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1.1.余弦定理-人教A版必修五教案一、教学目标1.知道余弦定理的表述和含义；2.掌握余弦定理的使用方法，能够解决与三角形边长和角度有关的问题；3.运用余弦定理解决实际问题。
二、教学重点1.了解余弦定理的含义和意义；2.掌握余弦定理的使用方法。
三、教学难点1.运用余弦定理解决实际问题。
四、课前准备1.根据教材内容，精心准备三角形问题的练习题；2.准备黑板笔、板书、三角板等教具。
五、教学步骤与内容1. 余弦定理的引入（5分钟）余弦定理是解决三角形问题的重要定理，那么在引入该定理的时候，我们可以从以下几个角度来讲解：1.引入三角形的“cos定理”；2.以实例讲解余弦公式的基本内涵；3.通过简单的问题分析帮助学生理解该定理的重要性。
2. 余弦定理的推导（10分钟）在学习定理的时候，很多时候我们需要通过推导，来观察其内涵和基本原理。
而在推导该定理的时候，我们可以运用以下几个步骤：1.通过向量的基本公式了解cos值的含义；2.通过向量的点积公式导出cos值的计算公式；3.运用将向量分解的方法，得到余弦定理的推导过程；4.总结上述步骤，为学生进行详细讲解。
3. 余弦定理的应用（25分钟）学生在学会余弦定理的推导过程后，我们需要让他们通过一些实际问题来进行余弦定理的应用练习。
为了使学生对余弦定理的应用有更多的了解，我们可以运用以下几个练习题：1.让学生描述自己在余弦定理的学习中的收获；2.通过代入余弦定理，让学生求解三角形边长问题；3.通过代入余弦定理，让学生求解三角形内角余弦值问题；4.设计更多实用的练习题，让学生在运用余弦定理中不断巩固知识。
4. 教学总结与思考（10分钟）在教学结束后，我们需要对本次教学进行总结和思考，可以从以下几个方面来进行：1.总结本次课堂主要内容和重点难点；2.整理一下学生在课堂上提出的问题，并对其进行解答；3.尝试引导学生思考本节课所包含的数学思想和意义；4.根据本次课程，给学生布置一组自主思考和解决的练习。
备课资料 一、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC 中,设三内角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C . ∵AB CB AC =+, ∴AC AB CB AC AC •=+•)(. ∴AC AB CB AC AC AC •=•+•.∴A AC AB C CB AC AC cos )180cos(2=-︒+.∴.cos cos A AB C CB AC •=-.∴b -aco s C =ccos A ,即B =cco s A +aco s C .类似地有C =aco s B +bco s A ,a =bcos C +cco s B .上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:(1)已知两角及其中一个角的对边,如A 、B 、A ,解△ABC .解：①根据A +B +C =π,求出角C ;②根据Cc A a B b A a sin sin sin sin ==及,求B 、C . 如果已知的是两角和它们的夹边,如A 、B 、C ，那么先求出第三角C ,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角,如A 、B 、C ,解△ABC .解：①根据C 2=A 2+B 2-2abco s C ,求出边C ;②根据co s A =bca cb A 2cos 222-+,求出角A ; ③由B =180°-A -C ,求出角B .求出第三边C 后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A 、B 较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a 、b 、A ,解△ABC .解：①Bb A a sin sin =,经过讨论求出B ; ②求出B 后,由A +B +C =180°，求角C ;③再根据C c A a sin sin ,求出边C . (4)已知三边A 、B 、C ,解△ABC .解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A +B +C =180°,求出第三个角.另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角. (5)已知三角,解△ABC .解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.三、“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．。
编写时间：2021年月日2021-2022学年第一学期编写人：形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机. （二） 分析问题，确定方案探究一：已知两边及其夹角解三角形问题：怎样确定解决问题的方案？设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向.学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果.过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理.必要时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明.使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高. （三） 发现定理，分析内涵不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵.思考：观察C ab b a c cos 2222-+=的结构特征，谈一谈你对等式的理解.设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论. （四） 解决问题，理解定理得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程.探究二：已知三边解三角形设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理. （五） 例题展示，巩固定理例：在ABC ∆中，已知,30,3,32︒===A b c 解三角形.设置意图：巩固熟悉余弦定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对正余弦定理解三角形有进一步的体验. （六） 课堂小结，提炼过程思考：余弦定理及其推论发现和证明的过程是怎样的？在这个过程中你有 什么体会？设置意图：小结环节设置了两个问题：谈过程，谈体会.目的是不但让学生经历整个探究学习过程，还能在此基础上对本节课有整体的认识，说出整个过程的环节，感受以及发现证明定理运用的方法等. （七） 布置作业，课后探究（1） 课本10P A 组3,4题（2） 拓展思考：相等和不等是一对辩证的关系，请根据角的范围讨论余弦定理中所蕴含的相等和不等关系.设置意图：作业一是巩固熟悉利用余弦定理解三角形，作业二的目的是进一步挖掘余弦定理的内涵.。
福建省长乐第一中学高中数学必修五《1.1.2 余弦定理（一）》教案教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC ∙=+∙+222AB AB BC BC =+∙+ 222||||cos(180)AB AB BC B BC =+∙-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等. ⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .分析已知条件 →讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法） （答案：b =060A =）→小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形.→变式：求sin B sin C；sin B＋sin C.3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.。
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
1.1.2余弦定理（二）一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
四、教学设想[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]1。
教材P8面第2题2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 ︒===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 10,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 ︒===50,13,12C b a（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）（4）已知三角形的三条边。
1.2余弦定理（教学设计）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学过程：一、创设情景 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、新课讲解：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理教学设计一、教学目标： （1）由已有的知识直角三角形、正弦定理进一步研究三角形中其他的边角关系。
（2）学生合作探究通过直角三角形等已有知识，经历余弦定理的证明过程。
（3）注重公式结构及变形，掌握公式的内在联系 （4）公式的顺用与逆用二、教学重点：余弦定理的发现及证明过程 教学难点：余弦定理的发现及证明三、信息化设备：电子白板，录播室，几何画板 四、教学过程 知识回顾; ：(1)在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C=== (2) 运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。
”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。
”等解三角形问题余弦定理的教学过程：1）创设情境，激发学生兴趣我们已经解决了两边及一边对角，以及两角一边解三角形----------正弦定理。
问题1：思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC BC a AC b BCA C ∆==∠=中，求c 即AB 。
我们发现用正弦定理已无法解决这个问题，这就需要我们继续研究三角形中其他的边角关系。
问题2：我们研究问题的途径是什么？（由特殊到一般）问题3：怎样把一般三角形化为特殊三角形呢？（分割、辅助线化为直角三角形）问题:4、怎样表示出三角形的边c 呢？让学生遇到问题，激发兴趣，尝试解决 2）余弦定理的得出及推导：先让学生尝试具体问题：①已知三角形ABC 中，a=5，b=1，C= 60，求第三边c进而，改为字母：②已知三角形ABC 中，BC=a ，AC=b ，∠ACB=C ，试用a ，b 及C 表示第三边c设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。
小组合作探讨：证明：学生可能想法有方法（1）化归为直角三角形，作BD ⊥AC 于D ，教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想C ab b a C a b C a CD AC BD AD BD AB cos 2)cos ()sin ()(222222222-+=-+=-+=+=方法（2）教师引导：在证明正弦定理时BC BA AC =+两边同时乘以AD 推出正弦定理那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）向量法AB AC CB =+)cos(2)(222222C CB AC -⋅++=⋅++=+=∴πC ab b a c cos 2222-+=∴方法（3）教师引导：向量是二维空间的数，能否转化到二维空间推导呢？（建系） 请学生尝试坐标法以C 为原点，CB 为x 轴建立直角坐标系，则A （bcosC ，bsinC ）,,B （a ，0）,C ab a b C b a C b AB cos 2)sin ()cos (22222-+=+-=同理可得，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+= 教师可以借助用几何画板形象直观的反映出数量关系。
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
1.2.1 余弦定理教学设计一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
二、学生学习情况分析在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情。
三、设计思想本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学三维目标知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。
过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
五、教学重点与难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。
难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。
六、设计过程cos cos AC C b C BD=CD-BC=bcosC-a Rt △ABD 中，2222(sin )(cosC-)ADBDb C b a222cos abab C方法2：（向量法）边→模→数量积如图：22222222()22cos =2cos CB CA AB CB CA CB CA CB CA abab CAB a b ab C 可得从而方法3：（建立直角坐标系）222cos ;c ac B 222cos a b ab C 语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两2c a bc2ac；222b c abab C是2cos;的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应3归纳整理内化知识问题：从知识、思想、方法等不同角度回顾一下这节课有何收获？知识要点：（1）余弦定理及其推论 （2）余弦定理的作用（3）余弦定理的结构特点思想方法：本课涉及“类比” “特殊到一般”“分类讨论”“化归与转化”“方程”等思想方法。
§1.1.2 余弦定理一、教学内容分析《余弦定理》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书•必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学情分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、教学目标（一）知识与技能： 1.理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2.掌握余弦定理的推导、证明过程。
（二）过程与方法：1.能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
2.通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观：在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
四、教学重难点（一）教学重点：余弦定理的发现过程及定理的应用。
（二）教学难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
五、教学过程（一）温故引新特例激疑1.正弦定理的内容是什么？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即：asinA =bsinB=csinC.2.应用正弦定理可以解决所有的解三角形问题吗？如图，在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠CAB=A，求BC即a。
课题:§1．1．2余弦定理应用授课类型：习题课【教学目标】1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】 重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】【知识梳理】1．余弦定理：(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆4.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 【典例应用】题型一 根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0)则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1) ＝－12∴C ＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。
1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得+=∴,cos 2)1802)()(22a B ac c B BC AB +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2-2AC COB由向量减法的三角形法则，可得-=∴2222cos 22)()(c A bc b A AB AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A由向量加法的三角形法则,可得-=+=∴,cos 22)()(22222a C bab C AC BC AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco sC [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A ;与是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;与是同终点,则夹角仍是角C [合作探究师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41c 由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s 82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的 下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2 ∴C 1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2 ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A (2)已知a =20,b B =29,c =21，求B (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A∴A由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题板书设计 1.余弦定理 2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法已知三边求任意角;学生练习。
