60°, 根据余弦定理有B =8 =49， B=7 答案：A 4．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 ，沿BE方向前进30 至点处测得顶端A的仰角为2 ，再继续前进10 至D点，测得顶端A的仰角为4 ，则 等于( ) A．15°B．10° ．5°D．20° 解：如图，B＝A，D＝DA， 设AE＝h，则 ∴ 2s2 ＝ ，∴ s2 ＝ ∴ 2 ＝30°，∴ ＝15°． 答案：A 5. 某人朝正东方向走x k后，向左转150°，然后朝新方向走3 k，结果他离出发点正好是 k，那么x的值为( ) A. B.2 .2 或 D.3 解：如图，设出发点为A，则由已知可得 AB＝x千米，B＝3千米 ∠AB＝180°-150°＝30° A＝ ，∴ ， ∴ ， 精品文档 2016 8 / 12

∴ ∠AB＝60°或∠AB＝120° 当∠AB＝60°时，∠AB＝180°-30°-60°＝90° x＝2 千米 当∠AB＝120°，∠AB＝180°-120°-30°＝30° ∴ x＝A＝ 千米 答案： 6. 已知一塔高80，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60°和30°，则山高为 ( ) A.240 B.180 .140 D.120 解：D 7.如图,建造一幢宽为 ,房顶横截面为等腰三角形的住房,则∠AB= ,则 等于( )时,可使雨水从房顶最快流下. A.300 B.450 .600 D.任意角 解：根据题意知s=AB= ，加速度a=gsin . 由s= 得t = , =45 时t最小 答案：B 8.一艘船以4k/h的速度沿着与水流方向成120 的方向航行,已知河水流速为2k/h,则经过 ,该船的实际航程为 ( ) A. B. . D. 解：船的实际速度是v= =2 ,则经过 ,该船的实际航程为2 =6 答案：B 精品文档 2016 9 / 12

二．填空题 9．一蜘蛛沿东北方向爬行x 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________． 解：如图， ∠AB＝180°-105°＝75° ∠BA＝180°-135°＝45°， B＝10 ∴ ∠A＝180°-75°-45°＝60° ∴ 10．坡度为45°的斜坡长为100 ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________． 解：如图，DB＝100 ∠BDA＝45°，∠BA＝30° 设D＝x ∴ (x＋DA)•tan30°＝DA•tan45° 又DA＝BD•s45°＝100× ∴ x＝ -DA

＝50 ( -1) ＝50( )() 答案：50( )

合集下载

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修

高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修

教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。

教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。

二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。

三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。

四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。

教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。

北师大版中职数学拓展模块一上册第18课 正弦定理、余弦定理的简单应用14教案

北师大版中职数学拓展模块一上册第18课 正弦定理、余弦定理的简单应用14教案

第二单元2.4.4《正弦定理、余弦定理的简单应用》教案授课题目正弦定理、余弦定理的简单应用授课课时2课型讲授教学目标知识与技能：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的计算应用.过程与方法：能用正弦定理、余弦定理，结合三角变换知识解决面积问题. 情感、态度与价值观：让学生透过计算领会数学知识解决问题的实用性.教学重难点重点：正弦定理、余弦定理的应用难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路一、创设情境复兴岛位于上海杨浦区东南部的黄浦江下游，呈月牙形，是浦江内唯一的封闭式内陆岛，拥有得天独厚的自然地理条件。

未来的复兴岛开发规划要立足高起点、高水准、高品质，项目定位将与大虹桥枢纽、上海迪士尼同等级。

若将复兴岛近似看成图中的三角形ABC,通过测量发现,南北AB长约3.42公里，BC长约2.3公里，∠C=134°,根据测得的数据，可以计算评估复兴岛的面积么？（精确到0.01）感受城市生活情景，思考、讨论解决问题的方法以未来城市规划为实例，激起学生的学习兴趣二、温故知新对任意的∆ABC ，我们已经学习了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；1、正弦定理：a sin A =bsin B=csin C2、余弦定理：3、三角形面积公式：S∆ABC=12bcsin A=12acsin B=12absin C三、例题分析例1 如图，在∆ABC中，B=120°， a=√3，b=3,求三角形的面积.【分析】求三角形的面积，首先得知道两边及其夹角，有a、b，需求解角C.根据三角形内角和定理知道角B还需要求角A，根据正弦定理可以求角A. 温故而知新，复习相关知识点，思考它们的作用和计算方法.由教师主导，复习正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，分析它们应用解决问题的方法。

五、巩固练习例3 在∆ABC中，已知A=120°，a=3，b=√3，求B及三角形的面积.解由正弦定理：asin A =bsin B得sin B=12∴B=30°或B=150°（舍去）∴C=30°S∆ABC=12absin C=12×3×√3×sin30°=3√34例4 在∆ABC中，已知b=√2，c=2，B=30°，求C及三角形的面积.解由正弦定理：bsin B =csin C，得sin C=√22∴C=45°或C=135°∴A=105°或A=15°（1）A=105°S∆ABC=12bcsin A=12×√2×2×sin105°=1+√32（2）A=15°S∆ABC=12bcsin A=12×√2×2×sin15°=−1+√32例5 在∆ABC中，已知b=6，c=4，A为锐角，且cosA是方程2x2−12=0的一个解，求三角形的面积.解∵cosA是方程2x2−12=0的一个解∴cosA=12或cosA=−12又∵A为锐角∴cosA=12或cosA=−12（舍去）∴sinA=√32（sin2A+cos2A=1）S∆ABC=12bcsin A=12×6×4×sinA=6√3例6 复兴岛位于上海杨浦区东南部的黄浦江下游，呈月牙形，是浦江内唯一的封闭式内陆岛，拥有得天独厚的自然地理条件。

《正、余弦定理的应用举例》导学案

《正、余弦定理的应用举例》导学案

《正、余弦定理的应用举例》导学案考纲要求进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量和几何计算有关的实际问题；教学重点运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题教学难点如何建立解三角形模型的问题教学过程设计一、回归课本，引入课题１、正弦定理=Aa sin ＝ ＝２Ｒ，其中２Ｒ为△ABC 外接圆的直径。

变式：a = ,b = ,c = .a ：b ：c = : : .２、余弦定理=2a ; =2b ;=2c . 变式：cosA= ;cosB= ;cosC= . ３、解三角形（１）已知三边，运用 求三角；（２）已知两边及夹角，运用 可求第三边；（３）已知两边及一边对角或已知两角和一边，运用 可解三角形。

４、三角形常用面积公式（１）Ｓ＝ ；（２）Ｓ＝ ＝ ＝A bc sin 21＝Rabc 4 （３）Ｓ＝()c b a ++r 21（r 为内切圆半径）. 前几节课我们复习了正弦定理、余弦定理在解三角形和判断三角形形状中的应用，其实正弦定理、余弦定理在实际测量中也有许多应用，下面我们就来学习它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。

二、推陈出新、探究新知题型一 测量距离问题大家之前复习了课本上的例１和例２，比较一下例１和例２，它们有什么联系和区别？例１是测量从一个可到达的点到 的点之间的距离的问题； 例２是测量两个 之间的距离的问题。

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解。

注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当。

例１某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如下图，求炮兵阵地到目标的距离。