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高中数学函数的性质知识点整理

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一、函数

（一）、函数的单调性

1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 ,x2，当x1

当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x1，x2∈[a,b],x1≠x2.

(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;

(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.

2、常用结论

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.

(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.

(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.

(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.

（二）、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义：函数()fx的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x都满足

①()()fxfx函数()fx为偶函数；

②()()()()0fxfxfxfx函数()fx为奇函数. 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y轴对称，该函数为偶函数.

3．函数奇偶性的性质

①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0fx，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()fx在区间[,](0)abab上单调递增（减），则()fx在区间[,]ba上也是单调递增（减）；

③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()fx在区间[,](0)abab上单调递增（减），则()fx在区间[,]ba上也是单调递减（增）；

④任意定义在R上的函数()fx都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22fxfxfxfxfx

（三）、函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）faxfaxfx关于xa轴对称（当0a时，恰好就是偶函数）特别的

（2）faxfbxfx关于2abx轴对称;

（3）fxa是偶函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于xa轴对称.

本结论也可通过图像变换来理解，fxa是偶函数，则fxa关于0x轴对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于xa对称.

3、中心对称的等价描述：

（1）faxfaxfx关于,0a中心对称（当0a时，恰好就是奇函数）;

（2）faxfbxfx关于,02ab中心对称; （3）fxa是奇函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于,0a中心对称。

（4）若函数)(xfy对定义域内任意x都有f(a+x)+f(b-x)=c则函数)(xf的对称轴中心为），（c2ba

（5）函数(||)yfxa关于xa对称.

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即fxafxa，要与以下的命题区分：

若fx是奇函数，则fxafxa：fx是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有fxafxa;

② 本结论也可通过图像变换来理解，fxa是奇函数，则fxa关于0,0中心对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于,0a对称。

4、常用函数的对称性

（1）函数)0,,,()(adcbabaxdcxxf为常数且其中图像关于点),(acab中心对称。

（2）函数)1)((log)(2mxmxxfa是奇函数关于原点中心对称。

（3）函数）且（其中1a01)(aakxfx图像关于点）（2,0k中心对称，11)(xaxf关于）（2-,0k中心对称（其他含有相同指数式的分式函数可以通过这两个结论根据函数的平移伸缩变换得来）

（4）三次函数)0()(23adcxbxaxxf图像关于点))3(,3(abfab（即二阶导数为零的点）对称。

（三）、函数的周期性

1、定义：设fx的定义域为D，若对xD，存在一个非零常数T，有fxTfx，则称函数fx是一个周期函数，称T为fx的一个周期

2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等

3、若fx是一个周期函数，则fxTfx，那么2fxTfxTfx，即2T也是fx的一个周期，进而可得：kTkZ也是fx的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，kTkZ也是fx的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数fxC

5、函数周期性的判定：

（1）fxafxb：可得fx为周期函数，其周期Tba;

（2）fxafxfx的周期2Ta;

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2fxafxa;

所以有：2fxafxafxfx，即周期2Ta;

（3）1fxafxfx的周期2Ta;

（4）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta;

（5）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta;

（6）双对称出周期：若一个函数fx存在两个对称关系，则fx是一个周期函数，具体情况如下：（假设ba）

① 若fx的图像关于,xaxb轴对称，则fx是周期函数，周期2Tba;

② 若fx的图像关于,0,,0ab中心对称，则fx是周期函数，周期2Tba;

③ 若fx的图像关于xa轴对称，且关于,0b中心对称，则fx是周期函数，周期4Tba.

7、函数周期性的作用：

（1）单调区间：由于间隔kTkZ的函数图象相同，所以若fx在,abbaT上单调增（减），则fx在,akTbkTkZ上单调增（减）

（2）对称性：如果一个周期为T的函数fx存在一条对称轴xa （或对称中心），则fx 存在无数条对称轴，其通式为2kTxakZ

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高中数学函数性质

高中数学函数性质

高中数学函数性质

函数是高中数学的重点难点，也是基础。你都掌握了函数的基本知识点吗?接下来店铺为你整理了高中数学函数性质，一起来看看吧。

高中数学函数性质一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

高中数学中的函数单调性性质总结

高中数学中的函数单调性性质总结

高中数学中的函数单调性性质总结

高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。

一、函数单调性及其分类

函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。

具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥

f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。

二、单调性的判定方法

首先，我们需要了解单调性的判定方法。通常有两种方法：导数法和图像法。

导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。

具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。

图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。

三、几类常见函数的单调性

1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。

2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。

3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。

当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。

当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。

4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0

5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0

四、函数单调性的应用

在数学和实际问题中，函数单调性有着广泛的应用。

高中数学主要函数知识点整理

高中数学主要函数知识点整理

高中数学主要函数知识点整理

高中数学是一门比较重要的学科，其中函数是非常重要的一部分。在高中数学中，学生需要系统掌握函数的相关知识点，这有助于他们在接下来的学习过程中取得更好的成绩。下面，我们将整理一些高中数学主要函数知识点，希望能对大家有所帮助。

一、函数的概念

函数是描述自变量和因变量之间的关系的一种数学工具。数学上通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。函数可以用图像、符号式、数据表等多种方式来表示。在函数中，自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。

二、常用函数的图像

1.直线函数：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。直线函数的图像为一条直线。

2.平方函数：y=x²，这是一种二次函数，图像为一个开口向上的抛物线。

3.反比例函数：y=k/x，其中k为比例系数。反比例函数的图像为一个开口向右下的倒置双曲线。

4.正比例函数：y=kx，其中k为比例系数。正比例函数的图像为一条经过原点的直线。 三、函数的性质

1.奇偶性：如果对于任意x，有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数；如果不满足以上两个条件，那么这个函数就是既不是偶函数也不是奇函数。

2.单调性：如果对于定义域内的任意两个值x1和x2，都有f(x1)<=f(x2)，那么这个函数就是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个值x1和x2，都有f(x1)>=f(x2)，那么这个函数就是单调递减的。

3.周期性：如果对于定义域内的一定范围内的值x1和x2，有f(x1)=f(x2)，并且存在一个正数T，使得对于所有x∈定义域，都有f(x+T)=f(x)，那么这个函数就是周期函数。

四、导数的概念

导数是函数在某一点的斜率。数学上用f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。当函数在某一点上斜率为正时，导数就是正值；当函数在某一点上斜率为负时，导数就是负值；当函数在某一点上水平时，导数就是0。

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

1/21高一上必修一第三章《函数》知识点梳理

3.1.1函数及其表示方法

学习目标：

（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立

完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；

（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学

抽象的核心素养。

【重点】

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

【难点】

1、求函数的定义域和值域

回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念

我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为

变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定

的值与其对应，那么就称y是x的函数.

再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3

是二次函数，等等。

2/

21x2【情境与问题】

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.

如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的