【成才之路】高中数学2-1、2-3映射同步练习北师大版必修1
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1 2-1、2-3 映射基础巩固
一、选择题
1．下列从集合A
到集合B
的对应中为映射的是( )
A．A
＝B
＝N
＋，对应法则f
：x
→y
＝|x
－2|
B．A
＝R，B
＝{0,1}，对应法则f
：x
→y
＝1 x
≥０
0 x<0
C．A
＝B
＝R，对应法则f
：x
→y
＝±x
D．A
＝Z，B
＝Q，对应法则f
：x
→y
＝1
x
[答案] B
[解析] A
中元素2无象，排除A；C
中一个x
对应两个y
，与映射定义不符，排除C；
D中元素0无像，排除D，故只有B正确．
2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面的命题为真命题的是( )
A．A
中的每一个元素在B
中必有像
B．B
中的每一个元素在A
中必有原像
C．B中的每一个元素在A中的原像唯一
D．A
中的不同元素的像必定不同
[答案] A
[解析] 由映射的定义可知，集合A
中的每一个元素在B
中必有像，故选A.
3．已知(x
，y
)在映射下的像是(x
＋y
，x
－y
)，则像(1,2)在f
下的原像为( )
A．(5
2，3
2) B．(－3
2，1
2)
C．(－3
2，－1
2) D．(3
2，－1
2)
[答案] D
[解析] 根据题意得x
＋y
＝1
x
－y
＝2，∴x
＝3
2
y
＝－1
2.
4．设A
＝{x
|0≤x
≤2}，B
＝{y
|1≤y
≤2}，下列能表示从集合A
到集合B
的映射的是
( )
2 [答案] D
[解析] 对于A，当x＝0，y＝0?{y|1≤y≤2}，不是从A到B的映射；对于B，当x＝2
时y
＝0?{y
|1≤y
≤2}，也不是从A
到B
的映射；对于C，当x
＝0时，y
＝1且y
＝2，即集合
A
中的一个元素0与集合B
中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A
到B
的映射；对于
D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．
5．(2012·广州高一检测)下列说法正确的有( )
①函数是从定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋1－x是函数；③函数y＝2x(x∈
Z)的图像是一条直线．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案] B
[解析] ①根据定义可知此命题是正确的；
②要使f
(x
)有意义，必须满足x
－2≥0，
1－x
≥0，即x
≥2，
x
≤1，
故x
∈?，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的；
③因为函数y
＝2x
的定义域是Z，故y
＝2x
(x
∈Z)的图像是一些孤立的点，所以此命题
是错误的．故应选B.
6．下列各组中，集合P
与M
不能建立映射的是( )
A．P＝{0}，M＝?
B．P
＝{1,2,3,4,5}，M
＝{2,4,6,8}
C．P
＝{有理数}，M
＝{数轴上的点}
3 D．P
＝{平面上的点}，M
＝{有序实数对}
[答案] A
[解析] 选项A中，M
＝?，故集合P
中的元素在集合M
中无元素与之对应，故不能建立
映射．
二、填空题
7．已知集合A
＝{a
，b
}，B
＝{m
，n
}，则由A
到B
的一一映射的个数为________．
[答案] 2
[解析] 由题意可知如图：
共有2个一一映射．
8．a
，b
为实数，集合M
＝{b
a，1}，N
＝{a,
0}，f
：x
→x
表示把集合M
中的元素x
映射
到集合N
中仍为x
，则a
＋b
的值等于________．
[答案] 1
[解析] 因为f
：x
→x
，∴M
＝N
，
∴b
a＝0，a＝1，故a＋b＝1.
三、解答题
9．已知映射f
：A
＝B
＝{(x
，y
)|x
∈R，y
∈R}，
f
：(x
，y
)→（x
＋2y
＋2,4x
＋y
)．
(1)求A中元素(5,5)的像；
(2)求B
中元素(5,5)的原像；
(3)A
中是否存在这样的元素(a
，b
)，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若
不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵x
＝5，y
＝5，
∴(x
＋2y
＋2,4x
＋y
)＝(17,25)．
∴A中元素(5,5)的像是(17,25)．
(2)设元素(5,5)的原像是(m
，n
)，得
m
＋2n
＋2＝5，
4m
＋n
＝5，∴m
＝1，
n
＝1，
4 ∴(5,5)的原像是(1,1)．
(3)假设A
中存在这样的元素(a
，b
)，则由题意得a
＋2b
＋2＝a
，
4a
＋b
＝b
，∴a
＝0，
b
＝－1，
∴A
中存在元素(a
，b
)使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).
能力提升
一、选择题
1．已知A
＝{x
|0≤x
≤4}，B
＝{y
|0≤y
≤2}，下列对应不表示从A
到B
的映射的是( )
A．f
：x
→y
＝1
2x
B．f
：x
→y
＝1
3x
C．f
：x
→y
＝3
2x
D．f
：x
→y
＝x
[答案] C
[解析] 对于A，当0≤x
≤４时，0≤1
2x
≤2，f
：x
→y
＝1
2x
能构成A
到B
的映射；对于
B,0≤1
3x≤4
3，也能构成集合A到集合B的映射；对于C,0≤3
2x≤6，而[0,6][0,2]，所以
不能构成从A到B的映射；对于选项D,0≤x≤2，能构成从A到B的映射．
2．(2012·东营高一检测)已知集合M
＝{a
，b
，c
}，N
＝{－1,0,1}，若f
是M
→N
的映
射，且f
(a
)＝0，则这样的映射共有( )
A．4个B．6个
C．9个D．27个
[分析] 通过本题考查映射的概念．同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于
课本，高于课本”的好题．
[答案] C
[解析] ∵f(a)＝0.本题就转化为M＝{b，c}到N＝{－1,0,1}的映射个数问题．
当f
(b
)＝－1时f
(c
)可以等于－1,0,1三种情况．
同理当f
(b
)＝0或1时，f
(c
)也各有三种情况．
∴共构成9个映射，故选C.
二、填空题
3．下列对应是集合A
到集合B
的一一映射的是________(填正确序号)．
(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x
；
(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝1
3x；
(3)A
＝{x
|0≤x
≤1}，B
＝{y
|y
≥1}，f
：x
→y
＝1
x；
(4)A
＝{三角形}，B
＝R，f
：三角形与它面积的对应．
