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高中数学函数性质大全

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天津大学 吴仕兵

1

一．函数奇偶性

1.函数奇偶性判断

途径:定义法

① 定义域关于原点对称（易被忽略）

②

偶函数：

，奇函数

或

途径：经验法

①

常见偶函数：

（

且为偶数）

，

（）

② 常见奇函数：（为奇数），（），

,

上式证明方法：

，

③运算型判断 若是奇函数（或偶函数），则：

为奇函数（或偶函数）

若

为奇函数，为偶函数，则：

为偶函数，

为奇函数

（可将

看做

号，

看做号，将符号进行相应的乘除运算，运算符号结果

对应相应奇偶性）

为非奇非偶函数。 天津大学 吴仕兵

2

注：常函数数

为偶函数，特别的既是奇函数又是偶函数。

2.奇偶性与单调性

奇函数在原点对称区间上单调性一致。

偶函数原点对称区间上单调性相反。

3.奇偶性与对称性

奇函数关于原点对称

偶函数关于轴对称。

已知函数)(txf+是R上的奇函数，则)(xf关于点)0,(t对称。

已知)(txf+是偶函数，则)(xf关于直线tx=对称。

4.奇函数特殊和性质 若，其中为奇函数，已知，求

解析：

,

为奇函数，则

5.奇函数的一条特殊性质 若为奇函数，且在处有定义，则必有

6.奇偶函数与零点

在0处有定义的奇偶函数有唯一零点，则0为零点。

二．函数奇偶性考点简述

1.函数奇偶性判断（方法同上）

例1.

判断

，的奇偶性

解析：将

分子分母同除于得，即，

由结论可知，为偶函数，为奇函数，奇函数除于偶函数为奇函数。 天津大学 吴仕兵

3

2.利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

例2.

若函数

是奇函数，则 解析：注意到,（因为

时，，则不符合定义域要求）

故的定义域为,

又因为

为奇函数，则

例3.

若函数

是奇函数，则

解析：

可看做

与

的乘积，

为偶函数，为奇函数，

则

应为奇函数，同上

例4.

若函数是奇函数，则

答案：

例5.

函数是偶函数，

定义域为，

则 ．

答案：

例6.是定义在上的偶函数，则的值域是 ．

答案：

值域为

例7.

已知是奇函数，则的值为

答案：

例8.

已知是偶函数，则的值为

答案：

3.奇函数特殊和性质

例9.

已知

，且

，则

解析：令

，

为奇函数，

天津大学 吴仕兵

4

例10.

已知函数，若，则

解析：，为奇函数， 同上处理

例11.已知，则

解析：（互为相反数），令

为奇函数，

所以

例12.已知函数，则

解析：

例13.已知函数，，则 解析：，值为

例14.设函数的最大值为，最小值为，则 为奇函数，

4.函数奇偶性的结合性质

例15.设()fx、()gx是R上的函数，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则结论正确的

是（ ）

A.()fx()gx是偶函数 B.|()fx|()gx是奇函数

C.()fx|()gx|是奇函数 D.|()fx()gx|是奇函数

例16.设函数()fx和()gx分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）

A．)()(xgxf+是偶函数 B．)()(xgxf−是奇函数

C．)()(xgxf+|是偶函数 D．)()(xgxf−|是奇函数 天津大学 吴仕兵

5

例17.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,

且,求和的解析式。

答案：，。

解析：，是偶函数，故，是奇函数，故

，故有。

提示：（1）已知)(xf是奇函数，则)(xf是偶函数。

（2）已知)(xh是R上的函数，且)(xf也是R上的偶函数和也是R上的奇函数，满

足)()()(xgxfxh+=，则有

2)()(

)(xhxh

xg+−

=，

2)()(

)(xhxh

xf−−

=。

5.奇偶函数中的分段问题

例18.设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxb=++（b为常数），则

(1)f−=

例19.已知()

fx是奇函数，且当0x时，()

2fxxx=−，求0x时，()

fx的表达式。

例20.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，232)(xxxf−=，则)3(−f=-

45

例21.已知()

fx是偶函数，当0x时，xxxf2)(2+=，求)4(−f

提示：（1）已知奇函数)(xf，当0x，)()(xgxf=，则当0x时，)()(xgxf−−=。

（2）已知偶函数)(xf，当0x，)()(xgxf=，则当0x时，)()(xgxf−=。

6.奇偶函数的对称性

例22.函数1

()fxx

x=−的图像关于（ C ）

A．y轴对称 B． 直线xy−=对称 C． 坐标原点对称 D． 直线xy=

对称

例23.已知函数)1(+xf是R上的奇函数，且4)1(=−f，则)

3(f= ()fx()gxxR1x()fx()gx

1

()()

1fxgx

x+=

−()fx()gx

21

()

1fx

x=

−2()

1x

gx

x=

−

()fx()gx

()gx 天津大学 吴仕兵

6

例24.已知函数)2(+xf是R上的偶函数，则3)3(−=−f，则)7(f=

，令

7.函数奇偶性与单调性

例25.已知函数是偶函数，则的递减区间是

为偶函数，则

，递减区间为

例26.设奇函数()fx在(0)+，上为增函数，且(1)0f=，则不等式()()

0fxfx

x−−

的

解集为，()()

0fxfx

x−−

等价于，

解

与异号，

画出

草图即可。

二．函数周期性

1

．定义：若

为非零常数，对于定义域内的任一

，使恒成立,

则

叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。

2．重要结论

①,

②

③

证明：递推法：

④ 证明：

④

⑥

⑦ 2()(2)(1)3fxkxkx=−+−+)(xf 天津大学 吴仕兵

7

证明：

则 即

此外

两个对称性，奇偶性+对称性皆可推出周期。 若函数的图像关于直线都对称,则为周期函数且是它的一个

周期。

证明：由对称性可知

⑧函数()yfx=()

xR的图象关于两点()

0,Aay、()

0,Bby()

ab都对称，则函数

()fx是以()

2ba−为周期的周期函数；

⑨函数()yfx=()

xR的图象关于()

0,Aay和直线xb=()

ab都对称，则函数()fx

是以()

4ba−为周期的周期函数；

⑩若偶函数的图像关于直线对称，

则

为周期函数且是它的一个周期。

证明：（偶函数）

，（对称轴），

则

⑪若奇函数y=f(x)

的图像关于直线对称，

则

为周期函数且是它的一个周期。

⑫

若奇函数

满足,

则

2.周期性的运用

求不在所给区间的函数值。

三．函数对称性

1.函数的轴对称（自对称）：

定理1：如果函数()

yfx=满足()()

faxfbx+=−，则函数()

yfx=的图象关于直线 天津大学 吴仕兵

8

2ab

x+

=对称.

推论1：如果函数()

yfx=满足()()

faxfax+=−，则函数()

yfx=的图象关于直线

xa=对称.

推论2：如果函数()

yfx=满足()()

fxfx=−，则函数()

yfx=的图象关于直线0x=

（y轴）对称

2.两个函数的对称轴（易错点）

函数

与函数

关于对称

解题技巧：

3.函数的点对称：

定理2：如果函数()

yfx=满足()()

2faxfaxb++−=，则函数()

yfx=的图象关于

点()

,ab对称.

推论3：如果函数()

yfx=满足()()

0faxfax++−=，则函数()

yfx=的图象关于点

()

,0a对称.

推论4：如果函数()

yfx=满足()()

0fxfx+−=，则函数()

yfx=的图象关于原点

()

0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

4.常见函数的对称中心

1.三次函数对称中心

二阶导数，令二阶导数为0

，解得

则三次函数关于点对称。

的对称中心

如何判断所给等式是周期还是对称轴？

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高中数学三角函数的性质

高中数学三角函数的性质

高中数学三角函数的性质

三角函数是高中数学中重要的概念之一，它们具有许多重要的性质和特点。本文将探讨三角函数的性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、定义域、值域、周期性以及相关图像特点等方面。

一、正弦函数的性质

正弦函数（Sine Function），用符号sin表示，是最基本的三角函数之一。它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。正弦函数的图像呈现周期性，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx。

正弦函数的图像特点为：偶函数，即sin(-x)=-sinx；关于原点对称，即sin(π-x)=sinx。根据这个特点，正弦函数图像以原点为对称中心，形状也呈现出对称性。

二、余弦函数的性质

余弦函数（Cosine Function）用符号cos表示，也是基本的三角函数之一。它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。余弦函数的图像同样具有周期性，即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cosx。

余弦函数的图像特点为：偶函数，即cos(-x)=cosx；对称性，即cos(2π-x)=cosx。余弦函数的图像以中点为对称中心。

三、正切函数的性质 正切函数（Tangent Function）用符号tan表示，是三角函数中最常用的函数之一。它的定义域为实数集合中所有不是π/2+πk（k为整数）的数，值域为全体实数。

正切函数的图像具有周期性，即对于任意实数x，有tan(x+π)=tanx。正切函数的图像具有无穷多个渐近线，在每个渐近线上，它的值趋近于正无穷或负无穷。

四、三角函数的基本关系和恒等式

三角函数之间存在着基本的关系和恒等式。其中，正弦函数和余弦函数之间的关系可以用勾股定理来表示：对于任意角度x，有sin^2(x)+cos^2(x)=1。

此外，还有许多重要的三角函数恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等。这些恒等式是研究三角函数的重要工具，能够在解决实际问题中起到关键作用。

高中数学函数的定义与性质

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数学函数在高中数学学习过程中占据着非常重要的地位。函数的定义和性质是数学学科中最基础、最重要的内容之一。本文将着重介绍高中数学函数的定义及其常见性质，帮助读者更好地理解和应用函数知识。

一、函数的定义

在高中数学中，我们通常将函数定义为两个集合之间的映射关系。具体而言，设有两个集合X和Y，如果对于X中的每个元素x，都对应Y中唯一确定的元素y，那么我们可以说y是x的函数值，记作y=f(x)。其中，x称为自变量，y称为因变量，f(x)称为函数的函数值。

函数的定义还包括定义域和值域。定义域是指自变量取值的范围，通常用符号D表示；值域是指因变量取值的范围，通常用符号R表示。函数的定义域和值域可以是实数集、有理数集、整数集、自然数集等。

二、函数的性质

1. 函数的单调性

函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。一个函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。具体而言，如果对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1f(x2)，那么函数f(x)是单调递减的。 2. 函数的奇偶性

如果对于定义域内的任意自变量x，有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果对于定义域内的任意自变量x，有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

3. 函数的周期性

如果存在一个正数T，对于函数的定义域内的任意自变量x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数。周期函数的图像在一定区间内呈现相同的变化规律。

4. 函数的零点和极值

函数的零点是指方程f(x)=0的解，即函数取值为0的自变量的取值。函数的极值是指在定义域内，函数取得最大值或最小值的自变量的取值。寻找函数的零点和极值是解析函数性质的重要方法之一。

5. 函数的连续性

函数的连续性是指函数在定义域内的无间断性。一个函数可以是连续函数，也可以是间断函数。连续函数在图像上没有跳跃或断裂的点，而间断函数在图像上存在跳跃或断裂的点。

高考数学中的多项式函数及其性质总结

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多项式函数在高中数学中是非常重要的知识点，也是高考不可或缺的考点之一。本篇文章将从多项式函数及其性质角度，为大家进行详细的总结。

一、多项式函数的定义和性质

多项式函数在数学上定义为：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$n$为非负整数，$a_{n}\neq0$，$a_0,a_1,...,a_n$为常数，$x$为自变量。

多项式函数具有以下性质：

1、多项式函数的次数：多项式函数中导数为零的最高项次数称为多项式函数的次数，记为$degf(x)$；若该多项式函数所有系数均为零，则多项式函数的次数为零。

2、多项式函数的项系数：多项式函数中$x^n$的系数为$a_n$，称为多项式函数的$n$次项系数，在多项式函数中，次数越高的项系数越重要。

3、多项式函数的零点：若$f(a)=0$，则称$a$是多项式函数$f(x)$的一个零点或根或解；多项式函数的零点均为一元一次方程$f(x)=0$的解，利用因式定理可求得多项式函数的零点。

4、多项式函数的因式分解：多项式函数可以分解成若干个一次或二次多项式的积的形式，这种写法称为多项式函数的因式分解，因式分解可以用来求多项式函数的零点。

二、一次多项式函数

一次多项式函数的形式为$f(x)=ax+b$，其表示直线的方程，$a$为斜率，$b$为截距。一次多项式函数是多项式函数的最简单形式，也是高考数学基础中的必考题型之一。

三、二次多项式函数

二次多项式函数的一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$都是常数，且$a\neq0$。二次多项式函数有以下性质：

1、二次多项式函数的对称轴：二次多项式函数的对称轴为过顶点并垂直于$x$轴的直线$x=-\frac{b}{2a}$。

2、二次多项式函数的顶点：二次多项式函数的最高点或最低点称为顶点，一般式$f(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$[-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a})]$。

高中数学函数性质总结

高中数学函数性质总结

1

高中数学函数性质总结

高中数学函数性质总结

函数性质

1..函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).