(复变)第六章

习题六

1. 求映射1wz下，下列曲线的像.

(1) 22xyax (0a，为实数)

解：222211i=+iixywuvzxyxyxy

221xxuxyaxa,

所以1wz将22xyax映成直线1ua.

(2) .ykx(k为实数)

解： 22221ixywzxyxy

222222xykxuvxyxyxy

vku

故1wz将ykx映成直线vku.

2. 下列区域在指定的映射下映成什么？

（1）Im()0,(1i)zwz；

解： (1i)(i)()i(+)wxyxyxy

,.20.uxyvxyuvy

所以Im()Re()ww.

故(1i)wz将Im()0,z映成Im()Re()ww.

(2) Re(z)>0. 0

解：设z=x+iy, x>0, 0

222222iii(i)ixyyxwzxiyxyxyxy

Re(w)>0. Im(w)>0. 若w=u+iv, 则

2222,uvyxuvuv

因为0

故iwz将Re(z)>0, 0

Re(w)>0,Im(w)>0, 1212w (以（12,0）为圆心、12为半径的圆) 3. 求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图.

解：因为w=2z,所以w(i)=2i, |w|=2, 旋转角argw=π2.

于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.

→

4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？

答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质.

第六章 留数理论及其应用

§1.留数

1.（定理6.1 柯西留数定理）：

∫𝒇(𝐳)𝐝𝐳=𝟐𝛑𝐢∑𝑹𝒆𝒔(𝒇(𝒛),𝒂𝒌)𝒏𝒌=𝟏𝑪

2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，

𝐟(𝐳)=𝝋(𝒛)(𝒛−𝒂)𝒏,

其中𝝋(𝒛)在点a解析，𝝋(𝒂)≠𝟎，则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝝋(𝒏−𝟏)(𝒂)(𝒏−𝟏)!

3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，

𝛗(𝐳)=(𝐳−𝐚)𝐟(𝐳),

则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝛗(𝐚)

4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点

𝛗(𝐳)=(𝒛−𝒂)𝟐𝒇(𝒛)

则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝛗′(𝐚)

5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6.无穷远点的留数：

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=𝟏𝟐𝝅𝒊∫𝒇(𝒛)𝒅𝒛𝚪−=−𝒄−𝟏

即，𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中𝟏𝒛这一项系数的反号

7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为𝒂𝟏,𝒂𝟐,…,𝒂𝒏,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=𝟎，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式： 𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=−𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝟏𝒕)𝟏𝒕𝟐,𝟎)

§2.用留数定理计算实积分

一.∫𝑹(𝒄𝒐𝒔𝜽,𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒅𝜽𝟐𝝅𝟎型积分 → 引入𝐳=𝒆𝒊𝜽

注：注意偶函数

二.∫𝑷(𝒙)𝑸(𝐱)𝒅𝒙+∞−∞型积分

1.（引理6.1 大弧引理）：𝑺𝑹上

第六章留数理论及其应用

§ 1.留数

1. （定理6.1柯西留数定理）：

dz = 2 m

Jc £=i

2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,

事（町

（…尸’

其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U

3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,

Re^f(z),a) =

4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点

® ⑴=（Z-A）V（«）

则

5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6. 无穷远点的留数:

即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号

7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在

内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。

注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有 Z畑⑴ °,但是，如果点 为f（z）的可 去奇点（或解析点），则 血昭⑵妙）可以不为零。

8. 计算留数的另一公式: RES（F（R「8）=霜/严 f(z)dz=- j 精品文档

lim f幻(胡叫E = o

■ rn (昭詞

§ 2•用留数定理计算实积分

Q R(cos^,sin&)M 型和分 — 引入

注：注意偶函数

1. (引理6.1大弧引理)：»上

limzf(z)= X

则

lim H'J-MB

2. (定理 6.7) 设f(-器梯理分式，其中

P(z) = eozm + 耳厂，+ + cm(c0 丰 0)

QCz) = bQxn + %0勺 + * + 丰 0)

为互质多项式，且符合条件：

(1) n-m >2;

(2) Q(z股有实零点

于是有

f(x)dx — 2ui 工 Res(f(z)tau}

Jrtiajt >0

注：以fg可记为PM广；«x)dx

丿；黔厂心型积分

3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走

上连续，且

lim鸟⑵=0

在「里上一致成立。则

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4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:

复变函数期末复习

一 知识点

1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。

2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。

3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。

4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。

5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。

二 例题选讲

1求i3的值。 知识点：利用定义bLnabea。

解 i3=3iLne=)23(lnkiie=3ln2ike=)3lnsin3ln(cos2iek。

2 设1||z，试证：1_____bazazb。知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。2__2__||||zzzz

证明：由1||z得，1__zz，bazzzazbbazazb____________=bazzzab)(_______=1)()(_______________bazzazbbazzzab

3求2sinArc的值。知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin2ziziLnzArc，)1(cos2ziziLnzArc

解：)32(2siniiiLnArc =iiLn)32(=ikii22)32[ln(

=)32ln(22ik，,...2,1,0k

4 证明)|||(|2||||2221221221zzzzzz。

证明)|||(|2||||2221221221zzzzzz。

知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系__2||zzz。

证明：))(())((||||________2121________2121221221zzzzzzzzzzzz