【人教版】高中数学必修一：《集合间的基本关系》课件

一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识学习 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
二 知识铺垫
根据上节所学表示集合的方法，用合适的方法表示下列集 1. 集合A是小于8的质数组成的集合；
集合B是小于8的正整数组成的集合. 2. 集合A是不等式x-7＞0的整数解组成的集合；
集合B是不等式x-7＞0的解集. 1. 集合A是两边相等的三角形组成的集合；
2019/7/8
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2019/7/8
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B
A
用平面上封闭曲线的内部代表 种图称为Venn 图.
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识学习 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
2. 集合相等
看下面集合A={x|x是两边相等的三角形}；B={x|x是等腰三角
在上例中，由于“两边相等的三角形”是等腰三角形，因此集合A、B都 腰三角形组成的集合，即集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，同 中任何一个元素都是集合A中的元素.这样集合A与集合B的元素是一样的
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识学习 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
3. 真子集 4. 空集
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识学习 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
四 知识创新
由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论： 1) 任何一个集合是它本身的子集，即
2) 对于集合A、B、C，如果
{b}.
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识学习 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
五 知识强化
练习1 用适当的符号填空： 1) a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}； 3) ○ ____{x∈R|x2+1=0}； 4) {0，1} ____N； 5) {0} ____{x|x2=x}； 6) {2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.

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三、教师点拨
1.集合的相等
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三、教师点拨
2.真子集定义
一般地，若集合A中的元素都是集合B的元素， B中至少有一个元素不属于A。我们称集合A是 集合B的真子集。记作：
AÞ B
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三、教师点拨
2.真子集定义
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三、教师点拨
3.子集定义 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 那么，集合A就叫做集合B的一个子集．记作：
A B
说明：(1)子集包含相等与真子集两种情况， 任何一个集合都是它自身的子集； （2）空集是任何集合的子集，包括它本身；
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பைடு நூலகம்
三、教师点拨
3.子集的定义
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四、课堂小结
（1）集合相等定义 （2）真子集的定义 （3）子集的定义 （4）体会类比发现新结论与数形结合的思想
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自主探究 时间15分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1.集合的相等
一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素， 反过来集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们 就说集合A等于集合B。记作：
AB
这里的符号“＝”是借用了数学中的等号，它表示两 个集合中的元素完全相同 ( 即两个集合中的元素个数 相等且相应的元素都相同)．
标题
§1.1.2集合间的基本关系
§1.1.2集合间的基本关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景 山东人组成的集合为A,中国人组成的集 合为B, 某人说:“我是一个山东人”，
那我们马上能反应出这个人也是一个中 国人，集合A与集合B有什么关系呢？

【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2

a

1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×

•对于集合A，B，C，如果A B且B C，那么A C。
•如果A B，同时B A，那么A＝B。
2、下列命题正确的有几个 B
（1）空集没有子集； （2）任何集合至少有两个子集； （3）空集是任何集合的真子集；（空集是任何非空集合的真子集）
（4）若 的元素个数为零
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
因此有∅ {0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地 判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
• 3．正确地理解子集、真子集的概念
• 如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的 真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情 况 ． “ A B” 和 “ A ＝ B” 二 者 必 居 其 一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以
3、下列写法中正确的是（ 3、）4、6
（1） 0；（2） 0；（3） ；
（4） ；（5） 0；（6） 0
【课堂小结】
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合A、B、C，如果A B且B C那么A C. (3).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (5).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (6).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
【注意点】
（1）子集与真子集符号的方向。 如A B与B A同义；A B与A B不同
（2）易混符号 ①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系。 如：1 N，—1N，Φ R，{1} {1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。

C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A [v 的最大值为 120 km/h，即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小
于 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
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3．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要 课件
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一、知识讲解
2．真子集与空集的含义
例如 在（1）中，A⊆B，但 4∈B ，且
如果集合 A⊆B，但存在元素 4∈A，所以集合 A 是集合 B 的真子
x∈B，且 x∈A，就称集合 A 是集合 集．
B 的真子集（proper subset），记作
A⫋B（或 B≠⊃ A）．
例如 方程 x2+1=0 没有实数根，所以 方程 x2+1=0 的实数根组成的集合中没
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1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不 等式(组)表示其中的不等关系．
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[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以
0<x≤18，课件 课件 课件
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[解] 设该单位职工有 n 人(n∈N*)，全票价为 x 元，坐甲车需花
y1 元，坐乙车需花 课件
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20k
A=B
例 2.
1.设集合A= x, x2 , xy , B 1, x, y , 若A B，
求实数x, y的值.
解： X2=1
Xy=y X2=y xy=1
X=1 或
y=1
X=1
y=1
X=-1 y=0
由集合的互异性可知，x=1,y=1 不合题意， 所以，x=-1,y=0
练习、 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}， 若A=B，求c的值.
问：上面集合中子集与真子集的个数为？
思考：
集合{a1,a2,…,an}有多少个子集？多少个真子集？多少 个非空真子集？
2n
2n-1
2n-2
小结：
含有n个元素的集合的子集数为 2n
真子集数为 2n-1 非空真子集数为 2n-2
反思:
发生在两个集合之间
发生在元素与集合之间
1.包含关系{a} A与属于关系a A有什么区别？
B={x|x是龙口一中高一（1）班全体学生} （3）A={x|x是两边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}
结论：
1.（1）,（2）中集合A的任意一个元素都是集合B的元素。 （若a∈A，则a∈B）
2.（3）中集合A的任意一个元素与 集合B的任意一个元素都相等。 （A=B）
三、新课讲授
(一)子集
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。

记作：______（或______）.
(3)规定：空集在是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。
2.相等关系： 如果集合A是集合B的子集(A B ),且集合B是
集合A的子集(B A )，称集合A是集合B相等。
记作：A=B
典型例题：
题型一：集合元素的性质：
b 2012 2012 1 a 2 ， a b， 0 ，则 a 例1：若 a， ， b a
则M , N , P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性 （是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确 求解的两个先决条件.
B x ax 1 0 ， 例2：已知 A x x x 2 8x 15 0 ，


A，求实数a. 若B
A 3,5 ， 解： 当a=0时， B A;
一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另
外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数
进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，
然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类； ③逐类讨论；④归纳结论.
变式二：已知二次函数 f ( x) ax 2 x 有最小值,不等式
集合的概念与 集合间的基本关系
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——集合及其间的关系
知识要点：
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素: 一般地，我们把研究的对象统称为元素， 通常用小写字母 a 、 b 、 c … 表示；把一些元素组 成的总体叫做集合（简称集），通常用大写字母 A、B、C…表示. 2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性2 , a3 an （2）

2
课堂建构
答案:B
2.若集合 P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则 (
A.P∈Q
B.P⊆Q
C.Q⊆P
D.Q∈P
)
解析:因为集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1}, 所以集合Q
中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.
答案:C
二、集合相等及空集
[知识梳理]
1.集合相等的定义
(1)一般地,如果集合 A 中 任何一个元素 都是集合 B
解②,得ቊ
或൞
= 1,
=0
=0
=1ຫໍສະໝຸດ , = 0,4由集合中元素的互异性,得ቊ
或൞
1
=1
= .
2
1
,
4
1
.
2
方法规律
判断集合与集合关系的方法
(1)观察法:将集合中的元素一一列举出来观察.
(2)元素特征法:首先化简集合,然后确定集合中元
素是什么,有什么特征.
(3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图.
方式,并能有意识地使用符号语言表述数学对象,积累数学抽
象经验.
一、子集、真子集及 Venn 图
[知识梳理]
1.子集、真子集的定义
(1) 子 集 : 一 般 地 , 对 于 两 个 集 合 A,B, 如 果 集 合 A
中 任意一个元素都是集合B中的元素 ,就称集合 A 为集
合 B 的子集.
记作: A⊆B(或B⊇A)
答案:B
(2)满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合 A 的个数是 (
A.2
B.3
C.4
)
D.8
解析:由题意可得满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A可

核 心 素题 养 之
求出对应a的值；若不存在，说明理由. (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a,b).
逻 辑
(1)x=a+4,或x=a-4;由于b任意，所以A⊆B对应于a+4=2,且a-4=1，
分
推 理
无解！故满足条件a的不存在.
析
(2)由(1)知，
a a
4 4
1,或 b
a a
4 4Βιβλιοθήκη 2 b,m
N.
则集合A、B、C的关系是 A ⫋B=C .
方 法
1.判断数集之间的关系时，描述型可先统一元素形式,连续型可在
总 结
数轴上理解；2.判断点集之间的关系，可以在直角坐标系中理解.
3. 已知集合A={x| x a =4}, 集合B={1, 2 ,b}.
问
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b，都有A⊆B？若存在，
析
2)若B含1个元素，则由△=4(a+1)-4(a2-1)=0 得a=-1,此时，B={0}， 符合条件；
讨 论
3)若B含2个元素，则由B=A={-4, 0}及韦达定理，得a=1. 综上，a≤-1 ,或 a=1
方
法 已知集合的包含关系，要考虑各种可能的情况，尤其是
总
结 空集的情况；本题也可以从B中具体元素入手.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
高中数学/人教A版/必修一
1.2 集合间的基本关系
思维篇 素养篇
知识篇
1 集合之间的关系
实数与实数之间有相等关系、大小关系；
类 集合与集合之间会不会也有类似的关系呢？
比
比如：
联 （1）A={1,3,4} 与 B={1,2,3,4,5}; 想 （2）C={y│y=x2+2} 与 D={y│y≥2}

如何用子集的概念来描述呢？ 如果集合Ａ是集合Ｂ的子集（A⊆B），且集合B是 集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素 是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作Ａ＝Ｂ。
9
基 础
观察集合A与集合B的关系：
训 (1) A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}
A⊆B
练 (2) A={四边形}, B={多边形}
集的个数为15个．
合 作
分别写出下列集合的所有子集并填表，猜猜集
交 合的元素个数与子集个数之间有什么样的关系？
流
集合
元素个数 子集个数
∅ {0} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d}
…
0 1 2 3 4
… n个元素
1 2 4 8 16
…
2n
(3)设集合A中含有n个元素，则集合A共有( 2n ) 个子集， ( 2n-1 )个真子集。
做一做吧！
用符号“∈”或“∉”填空： (1) 2__∈__ {x︱x< 11} 3__∉__ {x∈Z︱-5≤x≤2} (2) 0__∉__ {x︱x2-1=0} 1__∈__ {x︱x2-1=0} (3) (-1,1)___∉_{y︱y=x2} (-1,1)__∈__{(x,y)︱y=x2} (4) 4__∉__ {x︱x=n2+1,n∈Z} 5_∈___ {x︱x=n2+1,n∈Z}
练 ①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} （ ）
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9}
（×）
③A={0}, B={x｜x2+2=0}
（×）
√ ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} （ ）
8
如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同 时集合Ｂ的任何一个元素都是集合Ａ的元素，此时构成 两个集合的元素是一样的，称这两个集合是相等的。