福建省2018届高一竞赛数学试题+Word版含答案
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2018年福建省高一数学竞赛试题
一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合|1327xAx，22|log()1Bxxx，则AB（ ）
A．(12)， B．13， C．02， D．(1)(02)，，
2.若直线l与两直线1l：70xy，2l：1313110xy分别交于A，B两点，且线段AB中点为(12)P，，则直线l的斜率为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
3.如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、E分别为棱BC、1BB的中点，N为正方形11BBCC的中心.l为平面1AMN与平面1AMN与平面1DBE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
4.如图，在三棱锥SABC中，6SASBABBCCA，且侧面ASB底面ABC，则三棱锥SABC外接球的表面积为（ ）
A．60 B．56 C.52 D．48
5.已知定义在R上的函数()fx满足：22210()201xxfxxx，，，，且(2)()fxfx，52()2xgxx，则方程()()fxgx在区间37，上的所有实根之和为（ ）
A．14 B．12 C.11 D．7
6.已知点(20)A，，(20)B，，(02)C，，直线ykxb（0k）交线段CA于点D，交线段CB于点E.若CDE△的面积为2，则b的取值范围为（ ）
A．(211)， B．2223， C.3224， D．2213，
二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）
7.函数2331()log()log(3)3fxxx的最小值为 ．
8.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角EFDA的正切值为 ．
9.若函数22()24fxxaxa在区间22aa，（0a）上的值域为40，，则实数a的取值范围为 ．
10.已知集合13579A，，，，，集合aBaAbAabb，，且，则集合B中元素的个数为 ．
11.使16178nn为有理数的所有正整数n的和为 ．
12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且64cba.若对每个正整数753n，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.已知DEF△三边所在的直线分别为1l：2x，2l：340xy，3l：340xy，C为DEF△的内切圆.
（1）求C的方程；
（2）设C与x轴交于A、B两点，点P在C内，且满足2PCPAPB.记直线PA、PB的斜率分别为1k，2k，求12kk的取值范围.
14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号()fx表示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.
已知函数()fx满足：对任意的整数a ，b均有()()()2fabfafbab，且(2)3f.求(96)f的值.
15.如图，PA、PBC分别为O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交O于另一点G、交PA于点K.
证明：（1）K是PA的中点；
（2）2AGBGPG.
16.已知a，b，cR，且22233460abc.
（1）求abc的最大值；
（2）若a，(04)b，，(06)c，，求3446abcabc的最小值.
17.设集合|2018MmmZm，且，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有0abc.求集合S的元素个数的最大值.
2018年福建省高一数学竞赛试题
参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABDAC 6:B
二、填空题
7.258 8.52 9.12， 10.18 11.205
12.125
三、解答题
13.解：（1）解法一：设()Cab，，C半径为r，则
3434222ababar，
结合点()Cab，在DEF△内，可得(34)(34)222ababar.
解得0ab，2r.
∴C的方程为224xy.
解法二：设()Cab，，C半径为r.
如图，由条件知，2l、3l的倾斜角分别为150和30，且它们关于x轴对称，同时1lx轴.因此，DEF△为正三角形.
∴点C在x轴上，且2ar，0b.
由2l、3l交x轴于点(40)D，，知DEF△的高为6.
∴1623r，0a.
∴C的方程为224xy.
（2）由（1）知，(00)C，，(20)A，，(20)B，.
设()Pxy，，则224xy.
∵2PCPAPB，
∴222222(2)(2)xyxyxy，
化简得，222xy.
∴1222yykkxx22222221444yxxxx.
由224xy，以及222xy，20y，得223x.
∴1210kk，.
∴12kk的取值范围为10，.
14.解：在()()()2fabfafbab中，令0ab，得
(0)(0)(0)02fff，于是(0)2f.
在()()()2fabfafbab中，令2a，2b，得
(0)(2)(2)42fff.
∴2(2)342f，(2)3f.
在()()()2fabfafbab中，令2an，2b，得
()(2)(2)2(2)2fnfnfn(2)32(2)2fnn(2)21fnn.
∴()(2)21fnfnn.
∴(96)(94)2961ff，
(94)(92)2941ff，
……
(4)(2)241ff.
上述等式左右两边分别相加，得
(96)(2)2(96944)47ff.
∴(964)(96)24747347502f.
15.（1）在APC△中，由塞瓦定理，知1AKPBCEKPBCEA.①
∵A是BD的中点，PA是O的切线，
∴PABADBABD.
∴EBAP∥，PBAEBCEC.②
由①、②，得AKKP.K是PA的中点.
另解：∵A是BD的中点，PA是O的切线，
∴PABADBABD，EBAP∥.
如图，过点F作MNAP∥，交AE于点M，交PB于点N.
则MFEMAPEA，FNBNAPBP.①
且EBAPMN∥∥，EMBNEABP.②
∴由①、②，得MFEMBNFNAPEABPAP.
∴AKKP，K是PA的中点.
（2）由（1）及切线长定理，得22KPKAKGKC.因此，KPKGKCKP.
又PKGCKP，
∴PKGCKP△∽△.
APGKPGKCPGCBBAG.
又PAGABG，
∴GPAGAB△∽△，AGPGBGAG.
∴2AGBGPG.
16.解：（1）由柯西不等式，知
22111()(332)233abcabc2222222111()()()(3)(3)(2)233abc
222111()(334)334abc21()6040155534.
∴55abc.
当且仅当3320111233abc，即4511ab，3511c时，等号成立.
∴abc的最大值为55.
（2）由a，(04)b，，(06)c，，知a，4a，b，4b，c，6c均为正数，
∴24(4)()42aaaa，24(4)()42bbbb，26(6)()92cccc.
∴3446abcabc2223(4)(4)(6)abcaabbcc2223449abci2223346051212abc.
当2ab，3c时，满足a，(04)b，，(06)c，，22233460abc，且35446abcabc.
∴3446abcabc的最小值为5.
17.解：集合S的元素个数的最大值为2018.
令|12018SsssZ，，显然集合S符合要求，且2018S.
另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0S（否则0000）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.
若A，则2018SB；若B，则2018SA.
下面考虑A、B非空的情形.
对于集合X，Y，记|XYxyxXyY，，|XxxX.
由题设可知，()()ABS（否则，设0()()xABS，则存在aA，bB，cS，使得0abx，0cx.于是，存在aS，bS，cS，使得0abc）.且|2017ABxxZx，且（事实上，A中元素2018，B中元素1，于是AB中元素2017；同理，AB中元素1027.）.
设集合A中元素为1a，2a，，ka，集合B中元素为1b，2b，，lb，且12kaaa，12lbbb.
