【成才之路】高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2

一、选择题

1．下列各点是函数y＝1＋3x－x3的极值点的是( )

A．x＝0 B．x＝1

C．x＝2 D．x＝3

[答案] B

[解析] y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，观察选项，只有B项满足要求．

2．关于函数的极值，下列说法正确的是( )

A．导数为零的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

[答案] D

[解析] 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错，C显然不对．

3．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )

A．－1

C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2

[答案] C

[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，

∵f(x)有极大值与极小值，

∴f ′(x)＝0有两不等实根，

∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.

二、填空题

4．函数f(x)＝x－lnx的极小值等于________．

[答案] 1

[解析] f′(x)＝1－1x，令f′(x)＝0，则x＝1，

当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：

x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋

f(x) 极小值

∴f(x)的极小值是f(1)＝1.

5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．

[答案] [－1,1]

[解析] f

′(x)＝1＋acosx，由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，

∵－1a≤cosx恒成立，∴－1a≤－1，∴a≤1，∴0

三、解答题

6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

[解析] (1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－12)．

令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)<0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2).

一、选择题

1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是( )

A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c

C．3a＋2b D．c

[答案] D

[解析] 由f′(x)的图像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；x∈(0,2)时，f′(x)>0

∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数．

∴x＝0时，f(x)取到极小值为f(0)＝c.

2．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1

A．1 B．2

C．0 D．不能判断

[答案] B

[解析] 由题意知 a<0－3a＝3，所以a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y′＝－3x2＋6x－2，由Δ>0，所以y′＝0有两个相异实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点．

3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )

A.e2π－e2012πe2π－1 B.eπ－e2012π1－e2π

C.eπ－e1006π1－e2π D.eπ－e1006π1－eπ

[答案] B

[解析] f ′(x)＝2exsinx，令f ′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π

∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2013π)，∴0<(2k＋1)π<2013π，∴0≤k<1006，k∈Z.

∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2011π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2011π＝eπ[1－2π1006]1－e2π＝eπ－e2012π1－e2π，故选B.

4．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )

A．①② B．③④

C．①③ D．①④

[答案] B

[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.

5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )

A．1

C．24或a<1

[答案] A

[解析] y′＝3x2－3a.当a≤ 0，f′(x)≥0；

函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；

当a>0，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1

二、填空题

6．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a

①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；

③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是________．

[答案] ②③

[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用

设g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，

其图象如图：

要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：

又f′(x)＝3x2－12x＋9＝0时，

x1＝1，x2＝3，即得f(1)是极大值，f(3)是极小值．

∴由图象可知f(0)·f(1)<0，f(0)·f(3)>0.

对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．

7.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：

①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－12处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________

[答案] ①④

[解析] 从图像上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0 ，所以f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数，所以②，③错误；当0

三、解答题

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(0,0)，(2,0)，

(1)求a，b的值；

(2)求x0及函数f(x)的表达式．

[解析] (1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

∵f′(x)的图像过点(0,0)，(2,0)，

∴ b＝0，12＋4a＋b＝0

解之得：a＝－3，b＝0. (2)由f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；

∴当在(－∞，0)上，f′(x)＞0.在(0,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0，

故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，

因此f(x)在x＝2处取得极小值，所以x0＝2，

由f(2)＝－5，得c＝－1，

∴f(x)＝x3－3x2－1.

9．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．

[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a.

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以 f＝0，f＝8.即 －a＝0，8－6a＋b＝8.解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±a.

当x∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(－a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．

10．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝12x2＋alnx.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．

[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f ′(x)＝x－1x＝x＋x－x，

令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f ′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，